Далёкое близкое

Слово «рас­сто­я­ние» встре­ча­ется там, где необ­хо­димо изме­рить, пред­ста­вить в виде числа степень бли­зо­сти объек­тов. Рас­сто­я­ние может быть как обыч­ным географи­че­ским, так и дли­ной отрезка на неко­то­рой шкале: срав­ни­ва­емыми харак­те­ри­сти­ками могут быть время, вес, площадь, объём и т. п.

Далёкое близкое // Математическая составляющая

Иногда при­хо­дится оце­ни­вать вза­им­ную уда­лён­ность объек­тов в нескольких шка­лах. Напри­мер, жители мегапо­ли­сов часто изме­ряют рас­сто­я­ния не только в километ­рах, но и в мину­тах и часах, кото­рые надо потра­тить, чтобы добраться от одного места до другого. Впро­чем, идея изме­ре­ния пути време­нем движе­ния по нему встре­ча­лась ещё в Древ­нем мире: фар­санг — это рас­сто­я­ние, кото­рое может пройти за час пеший воин или вер­блюд в кара­ване, при­мерно 5—6 км.

Но даже «географи­че­ское» рас­сто­я­ние можно понимать по-раз­ному: и формально, «по карте», и как длину наименьшего реаль­ного пути. Надо не только уточ­нять зна­че­ния слов «близко» и «далеко» в каж­дом кон­крет­ном слу­чае, но и сформу­ли­ро­вать общие тре­бо­ва­ния к поня­тию «рас­сто­я­ние».

Раз­бе­рём несколько спо­со­бов опре­де­ле­ния рас­сто­я­ния между точ­ками плос­ко­сти, каж­дое из кото­рых имеет прак­ти­че­ское при­ме­не­ние.

На коор­ди­нат­ной плос­ко­сти каж­дая точка опре­де­ля­ется парой коор­ди­нат $(x;y)$. Формула $$ d(A, B)=\textstyle\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $$

выражает обыч­ное евкли­дово рас­сто­я­ние между точ­ками $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2; y_2)$. Житейски это соот­вет­ствует возмож­но­сти отпра­виться из $A$ в $B$ по крат­чайшему пути — по прямой.

Далёкое близкое // Математическая составляющая

Но так можно пере­двигаться в море или в степи, а вот в городе столь без­за­ботно перемещаться уже не полу­чится — глав­ные марш­руты про­легают по ули­цам. Если квар­талы обра­зуют квад­рат­ную решётку, то есте­ствен­ным обра­зом воз­ни­кает «рас­сто­я­ние город­ских квар­та­лов» (его ещё назы­вают ман­хэт­тен­ским, по соот­вет­ствию пла­ни­ровке района Нью-Йорка). Оно опре­де­ля­ется наименьшим чис­лом квар­та­лов, кото­рые при­дётся пройти, двига­ясь из одной точки (пере­крёстка) в другую. В отли­чие от евкли­дова, ман­хэт­тен­ское рас­сто­я­ние между двумя точ­ками реа­ли­зу­ется раз­лич­ными лома­ными, крат­чайший путь — не един­ствен­ный. Точки, «по ман­хэт­тен­скому счёту» рав­но­уда­лён­ные от дан­ной, с точки зре­ния евкли­дова рас­сто­я­ния могут не быть рав­но­уда­лён­ными от неё.

Далёкое близкое // Математическая составляющая
Далёкое близкое // Математическая составляющая
Далёкое близкое // Математическая составляющая

Если для выбран­ного рас­сто­я­ния назвать шаром множе­ство точек, рас­сто­я­ния от кото­рых до дан­ной не пре­вос­хо­дят $R$, то на плос­ко­сти евкли­дов шар — круг, а ман­хэт­тен­ский — квад­рат $|x|+|y|\le R$. Если раз­ду­вать шар, то можно уви­деть, как изме­ня­ется множе­ство точек, до кото­рых можно добраться за опре­де­лён­ное число «шагов».

Ещё одно важ­ное рас­сто­я­ние носит имя вели­кого рос­сийского матема­тика Паф­ну­тия Льво­вича Чебышева. На шахмат­ной доске оно свя­зано с ходами короля. Шар — это квад­рат $\max\{|x|, |y|\}\le R$.

Далёкое близкое // Математическая составляющая

В разо­бран­ных при­ме­рах рас­сто­я­ния, внешне раз­лич­ные, имеют сле­дующие свойства, уни­вер­саль­ные и есте­ствен­ные.

