Авиастроение — важнейшая ветвь современной индустрии. Между самолётостроительными фирмами (включая связанные с ними научные институты) идёт состязание, цель которого — создание изделий, превосходящих аналоги конкурентов: для пассажирских и грузовых самолётов — по безопасности, экономичности, экологичности; для военных самолётов — по боевым качествам. Для исследований в современной авиационной науке свойственно использование адекватных математических моделей, основа которых — чёткое понимание физики исследуемых явлений. Разработка и конструирование новых самолётов невозможны без применения «высокоматематизированных» наук, таких как аэродинамика, теория управления, прочность.
Аэродинамика — наука, изучающая взаимодействие воздушного потока и обтекаемого им тела. Скорость самолёта настолько велика, что обтекающий его поток становится турбулентным. Турбулентное течение отличается от «спокойного» ламинарного течения хаотическим изменением его характеристик по времени (скорости, давления и др.), приводящим к интенсивному перемешиванию газа, к возникновению вихрей. Основная математическая проблема турбулентности — создание системы дифференциальных уравнений в частных производных, которая бы описывала произвольные турбулентные течения и которую можно было бы решать на современных компьютерах, — до сих пор не решена. Поэтому в настоящее время на основе уравнений математической физики создаются полуэмпирические модели турбулентности, пригодные для описания лишь узкого класса течений.
Как определяются аэродинамические характеристики самолёта? В основном двумя методами: экспериментальным и расчётным. Для проведения экспериментальных исследований в аэродинамических трубах создают модели самолётов — уменьшенные в несколько раз копии оригиналов. Это связано с тем, что размеры аэродинамических труб не позволяют проводить испытания с реальными самолётами. Но данные, полученные на испытаниях модели в аэродинамической трубе, пересчитать в характеристики самолёта простым масштабированием, учётом коэффициента подобия модели и реального самолёта нельзя.
Дело в том, что уравнения, которым подчиняются характеристики течения, достаточно сложные. Если привести их к безразмерному виду, т. е. выразить все размерные величины в характерных для данного течения параметрах, то в уравнения войдут безразмерные величины, которые носят имена выдающихся учёных: число Маха, число Рейнольдса, число Струхала и др. Для строгого подобия необходимо, чтобы все эти величины совпадали при реальном полёте самолёта и при испытаниях модели в трубе. Но конкретные свойства воздушного потока, который используется в трубе, не позволяют выполнить все критерии подобия. Кроме того, и в случае закрытой, и в случае открытой трубы тот факт, что поток не безграничен, сказывается на аэродинамических характеристиках.
Возникает задача пересчёта с модели на натурный самолёт интегральных характеристик (суммарных сил и моментов) и распределённых характеристик (значения в конкретных точках давления, температуры и др.). Эта задача решается проведением численного расчёта уравнений математической физики для двух полуэмпирических моделей: самолёта в безграничном потоке и модели самолёта в аэродинамической трубе. Аэродинамические характеристики самолёта получают, добавляя к данным, полученным на испытаниях уменьшенной копии самолёта в аэродинамической трубе, разность однотипных данных, полученных для двух описанных полуэмпирических моделей.
Казалось бы, почему не произвести расчёт сразу, не прибегая к эксперименту? Дело тут в точности. Точность экспериментальных данных, полученных в хороших аэродинамических трубах, в несколько раз выше точности расчёта.
Основная формула аэродинамики — связь подъёмной силы, действующей на крыло, со скоростью движения и циркуляцией (интенсивностью) вихревой системы, порождаемой самолётом. Эта формула была получена «отцом русской авиации» профессором Н. Е. Жуковским и доложена им на заседании Московского математического общества в 1905 году.
Крыло самолёта должно быть оптимальным. Один из наиболее важных параметров крыла — его качество: так называют отношение подъёмной силы к силе сопротивления. Для создания оптимального («качественного») крыла решаются задачи вариационного исчисления.
