Орнаменты

С древ­них времён для украше­ния изде­лий или зда­ний люди исполь­зо­вали орнаменты — плос­кие узоры, состав­лен­ные из небольшого набора оди­на­ко­вых элемен­тов и отли­чающи­еся геомет­ри­че­ской пра­виль­но­стью, повто­ря­емо­стью рисунка. Соб­ственно, латин­ское слово ornamentum и озна­чает «украше­ние». И зри­тель­ное воспри­я­тие, и матема­ти­че­ская клас­сифи­кация выде­ляют два типа плос­ких узо­ров.

Бор­дюр — это полоска, внут­рен­няя каёмка на краю пред­мета. Бор­дюр­ные узоры могут украшать одежду, книж­ную стра­ницу, обрам­лять фреску в настен­ной живописи, стену или пото­лок. В антич­ной Греции бор­дюры как украше­ния можно было встре­тить повсюду: от гор­лышка вазы до фриза (полоса в верх­ней части зда­ния). Для часто встре­чавшихся рисун­ков, состо­явших из изломов прямых линий, греки даже ввели отдель­ное назва­ние — меандр, в честь одно­имён­ной изви­ли­стой реки.

Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая

Орнаменты плос­кие, в отли­чие от бор­дю­ров-полос, занимают не край полотна или стены, а всё выде­лен­ное поле. В ислам­ской архи­тек­туре орнаменты — глав­ная часть декора, знаме­ни­тые при­меры — исто­ри­че­ские памят­ники Самар­канда, отделка дворцов Альгам­бры, постро­ен­ных в Испа­нии во времена мав­ри­тан­ского вла­ды­че­ства.

Орнаменты // Математическая составляющая

Если отвлечься от художе­ствен­ной сто­роны узо­ров, весь раз­но­об­раз­ный и много­ли­кий мир орнамен­тов можно клас­сифици­ро­вать в зави­симо­сти от того, как выгля­дит группа, набор движе­ний, пере­во­дящих дан­ный орнамент в себя. Можно взгля­нуть на эту клас­сифи­кацию и с точки зре­ния динамики: выяс­нить, как выгля­дят пре­об­ра­зо­ва­ния, с помощью кото­рых из небольшой ячейки «вос­ста­нав­ли­ва­ется» весь орнамент. Ока­зы­ва­ется, клас­сифи­каци­он­ных типов немного: бес­ко­еч­ных бор­дю­ров — 7 типов, бес­ко­неч­ных плос­ких орнамен­тов — 17 типов.

Нач­нём разго­вор о клас­сифи­кации с про­стого, но содержа­тель­ного при­мера — прямо­уголь­ника. Эта геомет­ри­че­ская фигура обла­дает двумя осе­выми симмет­ри­ями: $H$ — симмет­рия отно­си­тельно гори­зон­таль­ной прямой, про­хо­дящей через центр; $V$ — вер­ти­каль­ной. Ещё име­ется цен­траль­ная симмет­рия, обо­зна­чим её через $R$, поскольку она совпа­дает с пово­ро­том вокруг цен­тра на $180°$. Другими симмет­ри­ями прямо­уголь­ник не обла­дает. Дока­за­тельство осно­вано на том, что для любой конеч­ной фигуры (в том числе для прямо­уголь­ника) при движе­нии, совмещающем её с собой, центр тяже­сти фигуры пере­хо­дит в себя. Зна­чит, движе­ние может быть или пово­ро­том около цен­тра, или симмет­рией отно­си­тельно прямой, про­хо­дящей через центр. Можно и экс­пе­римен­тально «убе­диться», что кроме $H$ и $V$ нет других осе­вых симмет­рий (попро­буйте, напри­мер, скла­ды­вая прямо­уголь­ный лист по диаго­нали), а един­ствен­ный нетри­ви­аль­ный пово­рот — на угол $180°$.

