Практическая бесконечность

«Рас­тёт в геомет­ри­че­ской прогрес­сии» — это выраже­ние часто можно услышать от теле­ве­дущих и экс­пер­тов, его можно встре­тить на стра­ни­цах газет, в книгах по есте­ство­зна­нию, в усло­виях экза­ме­наци­он­ных задач. А что оно озна­чает?

После­до­ва­тель­ность чисел $\{b_1, b_2, b_3, …\}$, в кото­рой каж­дое число $b_n$ пере­хо­дит в соседа справа $b_{n+1}$ по пра­вилу $b_{n+1}=b_n q$, назы­ва­ется геомет­ри­че­ской прогрес­сией. Прогрес­сия опре­де­ля­ется двумя парамет­рами: чис­лом $b_1$, кото­рое назы­ва­ется пер­вым чле­ном геомет­ри­че­ской прогрес­сии, и посто­ян­ной $q$ — её знаме­на­те­лем. На прак­тике важно, что общий член прогрес­сии $b_n$ можно найти напрямую по формуле $b_n=b_1q^{n-1}$, а не по цепочке после­до­ва­тель­ных вычис­ле­ний $b_2=b_1q$, $b_3=b_2q$, …, $b_n=b_{n-1}q$. Прогрес­сия назы­ва­ется воз­рас­тающей, если $q>1$; убы­вающей, если $0<q<1$.

Позна­комимся с при­ме­рами, в кото­рых про­ис­хо­дящее можно опи­сать в терми­нах геомет­ри­че­ской прогрес­сии, и посмот­рим, насколько быстро может расти воз­рас­тающая геомет­ри­че­ская прогрес­сия, и, соот­вет­ственно, быстра ли в своём убы­ва­нии прогрес­сия убы­вающая.

I. В самой попу­ляр­ной из легенд о про­ис­хож­де­нии шахмат рас­ска­зы­ва­ется, что некогда в Древ­ней Индии муд­рец по имени Сесса при­думал пра­вила новой игры и препод­нёс игру в дар царю Шераму.

Царь был оча­ро­ван и пред­ложил созда­телю игры самому выбрать награду. Тот попро­сил у царя немного зерна: на первую клетку доски положить 1 пше­нич­ное зерно, на вто­рую — 2, на тре­тью — 4 и т. д. — на каж­дую сле­дующую клетку надо положить вдвое больше зёрен, чем на пред­ше­ствующую. Воз­ни­кает геомет­ри­че­ская прогрес­сия, в кото­рой $b_1=1$, $q=2$. «Скром­ная» просьба ока­за­лась невы­пол­нимой, пона­до­бился бы урожай, соби­ра­емый на всей Земле за тысячи лет.

II. Нево­об­ра­зимый рост геомет­ри­че­ской прогрес­сии можно ощу­тить и про­сто скла­ды­вая обыч­ный лист бумаги. После пер­вого скла­ды­ва­ния попо­лам толщина бумаги уве­ли­чится вдвое, после вто­рого — вчет­веро, и очень скоро прак­ти­че­ские возмож­но­сти будут исчерпаны. А если допу­стить, что уда­лось сложить лист 42 раза, то ока­за­лось бы, что «толщина» кон­струкции больше, чем рас­сто­я­ние от Земли до Луны.

III. При­меры, иллю­стри­рующие свойства убы­вающей прогрес­сии, впе­чат­ляют не меньше. Изго­то­вим цепочку из шесте­рё­нок, зацеп­лен­ных после­до­ва­тельно одна за другую так, чтобы каж­дая сле­дующая враща­лась в 5 раз мед­лен­нее преды­дущей. Таким обра­зом, угло­вые ско­ро­сти шесте­рё­нок обра­зуют геомет­ри­че­скую прогрес­сию, знаме­на­тель кото­рой равен $1/5$.

Практическая бесконечность // Математическая составляющая

Предпо­ложим, что цепочка доста­точно длин­ная. Если начать вращать ось пер­вой шесте­рёнки с большой ско­ро­стью, то даже после дли­тель­ной непре­рыв­ной работы послед­няя шесте­рёнка прак­ти­че­ски не повер­нётся.

Напри­мер, если в цепочке 17 зацеп­ле­ний и первую шесте­рёнку вращают со ско­ро­стью один обо­рот в секунду, то и «два­дцать лет спу­стя» послед­няя шесте­рёнка не повер­нётся даже на одну тысяч­ную обо­рота. Полу­ча­ется, что её можно наглухо закрепить в стене, и это не помешает работе меха­низма в тече­ние долгих лет! С точки зре­ния быст­ро­теч­ной чело­ве­че­ской жизни этот при­мер — иллю­страция бес­ко­неч­но­сти «прак­ти­че­ской».

У выраже­ния «рас­тёт в геомет­ри­че­ской прогрес­сии» есть очень близ­кий по смыслу род­ствен­ник. Формулу $b_{n+1}{=}b_1q^{n}$ можно воспри­нимать как опи­са­ние быст­рых изме­не­ний вели­чины во времени, если счи­тать, что параметр $n$ — это дис­крет­ное время, изме­няюще­еся скач­ками. А в быстро про­те­кающих непре­рыв­ных процес­сах появ­ляются функции вида $y(t)=b q^t$, кото­рые назы­ваются экс­по­ненци­аль­ными. Отсюда и род­ствен­ный термин — экс­по­ненци­аль­ный рост.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

В Европе в круг матема­ти­че­ских зна­ний легенда о про­ис­хож­де­нии шахмат попала в XVII веке, когда Джон Вал­лис (матема­тик, крип­тограф и один из осно­ва­те­лей Лон­дон­ского Коро­лев­ского обще­ства) опуб­ли­ко­вал пере­вод сочи­не­ния араб­ского исто­рика ас‐­Сафада (XIV век).

В после­дующие века исто­рия про Сессу и Шерама рас­про­стра­ни­лась по всей Европе; напри­мер, вели­кий Лео­нард Эйлер в книге «Элементы алгебры» при­во­дит задачу о прак­ти­че­ской оценке необ­хо­димого коли­че­ства зёрен.

Ещё один инте­рес­ный при­мер рас­тущей геомет­ри­че­ской прогрес­сии — после­до­ва­тель­ность частот нот рав­но­мерно темпе­ри­ро­ван­ного строя (см. «Музыкаль­ный строй»). Здесь знаме­на­тель прогрес­сии $q=\sqrt[12]{2}≈ 1{,}06$ бли­зок к 1, но кла­виш доста­точно много — в кла­ви­а­туре стан­дарт­ного рояля их 88. И за эти 88 шагов про­бега­ется интер­вал, охва­ты­вающий более 7 октав ($88{=}7{\cdot }12{+}4$) и пред­став­ляющий почти весь диапа­зон зву­ков, комфорт­ных для чело­ве­че­ского уха.

С чис­лом 88 чита­тель может встре­титься в этой книге и в сюжете «Созвез­дия»: именно на такое число созвез­дий аст­ро­номы поде­лили звёзд­ное небо.