Расстояние до горизонта

Какова даль­ность до линии гори­зонта для наблю­да­теля, сто­ящего на земле? Ответ — при­ближён­ное рас­сто­я­ние до гори­зонта — можно найти с помощью тео­ремы Пифагора.

Для про­ве­де­ния при­ближён­ных рас­чё­тов сде­лаем допуще­ние, что Земля имеет форму шара. Тогда сто­ящий вер­ти­кально чело­век будет про­долже­нием зем­ного ради­уса, а линия взгляда, направ­лен­ного на гори­зонт, — каса­тель­ной к сфере (поверх­но­сти Земли). Так как каса­тель­ная перпен­ди­ку­лярна ради­усу, про­ве­дён­ному в точку каса­ния, то тре­уголь­ник (центр Земли) —(точка каса­ния) —(глаз наблю­да­теля) явля­ется прямо­уголь­ным.

Расстояние до горизонта // Математическая составляющая

Две сто­роны в нём известны. Длина одного из кате­тов (сто­роны, при­легающей к прямому углу) равна ради­усу Земли $R$, а длина гипо­те­нузы (сто­роны, лежащей про­тив прямого угла) равна $R+h$, где $h$ — рас­сто­я­ние от земли до глаз наблю­да­теля.

По тео­реме Пифагора, сумма квад­ра­тов кате­тов равна квад­рату гипо­те­нузы. Зна­чит, рас­сто­я­ние до гори­зонта равно $$ d=\sqrt{(R+h)^2-R^2} = \sqrt{(R^2+2Rh+h^2)-R^2} =\sqrt{2Rh+h^2}. $$

Вели­чина $h^2$ очень мала по срав­не­нию со слага­емым $2Rh$, поэтому верно при­ближён­ное равен­ство $$ d≈ \sqrt{2Rh}. $$

Известно, что $R≈ 6400$ км, или $R≈ 64\cdot10^5$ м. Будем счи­тать, что $h≈ 1{,}6$ м. Тогда $$ d≈\sqrt{2\cdot64\cdot10^5\cdot 1{,}6}=8\cdot 10^3 \cdot \sqrt{0{,}32}. $$

Исполь­зуя при­ближён­ное зна­че­ние $\sqrt{0{,}32}≈ 0{,}566$, нахо­дим $$ d≈ 8\cdot10^3 \cdot 0{,}566=4528. $$

Полу­чен­ный ответ — в мет­рах. Если пере­ве­сти най­ден­ное при­ближён­ное рас­сто­я­ние от наблю­да­теля до гори­зонта в километры, то полу­чим $d≈ 4,5$ км.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Как свя­зано рас­сто­я­ние до гори­зонта с изме­не­нием высоты точки наблю­де­ния? Формула $d≈ \sqrt{2Rh}$ даёт ответ: чтобы уве­ли­чить рас­сто­я­ние $d$ вдвое, высоту $h$ надо уве­ли­чить в четыре раза!

В формуле $ d≈ \sqrt{2Rh} $ нам при­ш­лось извле­кать квад­рат­ный корень. Конечно, чита­тель может взять смарт­фон со встро­ен­ным каль­ку­ля­то­ром, но, во‐пер­вых, полезно задуматься, а как же решает эту задачу каль­ку­ля­тор, а во‐в­то­рых, стоит ощу­тить умствен­ную сво­боду, неза­ви­симость от «все­знающего» гаджета.

Суще­ствует алго­ритм, сво­дящий извле­че­ние корня к более про­стым опе­раци­ями — сложе­нию, умноже­нию и деле­нию чисел. Для извле­че­ния корня из числа $a>0$ рас­смот­рим после­до­ва­тель­ность $$ x_{n+1}=\frac12 {\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)}, $$

где $n=0, 1, 2, …$, а в каче­стве $x_0$ можно взять любое положи­тель­ное число. После­до­ва­тель­ность $x_0$, $x_1$, $x_2$, … очень быстро схо­дится к $\sqrt{a}$: точ­ность при­ближе­ния воз­рас­тает вдвое после каж­дого шага.

Напри­мер, при вычис­ле­нии $\sqrt{0{,}32}$ можно взять $x_0=0{,}5$. Тогда $$ x_1 =\frac12 {\left(0{,}5+\frac{0{,}32}{0{,}5}\right)}=0{,}57, $$ $$ x_2 =\frac12 {\left(0{,}57+\frac{0{,}32}{0{,}57}\right)}≈ 0{,}5657. $$

Уже на вто­ром шаге мы полу­чили ответ, вер­ный в тре­тьем знаке после запя­той $ ( \sqrt{0{,}32}=0{,}56568… )!$

Для зна­комых с поня­тием про­из­вод­ной пояс­ним: у функции $f(x)=\frac{1}{2}{\left(x+\frac{a}{x}\right)}$ про­из­вод­ная $f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{a}{2x^2}<\frac{1}{2}$, поэтому функция $f$ «сжимает» окрест­ность точки $\sqrt{a}$ более чем вдвое (в матема­тике такие отоб­раже­ния и назы­ваются сжимающими).

