Чипсы

Упа­ко­ван­ные в цилин­дри­че­ские тубусы чипсы, чтобы они меньше кроши­лись, запе­кают на жароч­ных листах, при­дающих плос­ким заго­тов­кам форму гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида.

Эта напоми­нающая седло поверх­ность обра­зу­ется при движе­нии пара­болы (её ветви направ­лены вниз), вершина кото­рой сколь­зит по дру­гой, непо­движ­ной пара­боле (ветви направ­лены вверх). Плос­ко­сти пара­бол в каж­дый момент времени перпен­ди­ку­лярны, оси — парал­лельны.

Чипсы // Математическая составляющая
Чипсы // Математическая составляющая

Появ­ле­ние слова «гипер­бо­ли­че­ский» в назва­нии объяс­ня­ется тем, что при пере­се­че­нии поверх­но­сти с гори­зон­таль­ной плос­ко­стью полу­ча­ется гипер­бола. (Если плос­кость про­хо­дит через центр седла, то гипер­бола вырож­да­ется в пару пере­се­кающихся прямых.)

Чипсы // Математическая составляющая

Но кроме пара­бол и гипер­бол на гипер­бо­ли­че­ском пара­бо­ло­иде «живут» и прямые: через каж­дую точку этой сед­ло­вид­ной поверх­но­сти про­хо­дят две прямые. Каж­дая из них может двигаться по поверх­но­сти гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида, заме­тая её. В матема­тике поверх­но­сти, обра­зо­ван­ные движе­нием прямой линии (обра­зующей), назы­ваются линей­ча­тыми. Про­стые при­меры — цилиндр и конус. А вот линей­ча­тость гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида или одно­по­лост­ного гипер­бо­ло­ида (вспом­ните кон­струкции В. Г. Шухова), конечно, удив­ляет.

Чипсы // Математическая составляющая

Свойство линей­ча­то­сти про­явит себя наглядно, если в крышке тубуса про­де­лать прямо­ли­ней­ную про­резь, а затем взять из стопки чип­сов один лом­тик и «опу­стить» его в тубус через полу­чен­ную щель. Это можно сде­лать не сло­мав лом­тик, надо только держать (и пово­ра­чи­вать!) его так, чтобы в каж­дый момент времени через про­резь про­хо­дила обра­зующая гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

В «пра­виль­ной» системе коор­ди­нат урав­не­ние гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида имеет вид $ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z. $ Это урав­не­ние можно рас­смат­ри­вать как выражен­ное форму­лой нагляд­ное опи­са­ние гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида, при­ве­дён­ное в ста­тье.

Чипсы // Математическая составляющая

Рас­смот­рев сече­ние плос­ко­стью $y=0$, чита­тель «уви­дит» непо­движ­ную пара­болу, а в сече­нии $x=0$ — пара­болу, кото­рая сколь­зит вдоль непо­движ­ной. В сече­ниях плос­ко­стями $z=\mathrm{const}$ ($\ne 0$) полу­чаются гипер­болы. Про пара­болы и гипер­болы см. «Пара­бо­ли­че­ская антенна» и «Шухов­ские башни».