Теория управления. Полёт самолёта состоит из нескольких фаз: взлёта, набора высоты, крейсерского движения, разворотов, снижения, посадки. На каждом этапе самолётом необходимо управлять. Закрылок на крыле или руль высоты на хвостовом оперении — примеры органов управления. Система управления должна быть сконструирована так, чтобы простые движения пилота в кабине передавались и доходили до органов управления, вызывая соответствующие реакции. С другой стороны, система должна быть достаточно «умной», элементы её конструкции не должны выходить за границы безопасного режима.
Ещё одна задача — создание автопилота, способного управлять движением самолёта без вмешательства лётчика.
За все эти проблемы отвечает математическая теория автоматического управления самолётом, базирующаяся в основном на теории дифференциальных уравнений. С помощью этой же теории создаётся математическая модель пространственного движения самолёта, исследуются вопросы устойчивости полёта.
Прочность. Мало создать самолёт с хорошими аэродинамическими данными, необходимо, чтобы он не разрушился в полёте, чтобы его ресурс (долголетие) был достаточно высок. За решение этой задачи отвечает наука, которая называется прочностью.
Методами прочности исследуются упругие и пластические деформации элементов конструкции самолёта, рост трещин в обшивке самолёта (в материале обшивки изначально присутствуют микротрещины, которые со временем могут расти), разрушение конструкции.
Математический арсенал для решения задач прочности включает классические и современные методы уравнений математической физики, дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, комплексного анализа, вычислительных разделов линейной алгебры.
Каждый, кто видел в иллюминаторе, как ведёт себя крыло самолёта в полёте, замечал достаточно большую амплитуду его колебаний. Дело в том, что для уменьшения амплитуды колебаний крыла необходимо увеличивать его вес, а у самолёта вес конструкций пытаются минимизировать. Поэтому от колебаний крыла избавиться на удаётся. Раздел механики, изучающий задачи математической теории колебаний и резонанса, — аэроупругость.
Методы решения. Обсудим методы решения математических задач, о которых говорилось выше.
Определяющие уравнения в реальных задачах очень сложны и априори невозможно понять, что получится при их решении.
В сильно упрощённых с практической точки зрения задачах иногда удаётся получить точное решение. Большинство таких задач уже решено, хотя до сих пор находят неизвестные ранее точные решения уравнений Навье—Стокса или Эйлера. Но набор таких задач ограничен, и они далеки от практически важных задач.
В то же время исследование этих задач очень важно, поскольку точные решения создают физические образы — вихрь, пограничный слой и т. п., — из которых строится физическая картина изучаемого процесса, как из элементарных кирпичиков строится дом. Полученное представление о физике процесса позволяет среди множества математических моделей выбрать такую, которая в достаточной степени отражает свойства моделируемого процесса и даёт возможность технического поиска решения.
Один из способов решения — численный. Часто численное решение задачи сводится к системе линейных алгебраических уравнений.
Ещё один способ возможен при наличии в задаче малого параметра. Таким параметром может быть отношение хорды (ширины) крыла к его размаху, отношение вязких сил к инерционным (отношение силы трения между слоями газа к силе инерции этих слоёв), отношение ширины трещины к её длине. К настоящему времени развиты асимптотические методы решения задач с малым параметром, которые изучаются в математической теории возмущений.
Приведём как пример решение задачи о подъёмной силе крыла большого удлинения (отношение квадрата размаха к площади крыла). Здесь два малых параметра — отношение вязких сил к инерционным и отношение хорды крыла к его размаху.
Благодаря первому параметру решение задачи можно определять не из уравнений Навье—Стокса (моделирующих движение газа с учётом трения между слоями), а из уравнений Эйлера (трение между слоями газа отсутствует). Благодаря второму параметру, каждое сечение крыла обтекается так же, как обтекалось бы крыло бесконечного удлинения с профилем, соответствующим профилю крыла в данном сечении. Тем самым задача обтекания трёхмерного крыла трансформируется в ряд более простых задач о двумерном (плоском) течении около профилей крыла.
Итак, благодаря этим двум параметрам задача стала намного проще, чем изначальная.
Требования к самолётам постоянно ужесточаются — экологические и экономические, по безопасности полётов и по комфорту пассажиров. Самолёты совершенствуются, во многом — благодаря математическим достижениям, которые воплощаются в технические решения.
