Музыкальное исчисление

«Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi» (музыка — это тай­ное арифме­ти­че­ское упраж­не­ние души, кото­рая вычис­ляет, сама того не зная). Прошло почти 300 лет с тех пор как Г. Лейб­ниц, один из осно­вопо­лож­ни­ков матема­ти­че­ского ана­лиза и старший современ­ник И. С. Баха, напи­сал эти вели­кие слова в письме Х. Гольд­баху, однако они за это время не поте­ряли оча­ро­ва­ния и акту­аль­но­сти.

В наши дни матема­тика даёт не только под­ходы в изу­че­нии суще­ствующих музыкаль­ных про­из­ве­де­ний и пере­дачи полу­чен­ных зна­ний уче­ни­кам, но и новые твор­че­ские возмож­но­сти, новые спо­собы «кон­стру­и­ро­ва­ния» музыки.

Для хра­не­ния и пере­дачи музыки исполь­зуют нот­ную запись, кото­рая содержит информацию о высоте нот, времени начала вос­про­из­ве­де­ния, дли­тель­но­сти, гром­ко­сти и музыкаль­ных инструмен­тах, на кото­рых дан­ная мело­дия должна испол­няться.

Какие пре­об­ра­зо­ва­ния этой после­до­ва­тель­но­сти при­ве­дут к мело­дии, испол­не­ние кото­рой одно­временно или после­до­ва­тельно с исход­ной было бы инте­рес­ным и при­вле­ка­тель­ным?

Кон­трапункт. Про­стейшие матема­ти­че­ские опе­рации, кото­рые осва­и­вает чело­век в пер­вые годы своей жизни — арифме­ти­че­ские опе­рации сложе­ния и вычи­та­ния. Про­стейшее пре­об­ра­зо­ва­ние мело­дии, кото­рому учат музы­кан­тов — транспо­зиция: изме­не­ние высоты каж­дой ноты музыкаль­ной после­до­ва­тель­но­сти на фик­си­ро­ван­ное (для дан­ной транспо­зиции) число музыкаль­ных еди­ниц — полу­то­нов. В слу­чае нескольких голо­сов транспо­зиция одного отно­си­тельно других назы­ва­ется вер­ти­каль­ным кон­трапунк­том.

В труде Сергея Ива­но­вича Тане­ева «Подвиж­ной кон­трапункт строгого письма» (1906) впер­вые предъяв­ля­ется матема­ти­че­ская формула, опи­сы­вающая кон­трапункт общего вида. Вот «модель­ный» при­мер вер­ти­каль­ного кон­трапункта из этого учеб­ника.

Музыкальное исчисление // Математическая составляющая

Изна­чально име­ется два мело­ди­че­ских рисунка (голоса). Верх­ний голос оста­ётся на месте, а вто­рой смеща­ется на кварту вниз.

А вот при­мер из про­из­ве­де­ния И. С. Баха — фуги ми‐ми­нор из пер­вой части «Хорошо темпе­ри­ро­ван­ного кла­вира» (1744). Она состоит из двух девят­на­дца­ти­такт­ных частей и четырёх­такт­ной коды (заклю­че­ния). Вто­рая часть явля­ется почти точ­ным вер­ти­каль­ным кон­трапунк­том пер­вой части, при этом смещены оба голоса. Срав­ним, напри­мер, два фраг­мента из пер­вой (такты 16‐17‐18) и вто­рой (такты 31‐32‐33) частей.

Фраг­мент пер­вой части.

Музыкальное исчисление // Математическая составляющая

Фраг­мент вто­рой части.

Музыкальное исчисление // Математическая составляющая

Нетрудно видеть, что пер­вый и вто­рой голоса поме­ня­лись местами: высо­кий сме­стился вниз, а низ­кий перемещён наверх — т. е. к каж­дому голосу при­ме­нён свой вер­ти­каль­ный кон­трапункт.

Как писал Аль­берт Швейцер, твор­че­ство Баха было долго недо­оце­нено, поскольку ноты его про­из­ве­де­ний воспри­нима­лись про­сто как формально кра­си­вый текст, не имеющий глу­бо­кого музыкаль­ного содер­жа­ния. Исто­рия пока­зала, что формаль­ные постро­е­ния могут ока­заться уди­ви­тельно кра­си­выми и на слух.

Арифме­тика по модулю n. Пери­о­дич­ность нот в гамме вызы­вает ана­логии с пери­о­ди­че­скими множе­ствами в матема­тике, и это сопо­став­ле­ние порож­дает один из формально-матема­ти­че­ских мето­дов сочи­не­ния музыки.

