Кратчайший путь

Вы хотите прогу­ляться по Москве. Какой путь от станции метро «Мая­ков­ская» до станции «Кур­ская» короче: по Садо­вому кольцу или через центр, через Крас­ную площадь?

Кратчайший путь // Математическая составляющая

Рас­смот­рим матема­ти­че­скую модель. Вы нахо­ди­тесь в городе с сетью ради­аль­ных и кольце­вых дорог. Какой путь между точ­ками, рас­по­ложен­ными на одном кольце, явля­ется самым корот­ким?

Если точки доста­точно близки друг к другу, то наи­бо­лее корот­кий путь — по кольце­вой дороге. Если точки диамет­рально про­ти­вопо­ложны друг другу, то наи­бо­лее корот­кий путь — по ради­аль­ным дорогам, поскольку крат­чайшим путём между двумя точ­ками явля­ется отре­зок прямой.

Кратчайший путь // Математическая составляющая
Кратчайший путь // Математическая составляющая

По здра­вому смыслу (из сооб­раже­ний непре­рыв­но­сти) можно ожи­дать, что при неко­то­ром положе­нии точек длина путей будет оди­на­ко­вой. Это действи­тельно так, если угол между ради­у­сами равен 2 ради­а­нам (при­мерно 115 гра­ду­сов).

Кратчайший путь // Математическая составляющая

С хорошей точ­но­стью длина пути между ука­зан­ными станци­ями метро по Садо­вому кольцу равна длине пути через Крас­ную площадь.

Кратчайший путь // Математическая составляющая

В наших рас­суж­де­ниях вывод не зави­сел от ради­уса окруж­но­сти, на кото­рой нахо­дятся точки, что объяс­ня­ется подо­бием круго­вых сек­то­ров с общим цен­тром и оди­на­ко­вым цен­траль­ным углом.

Кратчайший путь // Математическая составляющая

Напри­мер, если угол между ради­у­сами двух точек на МКАД равен 2 ради­а­нам, то, выби­рая автомо­биль­ный марш­рут, можно про­сто поехать по кольце­вой дороге, можно про­ехать по ради­у­сам через центр, а можно и ком­би­ни­ро­вать — про­ехать по ради­усу до Тре­тьего транспорт­ного кольца, потом — по дуге этого кольца до ради­уса вто­рой точки, затем вер­нуться по ради­усу на МКАД. Длины всех рас­смот­рен­ных марш­ру­тов являются оди­на­ко­выми.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Ради­ально-кольце­вая пла­ни­ровка Москвы сложи­лась исто­ри­че­ски: город раз­рас­тался вокруг Кремля «веко­выми коль­цами», во внеш­ний мир ухо­дили маги­страль­ные дороги в виде лучей, полу­чавшие свои назва­ния по тем горо­дам, мона­стырям и даже стра­нам, к кото­рым они вели. Напри­мер, Твер­ская улица шла к Твери (некогда — сопер­нице Москвы), а позд­нее стала нача­лом глав­ной дороги к Север­ной сто­лице, Санкт-Петер­бургу. Пре­чи­стенка вела к Ново­де­ви­чьему мона­стырю, где хра­ни­лась икона Пре­чи­стой Божией Матери Смо­лен­ской, а Большая Ордынка — в Золо­тую Орду.

Глав­ные кольце­вые дороги ста­рой Москвы — Буль­вар­ное кольцо и Садо­вое кольцо — воз­никли на месте сне­сён­ных стен и укреп­ле­ний, утра­тивших воен­ное зна­че­ние: стен Белого города и Зем­ля­ного вала соот­вет­ственно.

Ещё один при­мер ради­ально-кольце­вой пла­ни­ровки в нашей стране — Софий­ская сто­рона Новго­рода. В Европе многие сто­лицы воз­ни­кали на месте ста­рых крепо­стей и сохра­нили порож­дён­ную этим обсто­я­тельством ради­аль­ную струк­туру, яркие образцы — Вена и Париж.

С появ­ле­нием метро ради­ально-кольце­вые струк­туры стали ухо­дить и под землю. И если в Москве схема мет­ропо­ли­тена стала про­екцией линий назем­ных дорог, то в других слу­чаях ради­ально-кольце­вые схемы метро воз­ни­кали вне связи с тем, что про­ис­хо­дило «наверху», при­мер — метро в Мад­риде.

Радиан — это цен­траль­ный угол, опи­рающийся на дугу окруж­но­сти, длина кото­рой равна её ради­усу. Про­ис­хож­де­ние термина «радиан» свя­зано с ради­у­сом круга; radius в латыни — спица в колесе, луч. В матема­ти­че­ской лите­ра­туре термин «радиан» появился только в XIX веке, хотя сам спо­соб изме­ре­ния углов был изве­стен и ранее. Напри­мер, ради­ан­ное изме­ре­ние углов исполь­зо­вал Лео­нард Эйлер, выводя знаме­ни­тую формулу $e^{iπ}+1=0$. В дан­ном сюжете само опре­де­ле­ние ради­ана ста­но­вится инструмен­том реше­ния задачи о пеше­ход­ной прогулке от «Мая­ков­ской» до «Кур­ской» по раз­ным марш­ру­там.

В ста­тье ана­ли­зи­ро­ва­лись марш­руты, соеди­няющие точки, лежащие на одной «город­ской» окруж­но­сти. Но ана­логич­ные выводы можно полу­чить и для любых двух точек в городе с ради­ально-кольце­вой пла­ни­ров­кой.