Пчелиные соты

Пче­ли­ные соты издавна вызы­вают у чело­века вос­хище­ние симмет­рией и кра­со­той своей архи­тек­туры. Уди­ви­тельно, но оптималь­ность созда­ва­емых пчё­лами кон­струкций матема­ти­че­ски обос­но­вать уда­лось только на про­тяже­нии послед­него сто­ле­тия.

На самом деле, пчёлы-стро­и­тели из выра­ба­ты­ва­емого ими воска сооружают ячейки в виде цилин­дров (а не шести­уголь­ных призм). Пчела движется от осно­ва­ния ячейки и, враща­ясь, лепит вокруг себя стенки цилин­дра. Диаметры ячеек почти совпа­дают, поскольку рабо­чие пчёлы при­мерно одного размера.

Пчелиные соты // Математическая составляющая

Осно­ва­ния ячеек пчёлы закла­ды­вают в виде гек­саго­наль­ной укладки кругов, кото­рая на плос­ко­сти явля­ется плот­нейшей. Пчёлы так делают веками, а матема­тики дока­зали оптималь­ность дан­ной укладки только к сере­дине XX века. Упомя­нем, что ана­логич­ная задача для шаров в трёхмер­ном про­стран­стве (гипо­теза Кеплера) была решена лишь в конце XX века, а в XXI веке — ещё и в про­стран­ствах размер­но­стей 8 и 24.

Но хотя укладка цилин­дров и наип­лот­нейшая, между ними остаются зазоры. Этот недо­ста­ток исче­зает уже без уча­стия пчёл: пока воск пла­сти­чен, под действием сил поверх­ност­ного натяже­ния (как в мыль­ных плён­ках) стенки ячеек при­нимают форму при­мы­кающих друг к другу шести­уголь­ных призм.

Воск для пчёл — доро­гой мате­риал (в срав­не­нии с мёдом), поэтому, строя соты, надо выбрать такую архи­тек­туру, чтобы рас­ход воска был минималь­ным при раз­би­е­нии дан­ного большого объёма на оди­на­ко­вые ячейки.

Ока­зы­ва­ется, оптималь­ность укладки кругов на плос­ко­сти «насле­ду­ется» шести­уголь­ни­ками, в кото­рые они пре­вра­ти­лись: полу­ча­ется самый эко­номич­ный вари­ант по рас­ходу воска.

Матема­ти­че­ская поста­новка задачи такова: надо найти раз­би­е­ние большой плос­кой обла­сти на элементы малой фик­си­ро­ван­ной площади (размер пчелы), у кото­рого суммар­ный периметр гра­ниц будет наименьшим. Без допол­ни­тель­ных усло­вий (напри­мер, что элементы — выпук­лые) задача ока­за­лась слож­ной. Только в начале XXI века задача была решена в общей поста­новке: раз­би­е­ние на пра­виль­ные шести­уголь­ники ока­за­лось наи­лучшим.

Но если счи­тать, что элементы раз­би­е­ния — оди­на­ко­вые пра­виль­ные много­уголь­ники, то объяс­нить пре­имуще­ство шести­уголь­ни­ков несложно. Ясно, что плос­кость можно замо­стить пра­виль­ными тре­уголь­ни­ками, квад­ра­тами, пра­виль­ными шести­уголь­ни­ками. Ока­зы­ва­ется, других вари­ан­тов нет.

Пчелиные соты // Математическая составляющая

Напри­мер, если к двум смеж­ным сто­ро­нам пра­виль­ного пяти­уголь­ника при­ложить такие же пяти­уголь­ники, то около общей вершины «неза­пол­нен­ным» оста­нется угол, кото­рый, оче­видно, замо­стить не удастся. По ана­логич­ным сооб­раже­ниям не удастся замо­стить плос­кость и пра­виль­ными $n$‐уголь­ни­ками, если $n\ge 7$: у каж­дого угол при вершине больше, чем $120°$ (угол в пра­виль­ном шести­уголь­нике), «неза­пол­нен­ный» внеш­ний угол в общей вершине двух $n$‐уголь­ни­ков слиш­ком мал — тре­тий уже не помеща­ется.

Пчелиные соты // Математическая составляющая

Оста­лось срав­нить три пере­чис­лен­ных раз­би­е­ния по вели­чине суммар­ного периметра гра­ниц. Неслож­ные вычис­ле­ния пока­зы­вают, что в цепочке элемен­тов рав­ной площади «тре­уголь­ник — квад­рат — шести­уголь­ник» их периметры моно­тонно уменьшаются. Чтобы найти суммар­ный периметр гра­ниц раз­би­е­ния, надо сложить периметры элемен­тов и раз­де­лить сумму на 2, так как во «внут­рен­ней» части отрезки гра­ниц будут сто­ро­нами сразу двух при­легающих много­уголь­ни­ков. Зна­чит, наи­лучшим явля­ется раз­би­е­ние на пра­виль­ные шести­уголь­ники.

Сле­до­ва­тельно, и гек­саго­нально уложен­ные шести­уголь­ные призмы-ячейки обра­зуют слой, в сооруже­нии кото­рого исполь­зо­вано минималь­ное коли­че­ство воска. У всех ячеек слоя общее плос­кое дно, а входы с одной сто­роны. В при­роде пчёлы сооружают сразу два слоя с общим днищем. Сдвиг слоёв отно­си­тельно друг друга пре­вращает плос­кое дно каж­дой призмы в трёхгран­ный выступ, объём ячеек уве­ли­чи­ва­ется, а два слоя ока­зы­ваются накрепко состы­ко­ван­ными.

Пчелиные соты // Математическая составляющая

Архи­тек­туру пче­ли­ного таун­ха­уса отли­чают два важ­ных свойства: оптималь­ность по затра­там воска и высо­кая проч­ность.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Гек­саго­наль­ная упа­ковка кругов на плос­ко­сти явля­ется плот­нейшей. Это «знают» пчёлы, это зна­ние можно вопло­тить и в голо­во­ломке, зада­ние кото­рой кажется невы­пол­нимым.

На прямо­уголь­ном поле, огра­ни­чен­ном невы­со­кой рам­кой, рас­по­ложены вплот­ную друг к другу 40 оди­на­ко­вых круж­ков (шайб), их цен­тры обра­зуют квад­рат­ную решётку. Ока­зы­ва­ется, можно пере­ложить кружки так, чтобы внутри рамки уме­стился 41 кружок!

Пчелиные соты // Математическая составляющая
Пчелиные соты // Математическая составляющая

Кружки можно выре­зать из кар­тона, а можно исполь­зо­вать и гото­вые вари­анты — монеты, пуго­вицы и т. п. Поле и рамку можно изго­то­вить из фанеры, листа пла­стика, даже из плот­ного кар­тона. Сна­чала надо опре­де­лить размеры поля, соот­вет­ствующего каре из круж­ков $5\times 8$, а затем накле­ить прямо­уголь­ное обрам­ле­ние, рамку. (Поле $5\times 8$ — наименьшее прямо­уголь­ное, в кото­ром возможно про­ве­сти «уплот­не­ние», разме­стить ещё один кружок.)

Лите­ра­тура

Фейеш Тот Л. Рас­по­ложе­ния на плос­ко­сти, на сфере и в про­стран­стве. — М.: ГИФМЛ, 1958.

Вейль Г. Симмет­рия. — М.: Наука, 1968. — [Стр. 107—110].