Музыкальный строй

Музыкаль­ный строй — это система сопо­став­ле­ния нот (зна­ков, обо­зна­че­ний) и зву­ко­вых частот. Пери­о­дом музыкаль­ного строя явля­ется октава — интер­вал между нотами, частоты кото­рых отли­чаются в два раза. Тра­дици­онно октава состоит из 12 ступе­ней. Напри­мер, на кла­ви­а­туре рояля она пред­став­лена семью основ­ными (белыми) кла­вишами и пятью допол­ни­тель­ными (чёр­ными).

Музыкальный строй // Математическая составляющая

При­ме­ня­емый в наши дни музыкаль­ный строй допус­кает про­зрач­ное и изящ­ное матема­ти­че­ское опи­са­ние.

Появ­ле­ние в пер­вой поло­вине XVIII века сочи­не­ния Иоганна Себастьяна Баха «Хорошо темпе­ри­ро­ван­ный кла­вир» кано­ни­зи­ро­вало рав­но­мерно темпе­ри­ро­ван­ный строй — музыкаль­ный строй, в кото­ром отноше­ние зву­ко­вых частот сосед­них нот явля­ется вели­чи­ной фик­си­ро­ван­ной. Будем обо­зна­чать это отноше­ние через $q$ (большей частоты к меньшей, $q>1$).

Таб­лица частот нот рав­но­мерно темпе­ри­ро­ван­ного строя может быть пред­став­лена в виде дву­сто­рон­ней после­до­ва­тель­но­сти, в кото­рой соеди­нены две геомет­ри­че­ские прогрес­сии.

В каче­стве точки отсчёта берётся нота «ля» пер­вой октавы, пусть $f_1$ — её частота. Пра­вая ветвь после­до­ва­тель­но­сти — воз­рас­тающая геомет­ри­че­ская прогрес­сия $f_1$, $f_1q$, $f_1q^2$, …, её знаме­на­тель равен $q$. Левая ветвь — убы­вающая геомет­ри­че­ская прогрес­сия $f_1$, $\frac{f_1}{q}$, $\frac{f_1}{q^2}$, … со знаме­на­те­лем $\frac{1}{q}$.

Музыкальный строй // Математическая составляющая

Зная на сколько выбран­ная нота отстоит от «точки отсчёта», можно выпи­сать формулу, свя­зы­вающую частоты этих двух нот. Напри­мер, для пра­вой ветви элемент геомет­ри­че­ской прогрес­сии с номе­ром $n$ вычис­ля­ется по формуле $f_n=f_1\cdot q^{n-1}$.

По опре­де­ле­нию октавы $f_{n+12}=2\cdot f_n$. С дру­гой сто­роны, для элемен­тов геомет­ри­че­ской прогрес­сии $f_{n+12}=f_n\cdot q^{12}$. Зна­чит, $ f_n\cdot q^{12}=2\cdot f_n $, откуда $q^{12}=2$. Сле­до­ва­тельно, для октавы из 12 ступе­ней рав­но­мерно темпе­ри­ро­ван­ного строя фун­дамен­таль­ной харак­те­ри­сти­кой, мульти­пли­ка­тив­ным (т. е. по умноже­нию) шагом, опре­де­ляющим «рав­но­мер­ность» движе­ния по после­до­ва­тель­но­сти частот, явля­ется число $ q=\sqrt[12]{2}=1{,}059463… $

Фик­сация зна­че­ния частоты ноты «ля» (напри­мер, по камер­тону) пол­но­стью опре­де­ляет частоты всех нот рав­но­мерно темпе­ри­ро­ван­ного строя. В наши дни кано­ни­че­ским вари­ан­том явля­ется зна­че­ние $f_1=440$ Гц.

В воспри­я­тии чело­ве­ком мело­дии отноше­ние частот зву­чащих (после­до­ва­тельно или одно­временно) нот важ­нее, чем их абсо­лют­ные вели­чины. Именно это обсто­я­тельство при­вело к осо­знан­ной необ­хо­димо­сти выбора частот музыкаль­ного строя по «мульти­пли­ка­тив­ному» принципу.

