Фигуры постоянной ширины

Крышки люков, спа­сающие пеше­хо­дов от паде­ний в колодцы и мешающие автомо­би­ли­стам, чаще всего имеют круг­лую форму. Выбор такой формы объяс­ня­ется сооб­раже­ни­ями без­опас­но­сти — квад­рат­ная крышка при сдвиге может про­ва­литься, поскольку сто­рона квад­рата меньше его диаго­нали. А у круга есть заме­ча­тель­ное свойство — это фигура посто­ян­ной ширины.

Посто­ян­ная ширина озна­чает, что при «обхвате» фигуры двумя парал­лель­ными прямыми ширина полу­чен­ной полосы будет посто­ян­ной, не зави­сящей от выбора направ­ле­ния прямых.

А есть ли на плос­ко­сти, помимо круга, другие фигуры посто­ян­ной ширины? Ока­зы­ва­ется, есть, и их бес­ко­нечно много.

Самая про­стая и самая знаме­ни­тая такая фигура — тре­уголь­ник Рёло. Точ­нее говоря, эта фигура только напоми­нает тре­уголь­ник, её гра­ница — дуги трёх окруж­но­стей с цен­трами в верши­нах пра­виль­ного тре­уголь­ника и оди­на­ко­вых ради­у­сов, рав­ных длине сто­роны тре­уголь­ника. Можно пока­зать (и «про­ве­рить» с помощью штангенцир­куля), что при обхвате фигуры парал­лель­ными прямыми точ­ками каса­ния прямых для тре­уголь­ника Рёло будут одна из его вершин и кака­я‐то точка на про­ти­во­лежащей этой вершине дуге окруж­но­сти. Так как ради­усы всех дуг равны, то результат «изме­ре­ния» все­гда будет оди­на­ков.

Фигуры постоянной ширины // Математическая составляющая

По той же схеме, что и для тре­уголь­ника, фигуру посто­ян­ной ширины можно постро­ить на любом пра­виль­ном $n$‐уголь­нике, имеющем нечёт­ное число вершин. Можно постро­ить и несиммет­рич­ные фигуры посто­ян­ной ширины.

Фигуры постоянной ширины // Математическая составляющая

Житейски, свойство посто­ян­ной ширины фигуры можно про­де­мон­стри­ро­вать, изго­то­вив набор роли­ков с профи­лями раз­лич­ных фигур фик­си­ро­ван­ной посто­ян­ной ширины. Если положить ролики на гори­зон­таль­ную поверх­ность и накрыть дощеч­кой, то при каче­нии роли­ков дощечка будет перемещаться гори­зон­тально.

У фигур посто­ян­ной ширины немало инте­рес­ных свойств. Напри­мер, все фигуры дан­ной посто­ян­ной ширины имеют оди­на­ко­вый периметр. Есть у таких фигур и свое­об­раз­ная иерар­хия. А именно, среди фигур дан­ной посто­ян­ной ширины наи­большая площадь — у круга, наименьшая — у тре­уголь­ника Рёло.

Благо­даря своим геомет­ри­че­ским свойствам, фигуры посто­ян­ной ширины нахо­дят при­ме­не­ние в раз­лич­ных обла­стях.

Пер­вый при­мер. Вы опус­ка­ете монету в авто­мат и она отправ­ля­ется в путь по моне­топри­ём­нику. Чтобы монета не застряла, можно, конечно, расши­рить трубку. А можно изго­тав­ли­вать монеты в виде фигур посто­ян­ной ширины, тогда монета не застря­нет, даже враща­ясь.

Про­стейшая фигура посто­ян­ной ширины, как мы знаем, — круг, форму кото­рого имеет большин­ство монет. Но есть и исклю­че­ния. В Вели­ко­бри­та­нии 20‐ и 50‐пен­со­вые монеты имеют форму фигуры посто­ян­ной ширины, постро­ен­ной на пра­виль­ном семи­уголь­нике. Такую же форму имеет и монета досто­ин­ством в пол­ди­нара, имеющая хож­де­ние в Иор­да­нии. Изго­тов­ле­ние монет в виде фигур посто­ян­ной ширины, отлич­ных от круга, поз­во­ляет эко­номить металл: ведь как мы знаем, при фик­си­ро­ван­ной ширине круг­лая монета — самая метал­ло­ём­кая.

В двух других при­ме­рах тре­уголь­ник Рёло скрыт от глаз, но явля­ется глав­ной идей­ной состав­ляющей кон­струкции.

До наступ­ле­ния циф­ро­вой эпохи фильмы снимали на плёнку. И в кино­каме­рах, и в кинопро­ек­то­рах были грейфер­ные меха­низмы, обес­пе­чи­вавшие скач­ко­об­раз­ное движе­ние плёнки вдоль объек­тива (стан­дартно 18 скач­ков в секунду). Движе­ние этих меха­низмов зада­вал тре­уголь­ник Рёло.

