Геометрия пластикового стаканчика

Раз­ли­чающи­еся по назна­че­нию изде­лия — вёдра из жести и ста­кан­чики для напит­ков, бумаж­ные или пла­сти­ко­вые — имеют оди­на­ко­вую форму: это усе­чён­ные конусы. При­гля­девшись, заме­чаем ещё одну общую черту: верх­няя кромка отогнута наружу и обра­зует круг­лую закра­ину.

Геометрия пластикового стаканчика // Математическая составляющая

Почему же и для вёдер, и для ста­кан­чи­ков выбрана именно такая кон­струкция? Попро­буем разо­браться.

Пер­вое, на что стоит обра­тить внима­ние, — это про­стота изго­тов­ле­ния цилин­дра или конуса.

Заго­товка в виде плос­кого листа прямо­уголь­ной формы — раз­вёртка боко­вой поверх­но­сти цилин­дра, а сек­тор круга сво­ра­чи­ва­ется в боко­вую поверх­ность конуса. А раз­вёртка усе­чён­ного конуса — «усе­чён­ный сек­тор»: сек­тор круга, от кото­рого отре­зали сек­тор меньшего ради­уса. Свер­нув лист выбран­ной формы (с добав­лен­ными при­пус­ками на швы), полу­чаем боко­вую поверх­ность будущего ведра или ста­кан­чика, оста­ётся при­де­лать дно и обес­пе­чить водо­не­про­ница­емость швов.

Геометрия пластикового стаканчика // Математическая составляющая

Тех­но­логия не меня­ется, если дно — не круг, а вытя­ну­тый овал или кака­я‐то иная фигура. Дело в том, что помимо прямого круго­вого цилин­дра и прямого круго­вого конуса можно опре­де­лить и более широ­кий класс цилин­дри­че­ских и кони­че­ских поверх­но­стей, «опи­рающихся» на выбран­ную кри­вую (гра­ницу дна). Их также можно изго­тав­ли­вать из плос­ких раз­вёр­ток. Цен­ность опи­сан­ных кон­струкций уве­ли­чи­вает то, что из плос­ких раз­вёр­ток про­стым сво­ра­чи­ва­нием ничего, кроме цилин­дров и кону­сов, полу­чить не удастся.

Но если слож­ность изго­тов­ле­ния цилин­дри­че­ских и кони­че­ских вёдер при­мерно оди­на­кова, а в повсе­днев­но­сти кони­че­ские изде­лия имеют подав­ляющее чис­лен­ное пре­имуще­ство, то воз­ни­кает вопрос: чем это объяс­ня­ется?

Глав­ное пре­имуще­ство кони­че­ской формы — изде­лия, сде­лан­ные на основе оди­на­ко­вых заго­то­вок-раз­вёр­ток боко­вых поверх­но­стей, можно вкла­ды­вать друг в друга, что важно и при хра­не­нии, и при пере­возке. При­чём прямой круго­вой конус — поверх­ность враще­ния, поэтому можно скла­ды­вать изде­лия стоп­кой, «вслепую», не забо­тясь об их совме­стимо­сти.

В наши дни жестя­ные изде­лия почти пол­но­стью вытес­нены штампо­ван­ными изде­ли­ями из пла­стика. Теперь не нужно изги­бать плос­кие жестя­ные листы, пластмас­со­вое изде­лие изго­тав­ли­ва­ется цели­ком. В результате чаще стали встре­чаться вёдра, дно кото­рых — квад­рат, прямо­уголь­ник, эллипс или ещё более при­чуд­ли­вая фигура. Но боко­вые поверх­но­сти — по‐преж­нему кони­че­ские, и в мага­зине покупа­тели видят при­выч­ные стопки из вложен­ных друг в друга одно­тип­ных вёдер.

Как у жестя­ных и бумаж­ных изде­лий, так и у их пла­сти­ко­вых двой­ни­ков есть ещё одна общая черта, о кото­рой уже гово­ри­лось, — загну­тая верх­няя кромка, закра­ина. Чтобы понять роль закра­ины, про­ве­дите экс­пе­римент. Возьмите одно­ра­зо­вый пла­сти­ко­вый ста­кан­чик для холод­ных напит­ков (кулер и стопки таких ста­кан­чи­ков — почти обя­за­тель­ная деталь в современ­ных офи­сах) и попро­буйте сда­вить его с боков. Вы ощу­тите сопро­тив­ле­ние ста­кан­чика, он «не захо­чет» уплощаться. Отрежьте теперь верх­нюю часть с закра­и­ной и снова сда­вите стенки — вы уви­дите, что лишён­ная жёст­кой рамки-закра­ины верх­няя поло­вина ста­кан­чика будет сжата бес­препят­ственно.