В мире целых чисел есть спе­ци­аль­ная, тео­ре­тико-чис­ло­вая возмож­ность расши­ре­ния поня­тия равен­ства: два целых числа $a$ и $b$ назы­ваются срав­нимыми («как бы рав­ными») по модулю нату­раль­ного числа $n$, если их раз­ность $a-b$ делится на $n$, или, сим­во­ли­че­ски, $a\equiv b$ (mod $n$). Поня­тие срав­не­ния ввёл вели­кий матема­тик К. Ф. Гаусс, он же пред­ложил новую струк­туру — «арифме­тику по модулю $n$» (1801). В такой арифме­тике числа можно скла­ды­вать, вычи­тать, умножать, иногда — даже делить.

Напри­мер, если модуль $n$ равен 12, то в этой арифме­тике будет ровно 12 раз­лич­ных чисел, их пред­ста­ви­те­лями удобно счи­тать остатки при деле­нии на 12 нату­раль­ных чисел: $ \{0, 1, …, 10, 11\} $. При­меры опе­раций в этой арифме­тике: $8+5\equiv 1$, $8\cdot 5\equiv 4$.

Музыкальное исчисление // Математическая составляющая

Ана­логия с хро­ма­ти­че­ской гаммой: есть период, октава, состо­ящая из 12 нот. При­бав­ляя к ноте ре пер­вой октавы 12 полу­то­нов, полу­чим ноту ре вто­рой октавы, кото­рая, как известно гар­мо­ни­рует с пер­вой нотой, «срав­нима» с ней!

Такой под­ход воз­ник ещё в 1844 году. Его автор, фран­цуз­ский музы­ко­вед Камиль Дюрут, обра­тил внима­ние на то, что при рав­но­мерно темпе­ри­ро­ван­ном строе рояля множе­ство интер­ва­лов раз­би­ва­ется на пери­оды из 12 ступе­ней. А это при­во­дит к опре­де­ле­нию опе­раций над музыкаль­ными интер­ва­лами «по модулю 12».

При­ме­не­ние этих идей в сочи­не­нии музыки при­вело аме­ри­кан­ского компо­зи­тора Мильтона Бэб­бита даже к созда­нию целой музыкаль­ной тео­рии, так назы­ва­емой «Set Theory» (1992), изложен­ной им в дис­сер­тации по матема­тике!

Гар­мо­ни­че­ский ана­лиз. Про­стейшими гар­мо­ни­ками являются триго­номет­ри­че­ские функции 1, $\cos kx$, $\sin kx$ (для любого нату­раль­ного числа $k$). Эти функции играют осо­бую роль и в матема­тике, и в аку­стике.

Сле­дующие задачи при­над­лежат к числу основ­ных в гар­мо­ни­че­ском ана­лизе: пред­став­ле­ние задан­ной функции в виде суммы триго­номет­ри­че­ского ряда, отыс­ка­ние в виде суммы такого ряда функции, обла­дающей задан­ными свойствами (напри­мер, реше­ния диффе­ренци­аль­ного урав­не­ния, удо­вле­тво­ряющего опре­де­лён­ным началь­ным и кра­е­вым усло­виям).

В музыкаль­ной аку­стике пер­вая из пере­чис­лен­ных задач про­яви­лась в пред­ложен­ном Г. Л. Ф. Гельмгольцем методе иссле­до­ва­ния звука с помощью системы купо­ло­об­раз­ных резо­на­то­ров («резо­на­торы Гельмгольца»), поз­во­ляющих опре­де­лить спек­траль­ный состав звука.

Вто­рая из упомя­ну­тых задач стала гене­ра­то­ром воз­ник­но­ве­ния адди­тив­ного син­теза — одного из ярких направ­ле­ний в музыке XX века. Заклю­ча­ется такой стиль в исполь­зо­ва­нии искус­ственно создан­ных зву­ков, полу­чен­ных суперпо­зицией большого числа про­стейших гар­мо­ник. Современ­ный уро­вень компью­тер­ной тех­ники поз­во­ляет обойтись без меха­ни­че­ских при­бо­ров. В част­но­сти, фран­цуз­ский компо­зи­тор Жан‐К­лод Риссе полу­чил солид­ный набор элек­трон­ных зву­ков, напоми­нающих звук коло­кола. На этом осно­вы­ва­ется его сочи­не­ние «Mutations» (1969).