Орнаменты // Математическая составляющая

А какие симмет­рии бывают у рас­крашен­ного прямо­уголь­ника? Симмет­рии такого прямо­уголь­ника надо искать только среди набора $\{H, V, R\}$, поскольку прямо­уголь­ник в любом слу­чае должен перейти в себя. Чтобы после­дующее полу­чило нагляд­ное пред­став­ле­ние, будем оди­на­ково закраши­вать углы прямо­уголь­ника. Если закрашен только один угол, то такой прямо­уголь­ник не обла­дает ни одной из симмет­рий $H$, $V$ или $R$. Если закрашены два угла, то, в зави­симо­сти от соче­та­ния углов, име­ется только одна из базо­вых симмет­рий $H$, $V$ или $R$.

Орнаменты // Математическая составляющая

Любопытно, что прямо­уголь­ного узора ровно с двумя симмет­ри­ями не может быть. Перемеще­ния закрашен­ного угла под действием симмет­рий помогают уви­деть, что $VH=R$, $RV=H$, $HR=V$ — после­до­ва­тель­ное выпол­не­ние двух симмет­рий (в любом порядке) даёт тре­тью. Таким обра­зом, если у прямо­уголь­ного узора имеются две симмет­рии, то име­ется и тре­тья. При­мер: прямо­уголь­ник с четырьмя оди­на­ково закрашен­ными углами.

Орнаменты // Математическая составляющая

Итак, в зави­симо­сти от числа симмет­рий, кото­рыми обла­дают прямо­уголь­ные узоры, они делятся на пять типов: несиммет­рич­ные, с одной симмет­рией (из набора $H$, $V$, $R$), с тремя симмет­ри­ями.

Набор движе­ний, пере­во­дящих рас­крашен­ный прямо­уголь­ник в себя, явля­ется груп­пой. Движе­ние плос­ко­сти — это пре­об­ра­зо­ва­ние, сохра­няющее все рас­сто­я­ния. При­меры: парал­лель­ный пере­нос, симмет­рия, пово­рот. Груп­пой в матема­тике назы­ва­ется множе­ство, на кото­ром опре­де­лена опе­рация (условно назы­ва­емая умноже­нием) такая, что: «про­из­ве­де­ние» двух элемен­тов группы — тоже элемент группы; есть «еди­ница» — нейтраль­ный элемент отно­си­тельно умноже­ния; у каж­дого элемента есть обрат­ный, умноже­ние на кото­рый даёт еди­ницу. Для движе­ний плос­ко­сти умноже­ние — это их компо­зиция, т. е. после­до­ва­тель­ное выпол­не­ние; еди­ницей явля­ется тож­де­ствен­ное пре­об­ра­зо­ва­ние $I$; обрат­ный элемент — обрат­ное пре­об­ра­зо­ва­ние. В слу­чае прямо­уголь­ника число элемен­тов группы зави­сит от рас­краски, наи­большая возмож­ная группа состоит из четырёх элемен­тов — $\{I, H, V, R\}$.

Бор­дюр — повто­ряющийся (пери­о­ди­че­ский) узор, бес­ко­нечно про­должа­емый, заклю­чён­ный между двумя парал­лель­ными прямыми. Все такие узоры можно постро­ить, если к согла­со­ван­ным с прямыми гра­ни­цами бор­дюра симмет­риям вида $H$, $V$ и $R$ доба­вить ещё два вида движе­ний: парал­лель­ные пере­носы $T$ вдоль гра­ниц и сколь­зящие симмет­рии $G$ — компо­зиции гори­зон­таль­ной симмет­рии и парал­лель­ного пере­носа $(G=HT)$.