Дело в том, что кони­че­ская поверх­ность — непре­рывно изги­ба­емая. На «языке» ста­кан­чика это свойство озна­чает сле­дующее. Во‐пер­вых, его стенку, сде­лан­ную из гиб­кого, тон­кого пла­стика, можно деформи­ро­вать. Во‐в­то­рых, нерас­тяжимость пла­стика обес­пе­чи­вает в процессе изги­ба­ния неизмен­ность длины любой линии, нари­со­ван­ной фло­ма­сте­ром на поверх­но­сти.

А вот закра­ина из такого же мате­ри­ала, но имеющая форму круг­лого жёлоба, не допус­кает непре­рыв­ных изги­ба­ний. Более точно, неизги­ба­емым явля­ется как весь тор — поверх­ность буб­лика, так и любой выре­зан­ный из него кольце­вой жёлоб, даже мел­кий.

Геометрия пластикового стаканчика // Математическая составляющая

В заверше­ние экс­пе­римента со ста­кан­чи­ком, положите его отре­зан­ную верх­нюю часть на стол загну­той кром­кой вниз и попро­буйте сжать закра­ину, не отры­вая от поверх­но­сти стола. Вам будет казаться, что пальцы сжимают жёст­кую мощ­ную пружину.

Кольце­об­раз­ные пояса жёст­ко­сти, «выре­зан­ные» из тора, исполь­зуются и при изго­тов­ле­нии банок для напит­ков. Мате­риал — очень тон­кий металл, поэтому и крышка банки, и её дно пере­хо­дят в боко­вую поверх­ность через «арма­тур­ные пояса», каж­дый состоит из пары соеди­нён­ных «раз­но­выпук­лых» чет­вер­ти­нок тора.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

При­ве­дём кри­те­рий того, что полоска поверх­но­сти враще­ния являтся жёст­кой — не допус­кает непре­рыв­ного изги­ба­ния.

Тор (поверх­ность буб­лика) можно пред­став­лять как результат враще­ния вокруг вер­ти­каль­ной оси небольшой окруж­но­сти, нахо­дящейся в одной плос­ко­сти с осью на неко­то­ром рас­сто­я­нии от неё.

Если вращать только верх­нюю поло­винку окруж­но­сти, то полу­чится закра­ина питье­вого ста­кан­чика (жело­бок) — жёст­кая поверх­ность, не допус­кающая непре­рыв­ного изги­ба­ния. А если вращать дугу, каса­тель­ные к кото­рой ни в одной точке не перпен­ди­ку­лярны оси враще­ния, то полу­чится изги­ба­емая поверх­ность.

Геометрия пластикового стаканчика // Математическая составляющая

Нали­чие каса­тель­ной, перпен­ди­ку­ляр­ной оси, — кри­те­рий жёст­ко­сти поверх­но­сти враще­ния, какой бы узкой она ни была. При­чём можно рас­смат­ри­вать и более слож­ный, не обя­за­тельно «круго­вой» профиль. Дуги кри­вой (не обя­за­тельно окруж­но­сти) могут под­хо­дить с раз­ных сто­рон к перпен­ди­ку­ляр­ной каса­тель­ной, поверх­ность всё равно полу­чится жёст­кой. Такие пояса жёст­ко­сти есть в верх­ней и ниж­ней частях любой алюми­ни­е­вой банки для напит­ков.

Ещё со школь­ной скамьи многие знают фами­лию Алек­сея Васи­лье­вича Пого­ре­лова — автора одного из школь­ных учеб­ни­ков геомет­рии. Алек­сей Васи­лье­вич был ака­деми­ком Ака­демии наук СССР, область его науч­ных инте­ре­сов — внеш­няя и внут­рен­няя геомет­рия поверх­но­стей, тео­рия упругих обо­ло­чек. По тео­рии изги­ба­емых поверх­но­стей А. В. Пого­ре­лов напи­сал несколько монографий: «Изги­ба­ние поверх­но­стей и устой­чи­вость обо­ло­чек», «Внеш­няя геомет­рия выпук­лых поверх­но­стей», «Геомет­ри­че­ская тео­рия устой­чи­во­сти обо­ло­чек».

Лите­ра­тура

Алек­сан­дров А. Д. Кри­вые и поверх­но­сти // Матема­тика: её содер­жа­ние, методы и зна­че­ние. — М.: Изд‐во АН СССР, 1956. — Т. 2. — Гл. VII. — [§ 4 «Внут­рен­няя геомет­рия и изги­ба­ние поверх­но­стей», стр. 128—144].

Фоменко В. Т. Изги­ба­ние поверх­но­стей // Соро­сов­ский обра­зо­ва­тель­ный жур­нал. 1998. № 5. Стр. 122—127.