Чистые интервалы

Источ­ни­ком звука могут служить музыкаль­ные инструменты раз­лич­ных типов (струн­ные, духо­вые и др.), но с точки зре­ния матема­тики все спо­собы извле­че­ния звука можно пред­ста­вить с помощью одной, общей для всех них модели — коле­ба­ний струны.

Модель­ным устройством гене­рации звука можно счи­тать моно­хорд, в древ­но­сти служивший не только науч­ным при­бо­ром, но и музыкаль­ным инструмен­том. Моно­хорд — это дере­вян­ный резо­на­тор, над кото­рым натя­нута струна, закреп­лён­ная в двух точ­ках. Длину зву­чащей части струны можно менять с помощью пере­двигающейся под­ставки.

Чистые интервалы // Математическая составляющая

Было уста­нов­лено, что при неизмен­ных харак­те­ри­сти­ках струны (мате­риал, натяже­ние) частота её коле­ба­ний обратно про­порци­о­нальна длине ($f\sim 1/\ell$). Частота — глав­ная матема­ти­че­ская харак­те­ри­стика звука, опре­де­ляющая его воспри­я­тие чело­ве­ком на слух. Полу­ча­ется, что уменьше­ние длины струны уве­ли­чи­вает частоту её коле­ба­ний и, сле­до­ва­тельно, высоту звука. Гром­кость звука свя­зана с дру­гой харак­те­ри­сти­кой коле­ба­ний струны — ампли­ту­дой.

В музыке очень важно то, как воспри­нимает слуша­тель соче­та­ния зву­ков. Про­стейший вари­ант — пара зву­ков (музыкаль­ный термин — «интер­вал»). Опыт­ным путём были най­дены при­ят­ные для слуха так назы­ва­емые чистые интер­валы.

Напри­мер, можно про­во­дить экс­пе­рименты с двумя оди­на­ко­выми моно­хор­дами, один из кото­рых служит эта­ло­ном, а на вто­ром — менять длину зву­чащей части струны.

К чистым интер­ва­лам отно­сятся: уни­сон, октава, квинта, кварта (рас­по­ложены по убы­ва­нию благо­зву­чия). Пере­чис­лен­ные интер­валы можно опи­сать, при­водя отноше­ния длин струн моно­хор­дов, участ­вующих в экс­пе­рименте: уни­сон — длина доба­воч­ной струны равна длине эта­лон­ной, октава — отноше­ние длины доба­воч­ной струны к длине основ­ной равно 1/2, квинта — отноше­ние равно 2/3, кварта — 3/4.

Чистые интервалы // Математическая составляющая

А поскольку частота коле­ба­ний струны обратно про­порци­о­нальна её длине, то при­ве­дён­ные интер­валы можно опи­сать так: у октавы частоты зву­ков отли­чаются в 2 раза, у квинты — отноше­ние частот доба­воч­ной и эта­лон­ной струн равно 3/2, у кварты — 4/3.

Мы счи­тали, что у коле­ба­ний струны есть только одна частота (в даль­нейшем будем назы­вать её основ­ной), но так дело обстоит только в иде­аль­ной модели. В зави­симо­сти от свойств струны к основ­ному звуку неиз­бежно добав­ляются допол­ни­тель­ные звуки — обер­тоны.

Наблю­да­емые коле­ба­ния струны с закреп­лён­ными кон­цами можно пред­ста­вить как результат наложе­ния так назы­ва­емых сто­я­чих волн с неза­креп­лён­ными, но непо­движ­ными точ­ками (узлами) и одно­тип­ными коле­ба­ни­ями рав­ных по длине участ­ков между узлами.

Основ­ной тон (опре­де­ля­емый зна­че­нием $f$ — основ­ной часто­той струны) пред­став­ляет сто­я­чую волну без узлов, непо­движны только концы струны.

Чистые интервалы // Математическая составляющая

Пер­вый обер­тон (т. е. пер­вый «верх­ний тон») — сто­я­чая волна с един­ствен­ным узлом в сере­дине струны. Фак­ти­че­ски про­ис­хо­дят коле­ба­ния двух оди­на­ко­вых струн поло­вин­ной длины, частота коле­ба­ний этих «поло­ви­нок» — $2f$. Вто­рой обер­тон — сто­я­чая волна с двумя узлами, кото­рые делят струну на три рав­ные части. Частота звука, порож­да­емого коле­ба­ни­ями каж­дой из трёх частей, втрое больше частоты пол­ной струны.

