Измерение штангенциркулем

Чем объяс­ня­ется повышен­ная точ­ность результа­тов изме­ре­ния штангенцир­ку­лем в срав­не­нии с изме­ре­ни­ями при помощи обыч­ной линейки? На пер­вый взгляд — всё дело в точ­ной фик­сации объекта, но больший вклад вно­сит матема­ти­че­ская состав­ляющая кон­струкции штангенцир­куля.

Основ­ное отли­чие от обыч­ной линейки — допол­ни­тель­ная шкала на подвиж­ной рамке. Если бы на подвиж­ной рамке вме­сто набора деле­ний была лишь одна риска, то по сути штангенцир­куль был бы обыч­ной линей­ной, а риска — служила бы ука­за­те­лем-«кур­со­ром». При изме­ре­нии объекта риска, пока­зы­вающая сдвиг рамки отно­си­тельно штанги, может попасть между деле­ни­ями основ­ной шкалы, и размер можно будет опре­де­лить только с точ­но­стью до мил­лиметра, округ­лив результат либо в меньшую, либо в большую сто­рону.

Измерение штангенциркулем // Математическая составляющая

Идея, не услож­няющая устройство, но поз­во­ляющая полу­чать более точ­ные результаты изме­ре­ния, появи­лась несколько веков назад. Она заклю­ча­ется в нане­се­нии на подвиж­ную рамку спе­ци­аль­ной допол­ни­тель­ной шкалы — нони­уса.

Десять деле­ний шкалы на подвиж­ной рамке по длине совпа­дают с 19 деле­ни­ями основ­ной шкалы, рас­по­ложен­ной на штанге. Шкала, постро­ен­ная по такому принципу, и назы­ва­ется нониус — в честь пор­тугальского матема­тика П. Нуниша (лати­ни­зи­ро­ван­ное имя — Nonius), при­думавшего сам принцип. Современ­ный вид такой шкалы был пред­ложен фран­цуз­ским матема­ти­ком П. Вер­нье, и поэтому вто­рое назва­ние — вер­ньер.

Измерение штангенциркулем // Математическая составляющая

Уди­ви­тель­ным обра­зом эта про­стая кон­струкция уве­ли­чи­вает точ­ность результа­тов изме­ре­ний на поря­док — до $0{,}1$ мм!

В изоб­ражён­ном на рисунке слу­чае нуле­вая риска допол­ни­тель­ной шкалы ука­зы­вает на основ­ной шкале размеры детали: больше 37 мм, но меньше 38 мм. Обо­зна­чим размер детали (пока­за­тель риски) через $37+x$.

Измерение штангенциркулем // Математическая составляющая

Будем двигаться по деле­ниям допол­ни­тель­ной шкалы слева направо и най­дём то деле­ние, кото­рое совпа­дает (или почти совпа­дает) с каким-нибудь деле­нием основ­ной шкалы. Допу­стим, деле­ние $k$ допол­ни­тель­ной шкалы совпало (почти совпало) с деле­нием $l$ основ­ной шкалы (где $l$ счи­та­ется от отметки 37).

Измерение штангенциркулем // Математическая составляющая

Из совпа­де­ния деле­ний основ­ной и допол­ни­тель­ной шкал полу­чаем урав­не­ние $$ 37+l≈ 37+x+k\cdot\frac{19}{10}. $$

Поскольку на два деле­ния основ­ной шкалы при­хо­дится при­бли­зи­тельно одно деле­ние подвиж­ной, а $k$ и $l$ — целые числа, то $l=2k$.

Отсюда $x≈ k \cdot 0{,}1 $.

В изоб­ражён­ном на рисунке слу­чае $k=4$. Зна­чит, размер детали при­мерно равен $37+4\cdot 0{,}1=37{,}4$ (мм).

Бро­са­ется в глаза, что в урав­не­нии у числа 37 — роль ста­ти­ста: оно сразу сокраща­ется. Если в общем слу­чае обо­зна­чить размеры детали в мил­лимет­рах через $N+x$, где $N$ — целое число, $0\le x<1$, то вывод будет тот же: $x≈ k\cdot 0{,}1$, размер детали при­ближённо равен $N+k\cdot 0{,}1$ (мм).

Из послед­ней формулы видно, что $0{,}1$ — шаг в этой записи — точ­ность полу­ча­емого результата. Эта вели­чина — след­ствие соот­ноше­ний между деле­ни­ями допол­ни­тель­ной шкалы и основ­ной шкалы. Напри­мер, при про­порции $10:9$ (а не $10:19$, как в при­мере), точ­ность не изме­нится ($0{,}1$ мм), но счи­ты­вать дан­ные будет труд­нее из-за мел­кого шага нони­уса. А вот при про­порции $20:39$ (встре­ча­ется в штангенцир­ку­лях) точ­ность воз­рас­тает до $0{,}05$ мм!

Допол­ни­тель­ная шкала как источ­ник допол­ни­тель­ной точ­но­сти при­ме­ня­ется и в других изме­ри­тель­ных инструмен­тах.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Лите­ра­тура

Оглоб­лин А. Н. Инструменты для изме­ре­ния длин, диамет­ров, углов и кону­сов. — Л.: Ленинград­ское газетно-жур­наль­ное и книж­ное изд‐во, 1945.