Арифметические фокусы

Зна­ние элемен­тар­ных свойств чисел и уме­ние без­оши­бочно выпол­нять про­стейшие арифме­ти­че­ские действия поз­во­лят вам уди­вить друга, пред­став перед ним в роли матема­ти­че­ского мага.

Напри­мер, попро­сите друга про­де­лать сле­дующие действия: зага­дать нату­раль­ное число; при­ба­вить к нему 5; умножить результат на 2; вычесть из полу­чен­ного зага­дан­ное число; про­де­лать послед­нюю опе­рацию ещё раз. После выпол­не­ния всех опе­раций вы можете пора­зить друга, ска­зав, что зна­ете полу­чен­ное число — 10.

Про­зрач­ность фокуса ста­но­вится оче­вид­ной, если сло­вес­ную инструкцию опе­раций с задуман­ным чис­лом $x$ пред­ста­вить как после­до­ва­тель­ность арифме­ти­че­ских действий: $(x+5)\cdot 2 -x -x=10$.

«Дар пред­ви­де­ния» можно про­явить и в слу­чае, если итого­вый результат ока­зы­ва­ется задуман­ным чис­лом (неза­ви­симо от его зна­че­ния). Попро­сите друга задумать трёх­знач­ное число и запи­сать его под­ряд два­жды. Полу­чен­ное шести­знач­ное число пред­ложите раз­де­лить на 7, полу­чен­ное — на 11, и ещё раз — на 13. Во‐пер­вых, шести­знач­ное число раз­де­лится нацело, во‐в­то­рых, результа­том окажется задуман­ное число.

Сек­рет фокуса рас­кры­вают два факта: результат умноже­ния трёх­знач­ного числа на 1001 совпа­дает с тем, что полу­ча­ется, если это число выпи­сать два­жды под­ряд (шесть цифр); а раз­ложе­ние на множи­тели числа 1001 имеет вид $1001=7\cdot 11\cdot 13$.

Делимость чисел (вклю­чая деле­ние с остат­ком) — важ­ный источ­ник, меха­низм арифме­ти­че­ских фоку­сов. Попро­сите друга зага­дать дву­знач­ное число (не меньше дюжины); умножить это число на 9; назвать любые две цифры полу­чившегося трёх­знач­ного числа. После этого вы сразу назы­ва­ете тре­тью цифру.

При­знак делимо­сти на 9, основа фокуса, выво­дится из пред­став­ле­ния трёх­знач­ного числа по сот­ням, десят­ками и еди­ни­цам: $100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)$. В этом раз­би­е­нии пер­вая скобка делится на 9, поэтому делимость числа на 9 рав­но­сильна делимо­сти на 9 суммы его цифр $(a+b+c)$.

В фокусе трёх­знач­ное число — результат умноже­ния задуман­ного числа на 9, поэтому надо подо­брать тре­тью цифру так, чтобы сумма всех цифр дели­лась на 9. Если сумма назван­ных другом двух цифр не равна 9, то это дела­ется одно­значно, а вот если она равна 9, то при­дётся пред­ложить два вари­анта: тре­тьей циф­рой может быть и 0, и 9.

Дру­гой тип фоку­сов — уга­ды­ва­ние задуман­ного числа. В каче­стве при­мера научимся «опре­де­лять» день рож­де­ния незна­комого чело­века: день $x$ и месяц $y$. Попро­сите незна­комца умножить $x$ (день рож­де­ния) на 2; при­ба­вить 5; умножить полу­чен­ную сумму на 50; при­ба­вить $y$ (месяц рож­де­ния) и вслух назвать полу­чен­ное число. После этого вы сможете назвать дату рож­де­ния: день и месяц.

Объяс­не­ние фокуса опять дают формулы, в кото­рых запи­саны действия: $(x\cdot 2+5)\cdot 50 +y=100x+y+250$. Здесь $y$ — одно­знач­ное или дву­знач­ное число, от 1 до 12, поэтому его добав­ле­ние к $100x$ не «пор­тит» циф­ро­вую запись $x$. Напри­мер, 29 марта в виде $100x+y$ пред­ста­нет как 2903, а 22 декабря — как 2212.

Теперь можно сформу­ли­ро­вать пра­вило для фокус­ника: из числа, назван­ного незна­комцем, надо мыс­ленно вычесть 250, в полу­чен­ном числе послед­ние две цифры пред­став­ляют $y$, а осталь­ные — $x$.

Понятно, что можно при­думать множе­ство подоб­ных «волшеб­ных» инструкций. Но иногда про­стые с виду инструкции отправ­ляют началь­ное число в путеше­ствие, дли­тель­ность и результат кото­рого невозможно даже оце­нить. Вот одна из нерешён­ных матема­ти­че­ских про­блем, сформу­ли­ро­ван­ная в далё­ком 1937 году.

Пусть $n$ — нату­раль­ное число. Если число нечёт­ное, то оно уве­ли­чи­ва­ется, пре­враща­ясь в $3n+1$; а если чёт­ное — то уменьша­ется, пере­хо­дит в $n/2$. С новым зна­че­нием про­во­дят те же опе­рации.

Арифметические фокусы // Математическая составляющая

Что побе­дит — рост «$3n+1$» или паде­ние «$n/2$»? Гипо­теза, назван­ная име­нем немец­кого матема­тика Л. Кол­латца, утвер­ждает, что рано или поздно процесс при­ве­дёт в 1 (и далее $1\to 4\to 2\to 1$).

Напри­мер, оче­видно, что гипо­теза верна для началь­ных чисел вида $2^k$. Предпо­ложим, уда­лось про­ве­рить, что для чисел из какого‐то множе­ства гипо­теза верна. Тогда рас­смот­ре­ние тра­ек­то­рии выбран­ного началь­ного числа доста­точно про­во­дить до попа­да­ния в «про­ве­рен­ную область»: даль­нейший результат пред­решён.

Строгого дока­за­тельства гипо­тезы Кол­латца до сих пор нет, хотя с помощью компью­тера она про­ве­рена для всех чисел до $10^{18}$.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Лите­ра­тура

Кор­дем­ский Б. А. Матема­ти­че­ская сме­калка. — М.: ГИТТЛ, 1954. — [Глава 10 «Матема­ти­че­ские игры и фокусы»].

Гард­нер М. Матема­ти­че­ские чудеса и тайны. Матема­ти­че­ские фокусы и голо­во­ломки. — 3‐е изд. — М.: Наука, 1978.

Перельман Я. И. Ящик зага­док и фоку­сов. — М.—Л.: ГПЗ, 1929. — [Пере­из­да­ние: М.: ИД Меще­ря­кова, 2008].

Перельман Я. И. Занима­тель­ные задачи и опыты. — М.: Детгиз, 1959.

Гард­нер М. Кре­сти­ки‐­но­лики. — М.: Мир, 1988. — [Глава 18 «Пол­зу­нок, $3x+1$ и другие любопыт­ные вопросы»].

Хэйес Б. Взлёты и паде­ния чисел-гра­дин // Жур­нал «В мире науки». 1984. № 3, март. Стр. 102—107. — [Рус­ская вер­сия жур­нала «Scientific American»].