Шкала ощущений

Слово «лога­рифм» чита­телю зна­комо, известны ему также лога­рифми­че­ская функция и лога­рифми­че­ская линейка. Зато может уди­вить то, что чело­век, оце­ни­вая параметры внеш­них раз­дражи­те­лей, зача­стую под­со­зна­тельно их лога­рифми­рует. Напри­мер, так про­ис­хо­дит с гром­ко­стью звука и ярко­стью света.

В XIX веке на основе много­чис­лен­ных опытов был сформу­ли­ро­ван закон Вебера—Фех­нера. В нём изме­не­ния ощуще­ний чело­века коли­че­ственно свя­заны с изме­не­нием внеш­них раз­дражи­те­лей. В част­но­сти, было уста­нов­лено, что чело­век оце­ни­вает изме­не­ние гром­ко­сти зву­ко­вого воз­действия в отно­си­тель­ной шкале: важно не абсо­лют­ное зна­че­ние «новой гром­ко­сти», а его отноше­ние к зна­че­нию «началь­ной гром­ко­сти». Полу­ча­ется, что орга­низм чело­века настроен при­ро­дой на воспри­я­тие изме­не­ний «в разы» (скажем, он чув­ствует рост в $1,2$ раза), а не «на сколько-то».

Напри­мер, в экс­пе­римен­тах Вебера было обна­ружено, что если доба­вить к 60 горящим све­чам ещё одну, то наблю­да­тель заме­тит изме­не­ние ярко­сти. А при 120 горящих све­чах изме­не­ние ярко­сти будет заме­чено только при добав­ле­нии двух све­чей.

Обычно созда­ние шкалы вели­чин осно­вы­ва­ется на «адди­тив­ном» принципе: сколько шагов длины $a$ надо сде­лать, чтобы пройти рас­сто­я­ние $b$? Иначе говоря, сколько раз надо сложить c собой $a$, чтобы полу­чить $b$? А можно исполь­зо­вать «мульти­пли­ка­тив­ный» принцип: сколько раз надо умножить на себя вели­чину $a$ (в какую степень надо воз­ве­сти $a$), чтобы полу­чить $b$?

Вто­рой под­ход при­во­дит к поня­тию лога­рифма: по опре­де­ле­нию $\log_a b=m$, если $a^m=b$. В термине «лога­рифм» один из созда­те­лей лога­рифмов Джон Непер, матема­тик и аст­ро­ном, соеди­нил два слова из древ­негре­че­ского: $\lambda\acuteογο\varsigma$ — отноше­ние (в нашем, «мульти­пли­ка­тив­ном» смысле) и $α \rho \iota\mkern1mu \theta μ \acute ο \varsigma$ — число.

Одним из основ­ных свойств лога­рифмов явля­ется сле­дующее: $$ \log_a (bc)=\log_a b+\log_a c. $$

Это соот­ноше­ние уста­нав­ли­вает связь между опе­раци­ями сложе­ния и умноже­ния — лога­рифм про­из­ве­де­ния равен сумме лога­рифмов. Сложе­ние — более про­стая, более «быст­рая» опе­рация, чем умноже­ние, а при­ве­дён­ное свойство поз­во­ляет све­сти вычис­ле­ние про­из­ве­де­ния чисел к сложе­нию их лога­рифмов.

Исто­ри­че­ски пер­вая вычис­ли­тель­ная роль лога­рифмов была свя­зана с этим свойством. Если у вычис­ли­теля есть таб­лица, в кото­рой «подробно», с малым шагом, пред­став­лены числа и их лога­рифмы (по фик­си­ро­ван­ному осно­ва­нию, напри­мер, при $a=10$), то вычис­ле­ние про­из­ве­де­ния $bc$ рас­па­да­ется на после­до­ва­тель­ность неслож­ных шагов. В таб­лице нахо­дим числа $b$ и $c$ (или близ­кие к ним), опре­де­ляем по таб­лице их лога­рифмы, скла­ды­ваем эти лога­рифмы и по таб­лице под­би­раем число, лога­рифм кото­рого бли­зок к най­ден­ному зна­че­нию. Появ­ле­ние такого спо­соба при­ближён­ного умноже­ния было особо оце­нено аст­ро­но­мами, рабо­тавшими с «аст­ро­номи­че­ски» большими чис­лами.

Шкала ощущений // Математическая составляющая

«Меха­ни­че­ская» реа­ли­за­ция этой идеи, заме­няющая работу с напе­ча­тан­ными таб­ли­цами, — лога­рифми­че­ская линейка. Основа кон­струкции — две при­легающие и сколь­зящие вдоль друг друга линейки с оди­на­ко­выми лога­рифми­че­скими шка­лами. Это озна­чает, что на линей­ках штри­хами обо­зна­чены лога­рифмы (деся­тич­ные) чисел, но в под­пи­сях к штри­хам ука­заны сами числа, а не их лога­рифмы. Таким обра­зом, на каж­дой линейке пред­став­лена таб­лица лога­рифмов. Отно­си­тель­ное перемеще­ние частей линейки меха­ни­че­ски скла­ды­вает «штрихи-лога­рифмы», а циф­ро­вые подписи поз­во­ляют пере­хо­дить от чисел к лога­рифмам и обратно.