Посто­ян­ство «мульти­пли­ка­тив­ного» шага у рав­но­мерно темпе­ри­ро­ван­ного строя обу­сло­вило его глав­ное пре­имуще­ство перед исто­ри­че­скими пред­ше­ствен­ни­ками — возмож­ность сдвигать музыкаль­ные мело­дии на про­из­воль­ное число ступе­ней. При сдвиге фраг­мента отноше­ние частот сосед­них нот оста­ётся неизмен­ным, а сле­до­ва­тельно, сохра­ня­ется и мело­ди­че­ский рису­нок.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

К постро­е­нию музыкаль­ного строя как после­до­ва­тель­но­сти частот можно подойти акси­о­ма­ти­че­ски, ука­зав набор жела­тель­ных свойств:

1) вме­сте с каж­дой часто­той $f$ в строй вхо­дят частоты $2f$ и $\frac12 f$ (от каж­дой ноты можно постро­ить октаву и вверх, и вниз);

2) любую мело­дию можно сдвигать на про­из­воль­ное число ступе­ней без искаже­ний.

Ока­зы­ва­ется, сформу­ли­ро­ван­ная задача имеет един­ствен­ное реше­ние — рав­но­мерно темпе­ри­ро­ван­ный строй. Матема­ти­че­ски это озна­чает, что набор частот $\{f_n\}$ явля­ется геомет­ри­че­ской прогрес­сией.

Рав­но­мерно темпе­ри­ро­ван­ный строй соверше­нен не во всех отноше­ниях. Один из самых замет­ных недо­стат­ков — отсут­ствие всех чистых интер­ва­лов, кроме октавы — пери­ода («Чистые интер­валы»). Напри­мер, здесь нет ни чистой квинты (двух зву­ков, отноше­ние частот кото­рых равно 3/2), ни чистой кварты (4/3).

Музыкальный строй // Математическая составляющая

Квинту обра­зуют ноты «до» и «соль», отноше­ние частот равно $q^7$ (в силу рав­но­мер­но­сти строя интер­вал можно стро­ить от любой ноты). Напом­ним, что в октаве за 12 шагов частота повыша­ется в два раза, $q^{12}=2$, т. е. знаме­на­тель прогрес­сии $q=\sqrt[12]{2}=2^{1/12}$. Поэтому квинта не явля­ется чистой: $2^{7/12}\ne\frac{3}{2}$. Ана­логично, кварта в рав­но­мерно темпе­ри­ро­ван­ном строе не явля­ется чистой, $2^{5/12}\ne\frac{4}{3}$. В обоих слу­чаях всё сво­дится к тому, что $2^m\ne 3^n$ ни при каких нату­раль­ных $m$ и $n$.

Деле­ние октавы именно на 12 ступе­ней (шагов) оптимально с точки зре­ния при­ближе­ния чистых интер­ва­лов (см. «Чистые интер­валы»). Это можно выве­сти, исполь­зуя цеп­ные дроби. В ста­тье «Висо­кос­ное лето­счис­ле­ние») цеп­ные дроби пока­зали свою эффек­тив­ность в задаче нахож­де­ния наи­лучшего кален­даря.

Для чистой квинты раз­ложе­ние в цеп­ную дробь имеет вид $$ \log_2\frac{3}{2}= \frac1{1+\frac1{1+\frac1{2+\frac1{2+\frac1{3+…\vphantom{\frac12} }}}}}. $$

(Выбор числа 2 как осно­ва­ния лога­рифма свя­зан с отноше­нием частот двух зву­ков, обра­зующих октаву.)

