Книги-панорамы

Дет­ские книжки-пано­рамы с под­нимающи­мися фигу­рами рыца­рей и сте­нами зам­ков, про­мопро­дукция компа­ний, при­тяги­вающая взрос­лых своей трёхмер­ной реклам­ной убе­ди­тель­но­стью — кон­струкции, осно­ван­ные на эффекте Pop Up (= вне­запно под­няться). Про­ек­ти­ро­ва­ние таких кон­струкций — по сути, геомет­ри­че­ская задача.

Книжки-пано­рамы обычно рас­кры­ваются пол­но­стью, на $180°$. Наи­бо­лее попу­ляр­ная основа меха­низма Pop Up в этом слу­чае — при­креп­лён­ная к стра­ни­цам раз­во­рота V‐об­раз­ная кар­тон­ная кон­струкция, по‐английски — V‐fold, а с точки зре­ния геомет­рии — дву­гран­ный угол.

Для достиже­ния раз­лич­ных эффек­тов иногда тре­бу­ется, чтобы грани угла были перпен­ди­ку­лярны раз­во­роту, иногда — чтобы грани были накло­нены внутрь или наружу кон­струкции. Опре­де­ляют эти слу­чаи два плос­ких угла: $α$ — угол между реб­ром дву­гран­ного угла и линией при­клейки, $β$ — угол между сги­бом книги и линией при­клейки (будем счи­тать, что $β<90°$, т. е. V‐угол обращён реб­ром к нам).

Чтобы полу­чить действующую кон­струкцию, соот­ноше­ния между $α$ и $β$ должны быть сле­дующими.

Грани дву­гран­ного угла перпен­ди­ку­лярны раз­во­роту: необ­хо­димо, чтобы выпол­ня­лись усло­вия $α = 90°$, $β < 90°$.

Книги-панорамы // Математическая составляющая

Грани и ребро дву­гран­ного угла откло­няются от нас: $α < 90°$, $β < 90°$, $α ≥ β$. При фик­си­ро­ван­ном $β$ уменьше­ние $α$ уве­ли­чи­вает наклон ребра («от нас»). В пре­деле при $α = β$ угол не будет под­ниматься, будет «лежа­чим». При фик­си­ро­ван­ном $α$ уменьше­ние $β$ уменьшает наклон ребра.

Книги-панорамы // Математическая составляющая

Грани и ребро накло­нены к нам: $α > 90°$, $β < 180° - α$. При фик­си­ро­ван­ном $α$ уменьше­ние $β$ уменьшает наклон, ребро и грани при­ближаются к вер­ти­каль­ному положе­нию.

Книги-панорамы // Математическая составляющая

Ещё один важ­ный для кон­струкций Pop Up меха­низм — «парал­ле­лограмм». Напом­ним, что у парал­ле­лограмма про­ти­вопо­лож­ные сто­роны равны и парал­лельны. Осо­бен­ность «парал­ле­лограмм»-кон­струкций — выру­баться они могут из «раз­во­ра­чи­вающегося» кар­тона, а могут быть и внеш­ними, при­кле­ен­ными к нему, напри­мер, допол­нять элементы V‐fold.

Книги-панорамы // Математическая составляющая

Для открыток, кото­рые рас­кры­ваются не пол­но­стью на $180°$, а на меньший угол, обычно $90°$, кон­струкцию Pop  p часто выру­бают из кар­тона самой открытки. Про­стейшая кон­струкция в дан­ном слу­чае — часть дву­гран­ного угла, состо­ящая из двух тре­уголь­ни­ков, опре­де­ля­емых сво­ими сто­ро­нами (левый рису­нок). При фик­си­ро­ван­ном непол­ном раз­во­роте открытки система квад­рат­ных урав­не­ний, опре­де­ляющая коор­ди­наты подвиж­ной вершины, имеет ровно два реше­ния, кото­рым соот­вет­ствуют зелё­ная и синяя точки.

Книги-панорамы // Математическая составляющая

Типов про­стейших кон­струкций немного, но из них, как из «кирпи­чи­ков», можно создать весьма затей­ли­вые сооруже­ния. Подобно архи­тек­туре, много­об­ра­зие форм воз­ни­кает за счёт ком­би­ни­ро­ва­ния и кирпи­чи­ков, и стро­и­тель­ных при­ёмов. Так, можно вклю­чить в кон­струкцию Pop Up несколько одно­тип­ных элемен­тов (при­мер  — «ёлочка»), можно исполь­зо­вать цепочку одно­тип­ных элемен­тов, в кото­рой после­дующий элемент выре­за­ется из преды­дущего (при­мер  — лесенка, сде­лан­ная на основе «парал­ле­лограмма»). Можно исполь­зо­вать и слож­ные компо­зиции про­стейших элемен­тов.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»