Семь возмож­ных типов пери­о­ди­че­ских бор­дюр­ных узо­ров сле­дующие. Бор­дюры пер­вых пяти типов полу­чаются парал­лель­ным пере­но­сом рас­смот­рен­ных прямо­уголь­ных узо­ров (оди­на­ково рас­крашен­ные прямо­уголь­ники при­став­лены друг к другу, обра­зуя бес­ко­неч­ную в обе сто­роны ленту). Ещё два типа — результат при­ме­не­ния сколь­зящей симмет­рии к несиммет­рич­ным прямо­уголь­ным узо­рам (прямо­уголь­ники с одним закрашен­ным углом) и к прямо­уголь­ни­кам с оди­на­ково закрашен­ными про­ти­вопо­лож­ными углами.

Орнаменты // Математическая составляющая

Других типов пери­о­ди­че­ских бор­дю­ров нет. Дока­за­тельство осно­вано на ана­лизе группы движе­ний бор­дюр­ного узора, элемен­тами кото­рой могут быть гори­зон­таль­ная симмет­рия $H$ и пред­ста­ви­тели семейств $V$, $R$, $T$ и $G$. Несложно про­ве­рить, что компо­зиция пере­чис­лен­ных видов даёт движе­ние из этого набора, напри­мер, компо­зиция вер­ти­каль­ной симмет­рии и сколь­зящей симмет­рии — цен­траль­ная симмет­рия. Но, в отли­чие от слу­чая прямо­уголь­ника, теперь поря­док про­ве­де­ния пре­об­ра­зо­ва­ний важен, напри­мер, компо­зиция двух вер­ти­каль­ных симмет­рий в раз­ных поряд­ках даёт парал­лель­ные пере­носы, но в про­ти­вопо­лож­ных направ­ле­ниях.

Ещё одно заме­ча­ние: как и в группе $\{I, H, V, R\}$, пре­об­ра­зо­ва­ния в наборе $\{H, V, R, T, G\}$ не неза­ви­симы. Напри­мер, сколь­зящая симмет­рия по опре­де­ле­нию — компо­зиция $HT$. Это при­во­дит к раз­лич­ным спо­со­бам опи­са­ния кон­крет­ного бор­дюра. Так, бор­дюр пятого типа можно двумя спо­со­бами полу­чить из прямо­уголь­ного узора с тремя симмет­ри­ями (четыре закрашен­ных угла в прямо­уголь­нике): парал­лель­ным пере­но­сом и сколь­зящей симмет­рией. Этот же бор­дюр можно полу­чить даже из поло­винки прямо­уголь­ника с помощью вер­ти­каль­ных симмет­рий. А бор­дюр седьмого типа тоже можно постро­ить не сколь­зящей симмет­рией прямо­уголь­ника, а вер­ти­каль­ными симмет­ри­ями.

Нали­чие парал­лель­ных пере­но­сов в группе движе­ний бор­дюра необ­хо­димо. Из четырёх других видов пре­об­ра­зо­ва­ний ($H$, $V$, $R$ и $G$), в принципе, в группе может не быть ни одного, могут при­сут­ство­вать только один, только два или только три (в раз­ных соче­та­ниях), все четыре. Формально полу­ча­ется $16=2^4$ возмож­ных вари­ан­тов, но реа­ли­зуются они не все. Ситу­ация сходна с при­ве­дён­ным ранее объяс­не­нием того, что не бывает прямо­уголь­ного узора ровно с двумя симмет­ри­ями. Напри­мер, в слу­чае бор­дюра не могут вхо­дить в группу только симмет­рии вида $H$ и вида $V$, поскольку тогда в группу вхо­дило бы и их про­из­ве­де­ние, симмет­рия $R=HV$.

И хотя име­ется всего 7 типов пери­о­ди­че­ских бор­дю­ров, внутри исход­ного прямо­уголь­ника можно выби­рать узор про­из­вольно, а зна­чит, и запас кра­си­вых бор­дюр­ных узо­ров неис­черпаем.