Тео­рему Пифагора можно запом­нить и усво­ить зна­чи­тельно лучше, если к обыч­ному геомет­ри­че­скому дока­за­тельству доба­вить пре­одо­ле­ние труд­но­стей в реше­нии голо­во­ломки, кон­струкция кото­рой осно­вана на этой тео­реме. Заме­тим, что формула $a^2+b^2=c^2$, свя­зы­вающая сто­роны прямо­уголь­ного тре­уголь­ника, выражает равен­ство площа­дей: площадь квад­рата, постро­ен­ного на гипо­те­нузе, равна сумме площа­дей квад­ра­тов, постро­ен­ных на кате­тах.

Пла­нимет­ри­че­ская тео­рема Бойаи—Гер­вина утвер­ждает, что два рав­но­ве­ли­ких много­уголь­ника (т. е. имеющих рав­ные площади) рав­но­со­став­лены. Послед­нее озна­чает, что любой из них можно раз­ре­зать на несколько много­уголь­ни­ков так, что из этих частей можно сложить вто­рой много­уголь­ник.

При­ме­ни­тельно к кон­струкции в тео­реме Пифагора полу­чаем, что квад­раты, постро­ен­ные на кате­тах, можно раз­ре­зать на части-много­уголь­ники, из кото­рых «скла­ды­ва­ется» квад­рат, постро­ен­ный на гипо­те­нузе. Подоб­ных раз­би­е­ний множе­ство, но самое эко­ном­ное только одно, наименьшее число частей равно 5. Обра­тите внима­ние на то, что такое раз­би­е­ние возможно для про­из­воль­ного прямо­уголь­ного тре­уголь­ника.

Расстояние до горизонта // Математическая составляющая

Голо­во­ломку проще всего изго­то­вить из двух листов тол­стого кар­тона: один будет служить осно­ва­нием, на другом выре­за­ются три квад­рата, затем листы скле­и­ваются. Два меньших квад­рата раз­ре­за­ются на части. Зада­ние — сложить из кусоч­ков маленьких квад­ра­тов большой, без пустот и наложе­ний элемен­тов.

Ещё один тип учеб­ных посо­бий, иллю­стри­рующих тео­рему Пифагора, свя­зан со взвеши­ва­нием «изго­тов­лен­ных» геомет­ри­че­ских фигур.

Чтобы тео­рема Пифагора стала утвер­жде­нием о равен­стве площа­дей, на сто­ро­нах прямо­уголь­ного тре­уголь­ника были постро­ены квад­раты. Но если их заме­нить одно­тип­ными подоб­ными пра­виль­ными много­уголь­ни­ками или полу­кругами, то сумма площа­дей на кате­тах также будет равна площади фигуры на гипо­те­нузе. Напри­мер, для полу­кругов равен­ство площа­дей $$ \frac{π}{8} a^2 + \frac{π}{8} b^2= \frac{π}{8} c^2 $$

полу­ча­ется из тео­ремы Пифагора умноже­нием элемен­тов формулы на число $\frac{π}{8}$.

Расстояние до горизонта // Математическая составляющая
Расстояние до горизонта // Математическая составляющая

А вот если взять трёх «подоб­ных» сло­нов, сто­ящих на сто­ро­нах тре­уголь­ника и «впи­сан­ных» в квад­раты, то гото­вой формулы для площа­дей таких фигур нет, но из подо­бия фигур можно выве­сти, что по площади каж­дая фигура занимает в своём квад­рате одну и ту же часть: $$ S_a+S_b=ka^2+kb^2=kc^2=S_c. $$

Можно про­ве­рить спра­вед­ли­вость этих выво­дов опыт­ным путём, взве­сив на весах (напри­мер, про­стейших рычаж­ных) эти фигуры, и убе­диться, что $S_a+S_b=S_c$. При­чём начать можно с самих квад­ра­тов со сто­ро­нами $a$, $b$ и $c$.

Расстояние до горизонта // Математическая составляющая

Иногда алгеб­ра­и­че­ские формулы уда­ётся столь наглядно пред­ста­вить геомет­ри­че­ски, что всё «дока­за­тельство» заклю­ча­ется в рисунке с подпи­сью «Смотри!» (в стиле древ­них индийских матема­ти­ков).

Объяс­нить геомет­ри­че­ски можно и исполь­зо­ван­ную в ста­тье формулу «сокращён­ного умноже­ния» для квад­рата суммы $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. $$

Жан‐Жак Руссо в «Испо­веди» писал:

Когда я в пер­вый раз обна­ружил при помощи вычис­ле­ния, что квад­рат бинома равен сумме квад­ра­тов его чле­нов и их удво­ен­ного про­из­ве­де­ния, я, несмотря на пра­виль­ность про­из­ве­дён­ного мною умноже­ния, не хотел этому верить до тех пор, пока не начер­тил фигуры.

Расстояние до горизонта // Математическая составляющая

Лите­ра­тура

Перельман Я. И. Занима­тель­ная геомет­рия на воль­ном воз­духе и дома. — Л.: Время, 1925. — [Под­хо­дит и любое изда­ние книги Я. И. Перельмана «Занима­тель­ная геомет­рия»].

Литцман В. Тео­рема Пифагора. — Одесса: Mathesis, 1912. — [Пере­из­да­ния: 1935, 1960].

Интер­ак­тив­ная голо­во­ломка «Тео­рема Пифагора» // Матема­ти­че­ские этюды.