В общем слу­чае у обер­тона с номе­ром $n$ име­ется $n$ непо­движ­ных узлов, кото­рые делят струну на $(n+1)$ рав­ных частей. Частота этого обер­тона равна $(n+1)f$. Пол­ным набо­ром частот реаль­ной струны будет $\{f, 2f, 3f, 4f, …\}$.

Зву­ча­ние струны, её тембр, скла­ды­ва­ется не только из набора частот, но и из соот­ноше­ния гром­ко­стей обер­то­нов. Гром­ко­сти обер­то­нов ниже, чем гром­кость основ­ного тона, и убы­вают с воз­рас­та­нием номера обер­тона. «При­род­ная» согла­со­ван­ность основ­ного тона и обер­то­нов при­во­дит и к согла­со­ван­но­сти совмест­ного зву­ча­ния, наи­лучшие результаты — у обер­то­нов с небольшими номе­рами. Вза­и­мо­действие основ­ного тона и обер­то­нов ока­зы­ва­ется полез­ным при изу­че­нии того, почему благо­звучны, хотя и в раз­ной степени, чистые интер­валы. Можно пред­ложить такое объяс­не­ние.

У оди­на­ко­вых струн один и тот же тембр, поэтому зву­чат они нераз­ли­чимо (уни­сон). При изу­че­нии модели «оди­на­ко­вость» — вещь понят­ная и достижимая. Но в реаль­ной музыкаль­ной жизни у «оди­на­ко­вых» струн частот­ные наборы совпа­дают, а гром­ко­сти обер­то­нов могут чуть-чуть отли­чаться. Сле­до­ва­тельно, их тембры близки, но не совпа­дают. Совмест­ное зву­ча­ние таких инструмен­тов тоже будет уни­со­ном, но инте­рес­нее, чем у каж­дого из них в отдель­но­сти, тембр — богаче.

В октаве длины струн отли­чаются в два раза, и если набор частот у большей струны $\{f,\ 2f,\ 3f,\ 4f,\ …\}$, то у поло­вин­ной струны — $\{2f,\ 4f,\ 6f,\ 8f,\ …\}$. Вто­рой набор явля­ется частью пер­вого, что объяс­няет согла­со­ван­ность зву­ков в октаве — они воспри­нимаются как похожие, хотя и отли­чаются по высоте.

Чистые интервалы // Математическая составляющая

В отли­чие от уни­сона, в октаве гром­кость (ампли­туда) меня­ется только у «чёт­ных» обер­то­нов большей струны, а у её основ­ного тона $\{f\}$ и «нечёт­ных» обер­то­нов $\{3f,\ 5f,\ 7f,\ …\}$ — не меня­ется.

Перей­дём к квинте. Если $\{f,\ 2f,\ 3f,\ 4f,\ …\}$ — частот­ный набор струны длины $\ell$, то $\Bigl\{\frac{3}{2} f,\ 2\cdot\frac{3}{2} f,\ 3\cdot\frac{3}{2} f,\ …\Bigr\}$ — частоты струны длины $\frac{2}{3}\ell$. Видно, что даже основ­ной тон малой струны $\frac{3}{2} f$ не вхо­дит в число обер­то­нов большей струны. Сле­до­ва­тельно, рас­смот­рен­ный под­ход, объяс­нивший благо­зву­чие октавы, непо­сред­ственно на квинту не пере­но­сится.

Чистые интервалы // Математическая составляющая

Но при воспри­я­тии зву­ков про­ис­хо­дит их сопо­став­ле­ние, срав­не­ние, в первую оче­редь — основ­ных тонов. И воз­ни­кает вооб­ража­емая «объеди­няющая» струна длины $2\ell$, в частот­ный набор кото­рой $\Bigl\{\frac{f}{2},\ 2\cdot\frac{f}{2},\ 3\cdot\frac{f}{2},\ …\Bigr\}$ погружаются и основ­ные тоны струн $\ell$ и $\frac{2}{3}\ell$, и даже все их обер­тоны.