Шкала ощущений // Математическая составляющая
Шкала ощущений // Математическая составляющая

С помощью лога­рифми­че­ской линейки можно не только умножать числа, но и делить их, а допол­ни­тель­ные шкалы линейки поз­во­ляют воз­во­дить в степень и извле­кать корни, нахо­дить зна­че­ния спе­ци­аль­ных функций (в част­но­сти, триго­номет­ри­че­ских). Про­стота кон­струкции и удоб­ство в исполь­зо­ва­нии сде­лали лога­рифми­че­скую линейку глав­ным вычис­ли­тель­ным инструмен­том учё­ных и инже­не­ров докомпью­тер­ной эпохи.

Ещё одно важ­ное свойство лога­рифмов, объяс­няющее их осо­бую роль в вычис­ле­ниях и ана­ли­ти­че­ских иссле­до­ва­ниях: лога­рифм большого числа намного меньше самого числа. Напри­мер, число атомов в наблю­да­емой части Все­лен­ной оце­ни­ва­ется как $10^{80}$ — огром­ное число. А деся­тич­ный лога­рифм этого числа вполне «ося­заем»: 80.

У быстро рас­тущих функций, таких как $y=10^{kx}$, есть несколько непри­ят­ных осо­бен­но­стей. Во‐пер­вых, при больших зна­че­ниях $x$ график функции так быстро убегает вверх, что и на книж­ной стра­нице, и на экране мони­тора от него оста­нется лишь небольшой, узкий кусо­чек, а осталь­ная часть окажется вне стра­ницы или экрана. Во‐в­то­рых, в повсе­днев­ной жизни чело­век редко стал­ки­ва­ется с большими изме­не­ни­ями чего-либо за небольшое время, исто­ри­че­ски к этому не подго­тов­лен (ката­строфы типа изверже­ний вул­ка­нов или зем­ле­тря­се­ний — ред­кие исклю­че­ния). Неуди­ви­тельно, что при встрече с рез­кими пере­па­дами зна­че­ний пока­за­тель­ной функции ($y=a^x$) воз­ни­кает жела­ние сгла­дить эти пере­пады, заме­нить функцию более «спо­кой­ной», поло­гой. По обеим при­ве­дён­ным при­чи­нам удобно от функции $y=10^{kx}$ перейти к функции $z=\lg y = kx$.

В есте­ство­зна­нии многие законы запи­сы­ваются с исполь­зо­ва­нием пока­за­тель­ных функций. Подоб­ные формулы воз­ни­кают, если закон отно­сится к процессу, в матема­ти­че­ском опи­са­нии кото­рого основ­ную роль играют линей­ные диффе­ренци­аль­ные урав­не­ния пер­вого порядка. Пере­ход к лога­рифмам делает запись таких зако­нов более «друже­люб­ной», график линей­ной функции $z=kx$ (прямая) не про­сто проще графика пока­за­тель­ной функции $y=10^{kx}$, его про­стота ста­но­вится действен­ным инструмен­том иссле­до­ва­ния.

Рас­смот­рен­ное поня­тие лога­рифма поз­во­ляет при­ве­сти ана­ли­ти­че­скую форму­ли­ровку закона Вебера—Фех­нера: $S=k\lg \frac{P}{P_0}$. В этой формуле $S$ — интен­сив­ность ощуще­ния чело­века, $P$ — сила внеш­него раз­дражи­теля, $P_0$ — ниж­нее порого­вое зна­че­ние силы раз­дражи­теля (т. е. при $P<P_0$ раз­дражи­тель не воспри­нима­ется, ощуще­ний нет), $k$ — кон­станта.

Полу­ча­ется, и мы об этом уже гово­рили, что чело­век воспри­нимает изме­не­ние силы внеш­него воз­действия в разы (для лога­рифмов этих вели­чин — «на сколько-то»). Уни­вер­саль­ность закона Вебера—Фех­нера при­во­дит к необ­хо­димо­сти исполь­зо­ва­ния шкалы, в кото­рой глав­ная харак­те­ри­стика — не абсо­лют­ные зна­че­ния вели­чин, а их отноше­ние.

В част­но­сти, этим зако­ном опи­сы­ва­ется и то, как чело­век воспри­нимает зву­ко­вое воз­действие. Поэтому лога­рифми­че­ская шкала ста­но­вится есте­ствен­ной. Дру­гой довод в пользу этой шкалы — широ­кий диапа­зон зна­че­ний воспри­нима­емых чело­ве­че­ским ухом гром­ко­стей: отноше­ние гром­ко­стей мак­сималь­ного «без­опас­ного» для чело­века звука и минималь­ного из воспри­нима­емых равно $10^{15}$. Срав­ни­вать абсо­лют­ные зна­че­ния при столь гигант­ском раз­бросе неудобно, в отли­чие от срав­не­ния в лога­рифми­че­ской шкале, устро­ен­ной по мульти­пли­ка­тив­ному принципу. Гово­рят, что две гром­ко­сти отли­чаются на 1 бел, если отноше­ние гром­ко­стей равно 10, т. е. $\frac{P_2}{P_1}=10$, $\lg \frac{P_2}{P_1}=1$ (бел). На прак­тике чаще исполь­зу­ется более мел­кая еди­ница — деци­бел, рав­ная $0,1$ бел.