1. Неот­рица­тель­ность: $d(A,B)\ge 0$, при­чём равен­ство $d(A,B)=0$ рав­но­сильно тому, что $A=B$.

2. Симмет­рия: $d(A,B)=d(B,A)$. Длина удава от головы до хво­ста должна рав­няться его длине от хво­ста до головы.

3. Нера­вен­ство тре­уголь­ника: $d(A,B)\le d(A,C) + d(C,B)$. Если $А,B,C$ — три вершины тре­уголь­ника, а рас­сто­я­ние — обыч­ное евкли­дово, то нера­вен­ство выражает извест­ный геомет­ри­че­ский факт.

Пере­чис­лен­ные «необ­хо­димые» свойства рас­сто­я­ний можно пре­вра­тить в опре­де­ле­ние и назвать мет­ри­че­ским про­стран­ством множе­ство, в кото­ром на каж­дой паре точек опре­де­лена функция рас­сто­я­ния. Изу­че­ние свойств абстракт­ных мет­ри­че­ских про­странств — дело матема­тики. Чтобы накоп­лен­ными результа­тами восполь­зо­ваться для изме­ре­ния и срав­не­ния реаль­ных объек­тов, необ­хо­димо выбрать множе­ство, в кото­ром эти объекты будут пред­став­лены, и вве­сти рас­сто­я­ние. Напри­мер, можно подо­брать матема­ти­че­ский инструмент для срав­не­ния фотографий так, чтобы формуль­ная оценка «рас­сто­я­ние мало» совпа­дала с чело­ве­че­ской визу­аль­ной — «почти неот­ли­чимы».

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

В шахма­тах рас­сто­я­ние между полями изме­ря­ется дли­ной и формой «шага» фигуры. Так, король может двигаться по вер­ти­ка­лям, гори­зон­та­лям и диаго­на­лям, за один шаг — на одну клетку. Поля, на кото­рые можно попасть, сде­лав не более опре­де­лён­ного числа ходов, — это «шар» отно­си­тельно такого рас­сто­я­ния, но этот «шар» имеет форму квад­рата.

На этом непри­выч­ном, пара­док­саль­ном с быто­вой точки зре­ния обсто­я­тельстве осно­ван знаме­ни­тый этюд чеш­ского гросс­мейстера Рихарда Рети, в кото­ром зада­ние «Ничья» кажется недо­стижимым результа­том для белых. (В шахмат­ных этю­дах обычно начи­нают белые.)

Далёкое близкое // Математическая составляющая

В дан­ном слу­чае добиться ничьей белые смогут только в двух слу­чаях: 1) если белый король дого­нит и съест чёр­ную пешку; 2) если белый король чудес­ным обра­зом окажется рядом со своей пеш­кой и поможет ей «свое­временно» пре­вра­титься в ферзя.

Геомет­ри­че­ская основа реше­ния — то, что путь белого короля h8 → e5 → h2 имеет ту же «длину» (число ходов), что и «прямой» отре­зок h8—h2. А достиг­нув поля e5, король ста­но­вится не только дого­няющим чёр­ную пешку, но и про­вод­ни­ком, защит­ни­ком соб­ствен­ной пешки на поле c6. И в зави­симо­сти от ходов чёр­ных фигур, может быть реа­ли­зо­ван пер­вый или вто­рой вари­ант достиже­ния ничьей. (Отме­тим, что в одном из раз­ветв­ле­ний белому королю с поля f6 при­хо­дится сразу отправ­ляться через e6 на помощь своей пешке.)

«Рас­сто­я­ние город­ских квар­та­лов» можно встре­тить и внутри домов — от дач­ных доми­ков до музеев. Размеры ступе­ней лест­нич­ного марша, соеди­няющего фик­си­ро­ван­ные точки на площад­ках, можно выбрать раз­ными (стро­ится «ступен­ча­тая гипо­те­нуза» прямо­уголь­ного тре­уголь­ника). Но длина ков­ро­вой дорожки, закреп­лён­ной на ступе­нях лест­ницы, будет оди­на­ко­вой неза­ви­симо от разме­ров ступе­нек: сумма длин вер­ти­каль­ных участ­ков ковра равна длине вер­ти­каль­ного катета (рас­сто­я­ние по вер­ти­кали между площад­ками), гори­зон­таль­ных — гори­зон­таль­ного. Это иллю­страция неод­но­знач­ного выбора крат­чайшего пути в ман­хэт­тен­ской мет­рике, а ещё — клас­си­че­ская задача для детей.

Далёкое близкое // Математическая составляющая