Бес­ко­неч­ный плос­кий пери­о­ди­че­ский орнамент обла­дает двумя чер­тами. Во‐пер­вых, его пра­виль­ность имеет матема­ти­че­скую форма­ли­за­цию — движе­ния, пере­во­дящие орнамент в себя, обра­зуют группу. Во‐в­то­рых, весь орнамент можно постро­ить с помощью этих движе­ний из какого‐то небольшого его фраг­мента (ячейки). Исходя из этого, можно опи­сать все возмож­ные группы движе­ний орнамента.

Тра­дици­онно движе­ния плос­ко­сти рас­пре­де­ляются по видам $\{S, R, T, G\}$: $S$ — симмет­рии отно­си­тельно прямых, $R$ — пово­роты, $T$ — парал­лель­ные пере­носы, $G$ — сколь­зящие симмет­рии. Ока­зы­ва­ется, в группе движе­ний орнамента должны быть пере­носы по непа­рал­лель­ным направ­ле­ниям (как минимум двум), а пово­роты возможны только на углы вида $360°/n$ при $n$, рав­ном 2, 3, 4 и 6 (в част­но­сти, $n$ не может рав­няться 5). Всего таких групп, назы­ва­емых плос­кими кри­стал­лографи­че­скими (или фёдо­ров­скими), — только 17. Это было дока­зано выдающимся рос­сийским кри­стал­лографом Евграфом Степа­но­ви­чем Фёдо­ро­вым.

Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая
Орнаменты // Математическая составляющая

И созда­ние тео­рии групп как раз­дела матема­тики, и при­ме­не­ние её мето­дов к клас­сифи­кации орнамен­тов — события XIX века. Инте­ресно, что уже за 500 лет до этого все 17 плос­ких кри­стал­лографи­че­ских групп нашли воплоще­ние в рабо­тах худож­ни­ков. Как и в слу­чае бор­дю­ров, безгра­нич­ность мира плос­ких орнамен­тов порож­дена раз­но­об­ра­зием узо­ров в обра­зующей «ячейке»: в раз­ных культу­рах в орнамен­тах встре­чаются геомет­ри­че­ские фигуры, люди, рас­те­ния, живот­ные.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Поня­тие группы — одно из самых часто исполь­зу­емых и полез­ных в матема­тике. Внешне группы могут быть самыми раз­ными. Целые числа обра­зуют группу отно­си­тельно опе­рации сложе­ния, в роли еди­ницы — нуль. Все положи­тель­ные числа — это группа отно­си­тельно опе­рации умноже­ния, еди­ницей явля­ется число 1. Геомет­ри­че­ский при­мер — группа движе­ний (встре­ча­лась в дан­ном сюжете и в ста­тье «Геомет­ри­че­ская кри­стал­лография»). В ком­би­на­то­рике важна группа пере­ста­но­вок какого-либо множе­ства — все­возмож­ные вза­имно одно­знач­ные отоб­раже­ния этого множе­ства на себя.

При­ве­дём деталь­ное объяс­не­ние того, что типов пери­о­ди­че­ских бор­дю­ров только 7. Это сле­дует из таб­лицы умноже­ния для движе­ний в группе бор­дюра. Созда­вая таб­лицу, необ­хо­димо учесть, что симмет­рия отно­си­тельно гори­зон­таль­ной прямой только одна, а для опи­са­ния осталь­ных движе­ний при­дётся исполь­зо­вать чис­ло­вой параметр.

Вве­дём прямо­уголь­ную систему коор­ди­нат $Oxy$, в кото­рой ось $Ox$ — сред­няя линия бор­дюра. Будем исполь­зо­вать сле­дующие обо­зна­че­ния: $H$ — симмет­рия отно­си­тельно оси $Ox$; $V_a$ — симмет­рия отно­си­тельно вер­ти­каль­ной прямой $x=a$; $R_a$ — цен­траль­ная симмет­рия отно­си­тельно точки $(a;0)$; $T_a$ — парал­лель­ный пере­нос на $a$ вдоль оси $Ox$ (при $a>0$ — вправо); $G_a$ — сколь­зящая симмет­рия, компо­зиция $H$ и $T_a$.

