Масштабирование изображений

Когда мы смот­рим фильм на гигант­ском экране или разгля­ды­ваем небольшие фотографии в семей­ном аль­боме, то, неза­ви­симо от разме­ров изоб­раже­ния, «пра­вильно» воспри­нимаем и оце­ни­ваем кар­тинку. Так про­ис­хо­дит потому, что во всех «копиях» оди­на­ко­вые про­порции: совпа­дают и отноше­ния разме­ров всех объек­тов, и отноше­ния рас­сто­я­ний между ними.

Масштабирование изображений // Математическая составляющая

А какие геомет­ри­че­ские инструменты обес­пе­чи­вают такую «пра­виль­ность» копи­ро­ва­ния? Клю­че­вое сло­во­со­че­та­ние — «пре­об­ра­зо­ва­ние подо­бия», поня­тие, изу­ча­емое в школь­ном курсе геомет­рии.

При таком пре­об­ра­зо­ва­нии плос­ко­сти (или про­стран­ства) рас­сто­я­ния между точ­ками изме­няются в одно и то же число раз: если точки $A$ и $B$ пере­хо­дят в $A_1$ и $B_1$, то $A_1B_1=kAB$, где $k$ — чис­ло­вая харак­те­ри­стика пре­об­ра­зо­ва­ния, её назы­вают коэффици­ен­том подо­бия.

Нагляд­ный при­мер пре­об­ра­зо­ва­ния подо­бия — гомо­те­тия (соеди­нены древ­негре­че­ские слова «оди­на­ко­вый» и «рас­по­ложен­ный»): фик­си­руются центр $O$ и коэффици­ент $k>0$, точка $A$ пере­хо­дит в такую точку $A_1$ на луче $OA$, что $OA_1=k OA$. По сути, вся­кое пре­об­ра­зо­ва­ние подо­бия сво­дится к гомо­те­тии: можно дока­зать, что пре­об­ра­зо­ва­ние подо­бия — результат после­до­ва­тель­ного выпол­не­ния гомо­те­тии и движе­ния.

Заме­ча­тель­ной чер­той пре­об­ра­зо­ва­ния подо­бия явля­ется сохра­не­ние важ­ных геомет­ри­че­ских свойств. Напри­мер, прямые линии пере­во­дятся в прямые, сохра­няются углы между прямыми.

То, что эти утвер­жде­ния спра­вед­ливы в слу­чае движе­ния, оче­видно, для гомо­те­тии они выво­дятся из свойств подоб­ных тре­уголь­ни­ков. А упомя­ну­тая тео­рема о струк­туре про­из­воль­ного пре­об­ра­зо­ва­ния подо­бия «объяс­няет», почему они верны и в общем слу­чае.

Cвойства подо­бия делают исход­ную кар­тинку и масшта­би­ро­ван­ную копию рав­но­прав­ными изоб­раже­ни­ями. Сохра­не­ние углов, про­порций, харак­тера линий — всё соеди­ня­ется в созна­нии зри­теля в итого­вом реше­нии: это «оди­на­ко­вые» изоб­раже­ния, порт­реты одного ориги­нала, и един­ствен­ное, что их отли­чает, — размеры.

Уди­ви­тельно, что бога­тый набор полез­ных свойств пре­об­ра­зо­ва­ния подо­бия выво­дится из лако­нич­ного и про­стого по форму­ли­ровке опре­де­ле­ния: все рас­сто­я­ния изме­няются в одно и то же число раз.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Опре­де­ле­ние пре­об­ра­зо­ва­ния гомо­те­тии с цен­тром $O$ и коэффици­ен­том гомо­те­тии $k>0$: точка $A$ пере­хо­дит в такую точку $A_1$ на луче $OA$, что $OA_1=kOA$. Можно опре­де­лить гомо­те­тию и при отрица­тель­ном зна­че­нии $k$.

Пре­об­ра­зо­ва­ние гомо­те­тии с цен­тром $O$ и коэффици­ен­том $k=-1$ — это цен­траль­ная симмет­рия: точка $A$ пере­хо­дит в такую точку $A_1$, что $O$ — сере­дина отрезка $AA_1$. При про­из­воль­ном отрица­тель­ном $k$ гомо­те­тия с цен­тром $O$ опре­де­ля­ется как компо­зиция гомо­те­тии с положи­тель­ным коэффици­ен­том $|k|$ и цен­траль­ной симмет­рии с цен­тром $O$.

Пре­об­ра­зо­ва­ния подо­бия можно при­ме­нять не только к плос­ким изоб­раже­ниям, но и к трёхмер­ным объек­там. При­мер из лите­ра­тур­ной клас­сики: у Джо­на­тана Свифта попавший в Лилипу­тию Гул­ли­вер обна­ружи­вает, что очу­тился в мире, в кото­ром все размеры (рост жите­лей, высота дере­вьев и домов) в 12 раз меньше при­выч­ных, но про­порции те же.

Лите­ра­тура

Яглом И. М. Геомет­ри­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния. — Т. I: Движе­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния подо­бия. — М.: ГИТТЛ, 1955. — (Биб­лио­тека матема­ти­че­ского кружка; Вып. 7).