Формат А4

Каким должно быть отноше­ние сто­рон прямо­уголь­ного листа бумаги, чтобы у поло­вины этого листа было такое же отноше­ние сто­рон?

Формат А4 // Математическая составляющая

Пред­ста­вим сформу­ли­ро­ван­ное усло­вие в виде формулы: $$ \frac{a}{b}=\frac{b}{a/2}. $$

Отсюда нахо­дим отноше­ние сто­рон: $$ \frac{a}{b}=\sqrt{2}.$$

У листа с таким отноше­нием сто­рон име­ется свойство, цен­ное и в дело­про­из­вод­стве, и в полиграфии: сложив его попо­лам, мы полу­чим лист с теми же про­порци­ями и, зна­чит, также удо­вле­тво­ряющий сформу­ли­ро­ван­ному тре­бо­ва­нию. С точки зре­ния геомет­рии, всё дело в том, что исход­ный прямо­уголь­ник и его поло­вина подобны. А если листы подобны, то макет стра­ницы, раз­ра­бо­тан­ный для одного из них, можно пере­не­сти на вто­рой про­стым масшта­би­ро­ва­нием.

Стан­дарты на бумаж­ные форматы, удо­вле­тво­ряющие сформу­ли­ро­ван­ному тре­бо­ва­нию, были вве­дены в 20‐х годах XX века. При­ме­няются серии «А», «B», «С», каж­дая состоит из после­до­ва­тель­но­сти уменьшающихся листов. Выбор самого большого листа в серии («базо­вого», полу­чающего нуле­вой индекс), свя­зан с той или иной норми­ров­кой. В каж­дой серии лист с номе­ром $n+1$ выгля­дит как сложен­ный вдвое лист с номе­ром $n$.

Формат А4 // Математическая составляющая

Число $\sqrt{2}$, кото­рое тео­ре­ти­че­ски опре­де­ляет отноше­ние сто­рон прямо­уголь­ных листов всех номе­ров во всех сериях, явля­ется ирраци­о­наль­ным. Это озна­чает, что число $\sqrt{2}$ нельзя пред­ста­вить в виде отноше­ния двух целых чисел, соот­вет­ствующая ему деся­тич­ная дробь — бес­ко­неч­ная непе­ри­о­ди­че­ская $$ \sqrt{2}=1,414213562373…$$

На прак­тике при­хо­дится исполь­зо­вать раци­о­наль­ные числа. В выборе форма­тов серий «А», «B», «С» длины сто­рон листов выражаются целыми чис­лами (в мил­лимет­рах), эти числа подо­браны так, чтобы их отноше­ние было близ­ким к $\sqrt{2}$.

В серии «А» в каче­стве листа А0 взят лист, имеющий размеры $1189\times 841$ мм. Размеры листа выбраны так, что его площадь (с большой точ­но­стью) равна одному квад­рат­ному метру. В повсе­днев­ной жизни наи­бо­лее часто встре­ча­ется формат бумаги A4. Длины сто­рон листа равны 297 и 210 мм, это при­мерно одна чет­вёр­тая часть длин сто­рон листа A0, площадь листа A4 — при­мерно 1/16 квад­рат­ного метра. При плот­но­сти стан­дарт­ной офис­ной бумаги 80 грамм на квад­рат­ный метр, один лист весит около 5 грамм, а пачка из 500 листов — $2,5$ килограмма.

В серии «B» лист B0 выбран так, что длина его меньшей сто­роны равна 1 метру. Чтобы отноше­ние сто­рон было близко к $\sqrt{2}$, в каче­стве большей сто­роны листа при­нято зна­че­ние $1,414$ м. Область при­ме­не­ния серии «B» — спе­ци­аль­ные раз­делы дело­про­из­вод­ства. Напри­мер, паспорт граж­да­нина Рос­сийской Феде­рации имеет формат B7 — $125\times 88$ мм, что соот­вет­ствует рекомен­дациям, содержащимся в меж­ду­на­род­ном стан­дарте.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Зна­ние отноше­ния сто­рон в формате А и деся­тич­ной записи числа $\sqrt{2}$ облег­чает выпол­не­ние стан­дарт­ных офис­ных опе­раций. Напри­мер, как на копи­ро­валь­ном аппа­рате пере­ве­сти лист А4 в лист А3? Коэффици­ент подо­бия этих листов равен $\sqrt{2}$, для реше­ния задачи копи­ро­ва­ния можно взять при­ближён­ное зна­че­ние $\sqrt{2}≈ 1{,}4$ и выста­вить на ксе­роксе коэффици­ент уве­ли­че­ния, рав­ный 140%. А если надо «пре­вра­тить» лист А4 в лист A5, то коэффици­ент уменьше­ния будет равен $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Заме­ча­тельно, что его «рабо­чее» зна­че­ние легко найти и без тех­ни­че­ских средств: $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}≈ 0{,}7$. Зна­чит, на ксе­роксе нужно выста­вить пока­за­тель 70%.

Среди форма­тов серий «A», «B» и «C» пер­вый — самый «пра­виль­ный» с точки зре­ния при­ближе­ния клю­че­вого числа $\sqrt{2}$ раци­о­наль­ными дро­бями.

Цеп­ная дробь (см. ста­тью «Висо­кос­ное лето­счис­ле­ние», и спи­сок лите­ра­туры к сюжету) числа $\sqrt{2}$ бес­ко­нечна, её элементы — двойки: $$ \sqrt{2}=1+ \frac1{2+\frac1{2+\frac1{2+\frac1{2+\frac1{2+\vphantom{\frac12} \dotsm }}}}}. $$

При­ве­дём пер­вые под­хо­дящие дроби раз­ложе­ния: $$ \displaylines{ 1,\quad 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},\quad 1+\frac1{2+\frac1{2}}=\frac{7}{5},\quad 1+\frac1{2+\frac1{2+\frac1{2}}}=\frac{17}{12},\cr 1+\frac1{2+\frac1{2+\frac1{2+\frac1{2}}}}=\frac{41}{29},\quad 1+\frac1{2+\frac1{2+\frac1{2+\frac1{2+\frac1{2}}}}}=\frac{99}{70}.\cr} $$

Зна­че­ние $\frac{41}{29}=1{,}41379…$ — непло­хое раци­о­наль­ное при­ближе­ние числа $\sqrt{2}=1{,}41421…$, оно фак­ти­че­ски опре­де­ляет базо­вый лист А0: его размеры $1189\times 841$ мм соот­вет­ствуют про­порции $\frac{41}{29}=\frac{1189}{841}$.

Про­из­вод­ные размеры листов серии «A» полу­чаются после­до­ва­тельно деле­нием большей сто­роны попо­лам: $841\times 594$ мм (А1), $594\times 420$ мм (А2), $420\times 297$ мм (А3), $297\times 210$ мм (А4). Видно, что «осно­вой» форма­тов А2 и А4 явля­ется лучшее при­ближе­ние числа $\sqrt{2}$, чем у А0: $\frac{99}{70}=\frac{594}{420}=\frac{297}{210}$, дробь $\frac{99}{70}=1{,}41428…$ отли­ча­ется от $\sqrt{2}$ только в пятом знаке после запя­той в деся­тич­ном раз­ложе­нии.

Рису­нок, на кото­ром были пред­став­лены форматы, можно исполь­зо­вать и для геомет­ри­че­ской иллю­страции того, почему сумма бес­ко­неч­ной геомет­ри­че­ской прогрес­сии (см. «Прак­ти­че­ская бес­ко­неч­ность») $$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+… $$ равна 2. Про­порции листа в этом слу­чае роли не играют.

Формат А4 // Математическая составляющая