Невозможные фигуры

И фотографии, и кар­тины обычно не вызы­вают сомне­ний в реаль­но­сти изоб­ражён­ных на них объек­тов. Но встре­чаются и оза­да­чи­вающие при­меры. Самые извест­ные — гра­вюры Мау­рица Эшера.

На литографии «Спус­ка­ясь и под­нима­ясь» (1960) изоб­ражены идущие по замкну­той лест­нице нав­стречу друг другу две группы. При­чём у идущих в одном направ­ле­нии по ступе­ням лест­ницы — бес­ко­неч­ный подъём вверх, а у идущих нав­стречу — бес­ко­неч­ный спуск. Эшер писал про бес­ко­неч­ную лест­ницу: «Это нечто замкну­тое, кольце­вое, словно змея, загла­ты­вающая соб­ствен­ный хвост. Тем не менее, можно нари­со­вать её в пра­виль­ной пер­спек­тиве: каж­дая ступень выше (или ниже), чем сле­дующая».

На гра­вюре «Водопад» (1961) пред­став­лена «действующая» модель веч­ного двига­теля: поток воды низ­верга­ется вниз, по дороге кру­тит колесо, а потом бежит вниз к… вер­хо­вьям водопада.

Идея, на кото­рой осно­ваны эти работы, вос­хо­дит к швед­скому худож­нику Оскару Рутер­сварду. В 1934 году, ещё учась в гим­на­зии, он на уроке по латин­ской грамма­тике нари­со­вал первую невозмож­ную фигуру. Работы Эшера — художе­ствен­ное воплоще­ние геомет­ри­че­ских моде­лей, пред­ложен­ных в 1950‐х годах Лайо­не­лом и Родже­ром Пен­ро­узами (отец и сын, пси­хо­лог и матема­тик).

Самая про­стая из этих моде­лей, невозмож­ный тре­уголь­ник, состоит из трёх вза­имно перпен­ди­ку­ляр­ных прямо­уголь­ных брус­ков — непре­рыв­ной цепочки трёх попарно перпен­ди­ку­ляр­ных рёбер куба. Если смот­реть на кон­струкцию из точки на про­долже­нии диаго­нали куба, про­хо­дящей через край­ние концы цепочки, то цепочка замкнётся, пре­вра­тившись в «тре­уголь­ник» (в экс­пе­рименте стоит закрыть один глаз). На плос­ком изоб­раже­нии уви­ден­ного соеди­не­ние элемен­тов вызы­вает ощуще­ние, что такого не может быть.

Невозможные фигуры // Математическая составляющая

А на самом деле каж­дая из подоб­ных «невозмож­ных» фигур обла­дает реаль­ным про­то­типом, при взгляде на кото­рый лишь с опре­де­лён­ных точек видишь то, что суще­ство­вать, каза­лось бы, не может! Более того, даже «про­стой» невозмож­ный тре­уголь­ник можно полу­чить как порт­рет цепо­чек из трёх брус­ков, края кото­рых устро­ены по-раз­ному, а в процессе визу­аль­ного «замы­ка­ния» это раз­ли­чие исче­зает.

Лите­ра­тура

Рутер­свард О. Невозмож­ные фигуры. — М.: Строй­из­дат, 1990.