Тео­рия веро­ят­но­стей. При­ме­не­ние веро­ят­ност­ных мето­дов для напи­са­ния музыки было пред­ложено Яни­сом Ксе­на­ки­сом. Ксе­на­кис полу­чил инже­нер­ное обра­зо­ва­ние, рабо­тал с Ле Кор­бю­зье, стал при­знан­ным архи­тек­то­ром. С дру­гой сто­роны, всю жизнь занимался музыкой, стал не только извест­ным компо­зи­то­ром, но и музы­ко­ве­дом-тео­ре­ти­ком. Объеди­няло его работы, достиже­ния и увле­че­ния то, что всюду он при­ме­нял или искал возмож­но­сти при­ме­не­ния матема­ти­че­ских мето­дов.

Напри­мер, идея исполь­зо­ва­ния движе­ния прямых — общая и для музыкаль­ной пьесы 1954 года «Methastasis», в виде непре­рыв­ного глис­сандо струн­ных, и для про­екта пави­льона Phillips на все­мир­ной выставке Expo‐58 в Брюс­селе, поверх­ность крыши кото­рого была полу­чена непре­рыв­ным движе­нием прямо­ли­ней­ных обра­зующих.

Идея динами­че­ского раз­ви­тия музыкаль­ного сочи­не­ния согласно выбран­ной матема­ти­че­ской модели раз­ви­ва­лось им после этого в тече­ние многих лет. Модель опре­де­ля­лась слу­чай­ным процес­сом, кото­рый под­би­рался так, чтобы в задан­ные моменты времени полу­ча­лись наме­чен­ные авто­ром спектр сиг­нала, рас­пре­де­ле­ние гром­ко­сти по про­стран­ству и т. п.

Музыкаль­ный манифест Ксе­на­киса — книга «Formalized Music» (1963), рус­ский пере­вод — «Форма­ли­зо­ван­ная музыка» (2008). В част­но­сти, в книге раз­би­раются возмож­но­сти при­ме­не­ния в сочи­не­нии и изу­че­нии музыки таких раз­де­лов матема­тики как тео­рия множеств, тео­рия веро­ят­но­стей, тео­рия информации, тео­рия игр.

Алго­ритмика. Как известно, алго­ритмом назы­ва­ется набор инструкций, опи­сы­вающих поря­док действий испол­ни­теля для достиже­ния постав­лен­ной цели за конеч­ное число шагов. Если к вход­ным дан­ным при­ме­ня­ется после­до­ва­тельно один и тот же алго­ритм, то такой процесс назы­ва­ется ите­раци­он­ным. В матема­тике самый упо­тре­би­тель­ный вари­ант ите­раци­он­ного процесса — нахож­де­ние реше­ния задачи мето­дом после­до­ва­тель­ных при­ближе­ний. Возможен и «иссле­до­ва­тельский», поис­ко­вый вари­ант процесса, в кото­ром отсут­ствует зара­нее наме­чен­ная цель.

В повсе­днев­ной жизни ите­раци­он­ные процессы тоже не ред­кость, напри­мер, ежегод­ные начис­ле­ния процен­тов на текущий бан­ков­ский вклад уве­ли­чи­вают сумму для сле­дующего процент­ного начис­ле­ния (так назы­ва­емый слож­ный процент).

Твор­че­ский процесс не может быть пред­став­лен в виде алго­ритма. Тем не менее, осо­бенно в современ­ной музыке, воз­ник­но­ве­нию у компо­зи­тора идеи сочи­не­ния может пред­ше­ство­вать большая подго­то­ви­тель­ная работа, свя­зан­ная с формаль­ными вычис­ле­ни­ями. Напри­мер, компо­зи­тор задумал создать после­до­ва­тель­ность аккор­дов, обла­дающую опре­де­лён­ными свойствами. Такая после­до­ва­тель­ность может быть полу­чена с помощью неко­то­рого ите­раци­он­ного процесса. Конечно, полу­чен­ная после­до­ва­тель­ность не будет музыкаль­ным сочи­не­нием, но может рас­смат­ри­ваться как набор «кирпи­чей», из кото­рых компо­зи­тор будет созда­вать своё сочи­не­ние.

Целью фран­цуз­ского компо­зи­тора Три­стана Мюрая в сочи­не­нии «Désintégrations» (1982) было полу­че­ние после­до­ва­тель­но­сти аккор­дов с постепенно «рас­стра­и­вающимся» соот­ноше­нием между нотами. Началь­ный аккорд пред­став­лял из себя набор из 12 гар­мо­ник с раци­о­наль­ными соот­ноше­ни­ями между часто­тами. В создан­ном компо­зи­то­ром ите­раци­он­ном процессе, на каж­дом шаге аккорд изме­нялся совсем немного, но при этом у нот аккорда ухуд­ша­лись соот­ноше­ния частот, а дли­тель­ность и время начала зву­ча­ния — искажа­лись.