В автомо­би­ле­стро­е­нии в конце 1940‐х годов Ф. Г. Ван­кель при­думал схему двига­теля без колен­ча­того вала — устройства, пре­об­ра­зующего поступа­тель­ное движе­ние порш­ней во враще­ние вала мотора. В этом двига­теле, назы­ва­емом ротор­ным, нет цилин­дров. Тело, назы­ва­емое рото­ром, при враще­нии посто­янно каса­ется сте­нок камеры двига­теля, раз­де­ляя рабо­чее про­стран­ство на три части. В двига­теле Ван­келя форма ротора в сече­нии — тре­уголь­ник Рёло.

Фигуры постоянной ширины // Математическая составляющая

Воз­враща­ясь к геомет­рии заме­тим, что если центр тре­уголь­ника Рёло двига­ется по спе­ци­аль­ной замкну­той кри­вой, а сам тре­уголь­ник при этом враща­ется вокруг цен­тра, то заме­та­емая область имеет форму квад­рата, углы кото­рого немного закруг­лены. С исполь­зо­ва­нием этой идеи раз­ра­бо­тано и запа­тен­то­вано сверло, поз­во­ляющее полу­чать почти квад­рат­ные отвер­стия!

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

На плос­ко­сти у фигур посто­ян­ной ширины $d$ оди­на­ко­вый периметр, рав­ный $π d$, как у окруж­но­сти диаметра $d$ (тео­рема Бар­бье). А площадь может быть раз­ной: наименьшая — у тре­уголь­ника Рёло, наи­большая — у круга.

В трёхмер­ном про­стран­стве можно выде­лить класс тел посто­ян­ной ширины, только обхват фигуры про­из­во­дится не парал­лель­ными прямыми (как в двумер­ном слу­чае), а парал­лель­ными плос­ко­стями. При­меры: шар и тело, полу­чающе­еся при враще­нии тре­уголь­ника Рёло вокруг оси симмет­рии. У этих фигур при оди­на­ко­вой ширине площадь поверх­но­сти раз­ная, т. е. у тео­ремы Бар­бье ана­лога нет. Оста­лись и нерешён­ные задачи, напри­мер: среди тел посто­ян­ной ширины $d$ найти тела с наименьшей поверх­но­стью и наименьшего объёма.

Было отме­чено, что круг имеет наи­большую площадь среди фигур задан­ной посто­ян­ной ширины. Но исто­ри­че­ски раньше появи­лись и были изу­чены изопе­римет­ри­че­ские задачи, в кото­рых надо найти фигуру наи­большей площади при задан­ном периметре и при задан­ных огра­ни­че­ниях на форму гра­ницы (попу­ляр­ное изложе­ние см. в книгах: Тихоми­ров В. М. «Рас­сказы о мак­симумах и минимумах» и Про­та­сов В. Ю. «Мак­симумы и минимумы в геомет­рии»). Если огра­ни­че­ний нет, то это круг. А если частью гра­ницы явля­ется отре­зок, длина кото­рого не учи­ты­ва­ется как часть периметра, то это полу­круг (задача Дидоны). Из изу­че­ния подоб­ных задач роди­лась целая матема­ти­че­ская дис­ци­плина — вари­аци­он­ное исчис­ле­ние.

Задача Дидоны названа так в честь леген­дар­ной фини­кийской царевны, осно­ва­тель­ницы Карфагена. Бежавшая из города Тир царевна оста­но­ви­лась на берегу современ­ного Туниса и на встрече с мест­ными вождями попро­сила их про­дать немного земли. Те «друже­любно» отве­тили, что Дидона может взять столько земли, сколько можно покрыть шку­рой быка, на кото­рой они сидят. Однако Дидона раз­ре­зала шкуру на тон­кие ремни, свя­зала их и ого­ро­дила большой уча­сток на берегу моря. Осно­ван­ная крепость Карфагена носила назва­ние Бирса, что озна­чало «шкура». В «Эне­иде» рим­ского поэта Верги­лия при­плывший в Карфаген Эней слышит такой рас­сказ:

В эти при­плыли места, где теперь ты могу­чие видишь
Стены, где ныне встаёт Карфагена новая крепость.
Здесь купили кло­чок земли, сколько можно одною
Шку­рой быка охва­тить (потому и назва­ние Бирса).

Лите­ра­тура

Яглом И. М., Бол­тян­ский В. Г. Выпук­лые фигуры. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1951. — (Биб­лио­тека матема­ти­че­ского кружка; Вып. 4).

Радема­хер Г., Тёп­лиц О. Числа и фигуры: Опыты матема­ти­че­ского мыш­ле­ния. — М.: ОНТИ, 1936. — (Биб­лио­тека матема­ти­че­ского кружка; Вып. 10). — [Пере­из­да­ния: 1938, 1962, 1966, 2020]. — [§ 25 «Кри­вые посто­ян­ной ширины»].

Кри­вые (фигуры) посто­ян­ной ширины // Матема­ти­че­ские этюды.