Результаты компо­зиций, т. е. попар­ных умноже­ний таких пре­об­ра­зо­ва­ний, можно пред­ста­вить в виде таб­лицы. Напом­ним, что при умноже­нии пре­об­ра­зо­ва­ний важен их поря­док. В таб­лице про­из­ве­де­ний пер­вым выпол­ня­ется пре­об­ра­зо­ва­ние из выбран­ного столбца, а затем — из строки.

Восполь­зу­емся при­ве­дён­ными дан­ными для ана­лиза струк­туры группы движе­ний бор­дюра. Напом­ним, что нали­чие в группе парал­лель­ных пере­но­сов необ­хо­димо. Формально, из четырёх осталь­ных видов пре­об­ра­зо­ва­ний $H$, $V$, $R$ и $G$ в группе могут отсут­ство­вать все четыре вида, при­сут­ство­вать только один, только два или только три (в раз­ных соче­та­ниях), все четыре. Всего полу­ча­ется $2^4=16$ вари­ан­тов.

Но из таб­лицы умноже­ния выте­кает, что реа­ли­зуются не все формально возмож­ные вари­анты. Напри­мер, вари­ант, пред­став­лен­ный в шестом столбце, невозможен, так как вме­сте с двумя осе­выми симмет­ри­ями в группу должно вхо­дить и их про­из­ве­де­ние — цен­траль­ная симмет­рия. В итоге остаются только семь ком­би­наций пре­об­ра­зо­ва­ний и, соот­вет­ственно, семь раз­но­вид­но­стей бор­дю­ров.

В архи­тек­туре и в отделке мебели встре­чаются бор­дюр­ные узоры, не являющи­еся пери­о­ди­че­скими. В клас­си­че­ских бор­дю­рах базо­вый прямо­уголь­ник порож­дает повто­ряющуюся кар­тинку. Но можно полу­чить «бес­ко­нечно» длин­ную ленту про­стым рас­тяже­нием, неогра­ни­чен­ным удли­не­нием прямо­уголь­ника, с сохра­не­нием имеющихся симмет­рий. По числу типов прямо­уголь­ных узо­ров появятся ещё пять типов бор­дю­ров — с непе­ри­о­ди­че­скими узо­рами. В каж­дом таком узоре сохра­ня­ется группа движе­ний началь­ного прямо­уголь­ника: три­ви­аль­ная, с одной симмет­рией, с тремя.

Орнаменты // Математическая составляющая

Среди этих движе­ний нет пере­носа — обя­за­тель­ного элемента в группах клас­си­че­ских бор­дю­ров, поэтому пятёрку непе­ри­о­ди­че­ских узо­ров обычно не вклю­чают в клас­сифи­кацию бор­дю­ров.

Лите­ра­тура

Кокс­тер Г. С. М. Вве­де­ние в геомет­рию. — М.: Наука, 1966. — [Глава 4 «Двумер­ная кри­стал­лография»].

Вейль Г. Симмет­рия. — М.: Наука, 1968. — [Тре­тья лекция «Орнамен­таль­ная симмет­рия», стр. 107—137].

Мальцев А. И. Группы и другие алгеб­ра­и­че­ские системы // Матема­тика: её содер­жа­ние, методы и зна­че­ние. — М.: Изд‐во АН СССР, 1956. — Т. 3. — Гл. XX. — [§ 4 «Фёдо­ров­ские группы»].

Шуб­ни­ков А. В, Копцик В. А. Симмет­рия в науке и искус­стве. — 2‐е изд., пере­раб. и доп. — М.: Наука, 1972.

Schattschneider D. Enumerating Symmetry Types of Rectangle and Frieze Patterns: How Sherlock Might Have Done It // Understanding Geometry for a Changing World. — National Council of Teachers of Mathematics, 2009. — P. 17—32.