Заклю­че­ние. Мы рас­смот­рели лишь неко­то­рые «музыкально-твор­че­ские» спо­соб­но­сти матема­тики. Новая жизнь подоб­ных под­хо­дов к напи­са­нию музыки свя­зана с появ­ле­нием мощ­ной и доступ­ной компью­тер­ной тех­ники. Начи­ная с сере­дины 1990‐x годов появи­лось множе­ство компью­тер­ных программ для ана­лиза и созда­ния музыкаль­ных про­из­ве­де­ний.

Напри­мер, есть секвенцер­ные программы, сохра­няющие и расши­ряющие возмож­но­сти клас­си­че­ской нотации. В них сохра­ня­ется принцип после­до­ва­тель­ного счи­ты­ва­ния мело­дии, а расши­ре­ние состоит в том, что на парал­лель­ных дорож­ках могут быть напи­саны как ноты для обыч­ных инструмен­тов, так и спе­ци­ально подго­тов­лен­ные искус­ствен­ные звуки. Подоб­ные звуки создаются зара­нее с исполь­зо­ва­нием гар­мо­ни­че­ского ана­лиза и других спо­со­бов син­теза. Напри­мер, извест­ной секвенцер­ной программой явля­ется программа LogicPro компа­нии Apple.

Современ­ные компью­тер­ные инструменты, помогающие компо­зи­тору, меняют и само поня­тие «музыка». Теперь музыкаль­ное про­из­ве­де­ние может быть предъяв­лено не только пере­чис­ли­тельно, напри­мер, в виде нот­ной записи или на бара­бане шарманки, но и в виде кода компью­тер­ной программы, гене­ри­рующей это музыкаль­ное про­из­ве­де­ние. Напри­мер, уже упоми­навше­еся про­из­ве­де­ние «Désintégrations» напи­сано с помощью программы, вклю­чающей такие при­выч­ные для любого программи­ста объекты как циклы. Для компо­зи­то­ров, исполь­зующих матема­ти­че­ские идеи, раз­ра­бо­таны системы программи­ро­ва­ния с удоб­ным и кра­си­вым интерфей­сом, являющи­еся ана­логом обыч­ных язы­ков программи­ро­ва­ния (LISP, FORTRAN, C). Подоб­ная система может пред­ста­вить результат своей работы по выпол­не­нию кода программы в виде нот­ной записи, а может и выступить в роли испол­ни­теля. Такой, напри­мер, явля­ется система OpenMusic, раз­ра­бо­тан­ная в париж­ском инсти­туте иссле­до­ва­ния музыкаль­ной аку­стики.

Осо­бый тип программ — интер­ак­тив­ные, т. е. такие, параметры кото­рых могут меняться во время вос­про­из­ве­де­ния звука. Напри­мер, так рабо­тают программы, создающие видео­ряд при испол­не­нии музыкаль­ного про­из­ве­де­ния. Дат­чики, уста­нов­лен­ные на музыкаль­ных инструмен­тах, пере­дают дан­ные на компью­тер, и уста­новки программы меняются. К такому типу отно­сится программа Max.

В заклю­че­ние при­ве­дём слова Лео­нардо да Винчи, кото­рые С. И. Танеев взял как эпиграф к упоми­навшемуся труду «Подвиж­ной кон­трапункт строгого письма»: «Nissuna humana investigatione si po dimandare vera scientia, s'essa non passa per le mattematiche dimostrationi» (ни одно чело­ве­че­ское иссле­до­ва­ние не может назваться истин­ной нау­кой, если оно не прошло через матема­ти­че­ские дока­за­тельства).

Лите­ра­тура

Танеев С. И. Подвиж­ной кон­трапункт строгого письма. — Лейпциг, 1909.

Гельмгольц Г. Уче­ние о слу­хо­вых ощуще­ниях как физио­логи­че­ская основа для тео­рии музыки. — СПб., 1875.

Ксе­на­кис Я. Форма­ли­зо­ван­ная музыка. — СПб.: Санкт-Петер­бург­ская гос. кон­сер­ва­то­рия, 2008.

Тео­рия современ­ной компо­зиции / Под ред. В. С. Цено­вой. — М.: Музыка, 2005. — [Учеб­ное посо­бие для сту­ден­тов музыкаль­ных вузов].

Puckette M. The theory and technique of electronic music. — World Scientific, 2007. — [Учеб­ное посо­бие для сту­ден­тов музыкаль­ного факуль­тета Уни­вер­си­тета Калифор­нии в Сан-Диего].