Пер­вые под­хо­дящие дроби этого раз­ложе­ния: $$ \displaylines{ 0,\quad \frac{1}{1}=1,\quad \frac1{1+\frac1{1}}=\frac{1}{2},\quad \frac1{1+\frac1{1+\frac1{2}}}=\frac{3}{5},\cr \frac1{1+\frac1{1+\frac1{2+\frac1{2}}}}=\frac{7}{12},\quad \frac1{1+\frac1{1+\frac1{2+\frac1{2+\frac1{3}}}}}=\frac{24}{41}.\cr}$$

Среди при­ве­дён­ных под­хо­дящих дро­бей есть и кано­ни­че­ский вари­ант: выби­ра­ется октава из 12 нот, «рас­сто­я­ние» между нотами, обра­зующими квинту, — 7 шагов. Другие при­ближе­ния про­иг­ры­вают: пара «5 нот, 3 шага» — гру­бая, неточ­ная; делить октаву на 41 шаг — неудобно прак­ти­че­ски.

Зна­че­ние квинты, под­ска­зан­ной цеп­ными дро­бями, близко к чистой квинте: $q^7=(\sqrt[12]{2})^7≈ 1{,}4983≈ \frac{3}{2}$. Чистая кварта $\frac43=1{,}33333…$ также хорошо при­ближа­ется зна­че­нием кварты $q^5=(\sqrt[12]{2})^5≈ 1{,}3348$.

Сколько в году длин­ных месяцев (дли­ной 31 день)? Как запом­нить чере­до­ва­ние длин­ных и корот­ких месяцев? На оба вопроса можно отве­тить, взгля­нув на костяшки рук.

Неожи­дан­ным явля­ется пред­став­ле­ние месяцев как белых и чёр­ных кла­виш пиа­нино или рояля (Конце­вич М. Рав­но­мер­ные рас­по­ложе­ния // Жур­нал «Квант». 1985. № 7. Стр. 51, 52, 59). Если каж­дому месяцу, начи­ная с января, сопо­ста­вить ноту, двига­ясь после­до­ва­тельно от белой кла­виши «фа» (январь — это «фа», фев­раль — «фа-диез» и т. д.), то длин­ные месяцы будут свя­заны с длин­ными (белыми) кла­вишами, корот­кие — с корот­кими (чёр­ными). Полу­ча­ется, что «костяшки» кла­ви­а­туры также помогут опре­де­лить чере­до­ва­ние месяцев.

Музыкальный строй // Математическая составляющая

Совпа­де­ние чере­до­ва­ний длин­ных и корот­ких месяцев, длин­ных и корот­ких кла­виш — неслу­чайно. Октава из 12 нот — период музыкаль­ного строя, год, состо­ящий из 12 месяцев, — тоже период. В обоих слу­чаях воз­ни­кает «окруж­ность», на кото­рой белые и чёр­ные кла­виши, длин­ные и корот­кие месяцы рас­пре­де­лены пра­вильно, рав­но­мерно. Если опре­де­лить рав­но­мер­ность разумно-матема­ти­че­ски, то ока­зы­ва­ется, что при любых нату­раль­ных $n$ и $k$ рав­но­мер­ное рас­пре­де­ле­ние на окруж­но­сти $n$ белых и $k$ чёр­ных точек — един­ствен­ное (с точ­но­стью до пово­рота окруж­но­сти). В наших при­ме­рах (октава и год) $n=7$ и $k=5$.

Лите­ра­тура

Штейнгауз Г. Матема­ти­че­ский калей­до­скоп. — М.—Л.: Гостех­издат, 1949. — [Параграфы «Решётка целых чисел» и «Темпе­ри­ро­ван­ная гамма рояля»].

Шилов Г. Е. Про­стая гамма. Устройство музыкаль­ной шкалы. — М.: Физмат­лит, 1963. — (Попу­ляр­ные лекции по матема­тике; Вып. 37).

Варга Б., Димень Ю., Лопа­риц Э. Язык, музыка, матема­тика. — М.: Мир, 1981.

Волоши­нов А. В. Матема­тика и искус­ство. — 2‐е изд. — М.: Про­свеще­ние, 2000.

Джинс Дж. Наука и музыка. — М.: Инсти­тут компью­тер­ных иссле­до­ва­ний, 2011.

Спо­со­бин И. В. Элемен­тар­ная тео­рия музыки. — М.: Музгиз, 1963.

Loy G. Musimathics: the mathematical foundations of music. — V. 1, 2. — MIT Press, 2006, 2007.