Важно, что длина «объеди­няющей» струны — $2\ell$, что отно­си­тельно близко к дли­нам струн квинты. Длина $2\ell$ — наименьшая, в кото­рую целое число раз укла­ды­ваются отрезки длины $\ell$ и длины $\frac{2}{3}\ell$, можно ска­зать, это их наименьшее общее крат­ное. След­ствием бли­зо­сти числа $2\ell$ к $\ell$ и $\frac{2}{3}\ell$ явля­ется то, что основ­ные тоны струн квинты ока­зы­ваются обер­то­нами струны $2\ell$ с небольшими номе­рами, т. е. являются благо­звуч­ными и «замет­ными» игро­ками в тембре объеди­няющей струны.

Вклю­че­ние частот обеих струн квинты в гар­мо­нич­ный мир обер­то­нов объеди­няющей струны вызы­вает у слуша­теля ощуще­ние благо­звуч­но­сти и согла­со­ван­но­сти.

С дру­гой сто­роны, при воспри­я­тии зву­ков про­ис­хо­дит и прямое сопо­став­ле­ние частот струн квинты: $\{f,\ 2f,\ 3f,\ 4f, …\}$ у струны $\ell$, $\Big\{\frac{3}{2} f,\ 2\cdot\frac{3}{2} f,\ 3\cdot\frac{3}{2} f,\ …\Big\}$ у струны $\frac{2}{3}\ell$.

Все «чёт­ные» обер­тоны малой струны являются обер­то­нами большей, а основ­ной тон и все «нечёт­ные» обер­тоны малой струны — нет. Эти «непар­ные» тоны малой струны — при­чина того, что гар­мо­ния ста­но­вится непол­ной: квинта благо­звучна, но уступает октаве.

Ана­лиз зву­ча­ния кварты про­во­дится ана­логично. Для струн дли­ной $\ell$ и $\frac{3}{4}\ell$ длина объеди­няющей струны воз­рас­тёт и будет равна $3\ell$. Результат — кварта явля­ется чистым интер­ва­лом, но зву­чит менее гар­мо­нично, чем квинта.

Опи­са­ние звука струны как компо­зиции основ­ного тона и обер­то­нов матема­ти­че­ски озна­чает пред­став­ле­ние пери­о­ди­че­ской функции суммой гар­мо­ник $\sin nx$, $\cos nx$. Эта сумма может быть «внешне» совсем непо­хожей на гар­мо­ники-состав­ляющие. Из про­стых по зву­ча­нию тонов скла­ды­ва­ется бога­тый, выра­зи­тель­ный тембр звука.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Раз­ви­тие идеи раз­би­е­ния звука на гар­мо­ники (функции вида $\sin nx$, $\cos nx$) при­вело в XVIII веке к воз­ник­но­ве­нию новой матема­ти­че­ской дис­ци­плины — гар­мо­ни­че­ского ана­лиза. Для реше­ния раз­лич­ных задач основ­ным мето­дом нахож­де­ния пери­о­ди­че­ских реше­ний стало раз­ложе­ние искомой функции в триго­номет­ри­че­ский ряд.

В гар­мо­ни­че­ском ана­лизе одно из базо­вых утвер­жде­ний — то, что при раз­ложе­нии «хорошей» функции в триго­номет­ри­че­ский ряд (назы­ва­емый в этом слу­чае рядом Фурье) в гар­мо­ни­ках $a_n\cos nx + b_n\sin nx$ коэффици­енты $a_n$ и $b_n$ стремятся к нулю при $n \to \infty$. Отме­чен­ное уменьше­ние ампли­туд (гром­ко­стей) у обер­то­нов с ростом номера наглядно иллю­стри­рует при­ве­дён­ное утвер­жде­ние, кото­рое назы­ва­ется леммой Римана о коэффици­ен­тах Фурье.

Лите­ра­тура

Волоши­нов А. В. Матема­тика и искус­ство. — 2‐е изд. — М.: Про­свеще­ние, 2000.

Джинс Дж. Наука и музыка. — М.: Инсти­тут компью­тер­ных иссле­до­ва­ний, 2011.

Loy G. Musimathics: the mathematical foundations of music. — V. 1, 2. — MIT Press, 2006, 2007.