В физике и тех­нике идея подоб­ного «срав­ни­тель­ного» изме­ре­ния одно­имён­ных вели­чин широко при­ме­ня­ется (гром­кость, яркость, мощ­ность, энергия и др.). Для созда­ния шкалы в таких изме­ре­ниях удобно выде­лить базо­вый, опор­ный уро­вень. Напри­мер, при изме­ре­нии звука опор­ный уро­вень $P_0$ — это минималь­ная для слуха порого­вая вели­чина.

Пере­вод крат­ного изме­не­ния гром­ко­сти в адди­тив­ную шкалу в деци­бе­лах (лога­рифми­ро­ва­ние) поз­во­ляет создать на зву­ко­вос­про­из­во­дящем устройстве удоб­ную регу­ли­ровку: изме­не­ние гром­ко­сти в опре­де­лён­ное число раз неза­ви­симо от исход­ной гром­ко­сти реа­ли­зу­ется пово­ро­том ручки на посто­ян­ный угол или пере­движе­нием пол­зунка на посто­ян­ное рас­сто­я­ние.

Яркость све­то­вых раз­дражи­те­лей чело­век также воспри­нимает «лога­рифми­че­ски». Поэтому регу­ли­ровку настроек фото­ап­па­рата тоже можно сде­лать на основе рав­но­мер­ной шкалы. Каж­дая ступень экс­по­зиции фото­ап­па­рата меняет коли­че­ство излу­че­ния, кото­рое попа­дает на све­то­чув­стви­тель­ный элемент (мат­рицу или фотоэмуль­сию) в два раза. Ступень выдержки меняет в два раза время экс­по­зиции, а ступень диафрагмы — площадь отвер­стия, через кото­рое свет попа­дает на мат­рицу. Т. е. обе шкалы устро­ены «мульти­пли­ка­тивно», их зна­че­ния обра­зуют геомет­ри­че­скую прогрес­сию. Лога­рифмы этих вели­чин обра­зуют уже арифме­ти­че­скую прогрес­сию, что поз­во­ляет рас­по­ложить засечки шкалы диафрагмы рав­но­мерно. Если бы шкала не была рав­но­мер­ной, то поль­зо­ваться кольцом диафрагмы было бы неудобно — пере­ходы от ступени к ступени отли­ча­лись бы углами пово­рота кольца.

Итак, с помощью лога­рифмов можно не только опи­сать нашу спо­соб­ность «лога­рифми­ро­вать» ощуще­ния, но и про­ек­ти­ро­вать удоб­ные и полез­ные устройства.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Термины (об этимо­логии слова «термин» см. «Поляр­ный день») «гипер­бола» и «лога­рифм», раз­роз­ненно встре­чающи­еся и в школь­ном курсе матема­тики, и в этой книге, ока­зы­ваются тесно свя­зан­ными, при­чём нагляд­но­геомет­ри­че­ски. Площадь кри­во­ли­ней­ной трапе­ции под гипер­бо­лой $у=\frac{1}{x}$ на участке от $x=1$ до $x=a$ равна $\ln a$ (обо­зна­че­ние нату­раль­ного лога­рифма, осно­ва­ние кото­рого — число $e$).

Шкала ощущений // Математическая составляющая

Дело в том, что эта площадь равна опре­де­лён­ному интегралу $\int\limits_1^a \frac{dx}{x}$, а поскольку $\frac{1}{x}$ — про­из­вод­ная функции $y=\ln x$ (при $x>0$), то $$ \int\limits_1^a \frac{dx}{x}= \ln a - \ln 1= \ln a. $$

Пред­став­ле­ние о лога­рифмах как о площа­дях можно найти в книге А. И. Мар­ку­ше­вича «Площади и лога­рифмы» (Серия «Попу­ляр­ные лекции по матема­тике»; Вып. 9).

Лите­ра­тура

Абель­сон И. Б. Рож­де­ние лога­рифмов. — М.—Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1948.

Панов Д. Ю. Счёт­ная линейка. — 25‐е изд. — М.: Наука, 1982.

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнма­нов­ские лекции по физике. — Т. 2: Про­стран­ство, время, движе­ние. — М.: Мир, 1965. — [§ 4 «При­ближён­ное вычис­ле­ние ирраци­о­наль­ных чисел», c. 112—117].

Клю­кин И. И. Уди­ви­тель­ный мир звука. — Л.: Судо­стро­е­ние, 1986.

Брэгг У. Мир света. Мир звука. — М.: Наука, 1967.

Лога­рифми­че­ская линейка // Матема­ти­че­ские этюды.