Шуховские башни

В 1920 и 1921 годах над малоэтаж­ным в то время райо­ном Шабо­ловки вырас­тала уди­ви­тель­ная по кра­соте башня, при­чём росла «сама по себе» — рядом не было ни кра­нов, ни лесов. Сей­час эта 150‐мет­ро­вая башня, постро­ен­ная по про­екту Вла­ди­мира Григо­рье­вича Шухова, — один из узна­ва­емых архи­тек­тур­ных сим­во­лов Москвы.

Шуховские башни // Математическая составляющая
Шуховские башни // Математическая составляющая

Днев­ник В. Г. Шухова сохра­нил для нас матема­ти­че­ские рас­чёты по про­екту. Кон­струкция состоит из шести секций-гипер­бо­ло­и­дов, каж­дая секция — «пау­тина», обра­зо­ван­ная прямыми сталь­ными швел­ле­рами, рас­по­ложен­ными по обра­зующим гипер­бо­ло­и­дов.

Гипер­бола — кри­вая на плос­ко­сти, модуль раз­но­сти рас­сто­я­ний от любой точки кото­рой до двух дан­ных, назы­ва­емых фоку­сами, посто­я­нен. Гипер­бола явля­ется кони­че­ским сече­нием, наряду с эллип­сом и пара­бо­лой, но отли­ча­ется от них тем, что у неё есть асимп­тоты — прямые, к кото­рым она при­ближа­ется, но никогда их не достигает. У изу­ча­емой в школе гипер­болы $y=1/x$ асимп­тоты перпен­ди­ку­лярны друг другу и совпа­дают с осями декар­то­вой системы коор­ди­нат.

Шуховские башни // Математическая составляющая
Шуховские башни // Математическая составляющая

При враще­нии гипер­болы вокруг её оси симмет­рии, перпен­ди­ку­ляр­ной отрезку с кон­цами в фоку­сах, полу­ча­ется поверх­ность — одно­по­лост­ный гипер­бо­лоид враще­ния.

Ока­зы­ва­ется, что через каж­дую точку гипер­бо­ло­ида про­хо­дят две прямые, пол­но­стью лежащие на нём. Каж­дая из них при враще­нии вокруг оси гипер­бо­ло­ида «заме­тает» всю поверх­ность. Такие линии назы­ваются обра­зующими. Обра­зующие делятся на два семейства: в одно семейство попа­дают те обра­зующие, кото­рые при враще­нии вокруг оси пере­хо­дят друг в друга. Соот­вет­ственно и одно­по­лост­ный гипер­бо­лоид двумя спо­со­бами можно пред­ста­вить как свое­об­раз­ный «пар­кет», выложен­ный прямыми одного семейства.

Шуховские башни // Математическая составляющая

Таким обра­зом, изогну­тая поверх­ность состоит из прямых. Именно это свойство и исполь­зо­вал В. Г. Шухов: каж­дая секция башни на Шабо­ловке «соткана» из обра­зующих двух семейств.

В. Г. Шухов спро­ек­ти­ро­вал и построил в Рос­сии более двух­сот гипер­бо­ло­ид­ных водо­напор­ных башен. При этом каж­дый про­ект был уни­ка­лен — выпол­не­ние тех­ни­че­ских тре­бо­ва­ний соеди­ня­лось с архи­тек­тур­ной при­вяз­кой к мест­но­сти. А пер­вая такая кон­струкция была пред­став­лена на Все­рос­сийской промыш­лен­ной и художе­ствен­ной выставке, про­хо­дившей в 1896 году в Ниж­нем Новго­роде.

Ещё несколько извест­ных при­ме­ров. Для пере­хода линии элек­тропе­ре­дачи НиГРЭС через Оку под Ниж­ним Новго­ро­дом был сооружён кас­кад из четырёх пар гипер­бо­ло­ид­ных опор (самые высо­кие — по 128 мет­ров). Под Хер­со­ном до сих пор сохра­ни­лись большой и малый маяки гипер­бо­ло­ид­ной кон­струкции.

Шуховские башни // Математическая составляющая
Шуховские башни // Математическая составляющая
Шуховские башни // Математическая составляющая

За послед­ние деся­ти­ле­тия в раз­ных стра­нах появи­лось несколько высот­ных гипер­бо­ло­ид­ных сооруже­ний. И все их авторы при­знают огром­ный вклад, кото­рый внёс в раз­ра­ботку таких кон­струкций вели­кий инже­нер и учё­ный Вла­ди­мир Григо­рье­вич Шухов.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Гипер­бола — не такой уж ред­кий «гость» и встре­ча­ется даже в быту. Напри­мер, на шестигран­ном каран­даше, очи­нён­ном с помощью стан­дарт­ной точилки, пере­се­че­ние конуса, окружающего грифель, с шести­уголь­ной призмой — вен­чик из дуг шести гипер­бол.

Шуховские башни // Математическая составляющая

Это сле­дует из опре­де­ле­ния гипер­болы как кони­че­ского сече­ния — так назы­ва­ется пере­се­че­ние прямого круго­вого конуса (дву­сто­рон­него, симмет­рич­ного отно­си­тельно вершины) с плос­ко­стью.

Шуховские башни // Математическая составляющая

Если плос­кость пере­се­кает все обра­зующие конуса, то она пере­се­ка­ется только с одной его «поло­ви­ной», полу­ча­ется эллипс (окруж­ность). Пара­бола воз­ни­кает, когда секущая плос­кость парал­лельна ровно одной обра­зующей (как след­ствие — пере­се­ка­ется только с одной поло­ви­ной). Если секущая плос­кость пере­се­кает обе поло­вины конуса (иначе говоря, парал­лельна двум обра­зующим), то это гипер­бола. В част­но­сти, так про­ис­хо­дит, если плос­кость парал­лельна оси конуса (в при­мере — грифелю каран­даша).

Опти­че­ские свойства эллипса и пара­болы ока­за­лись весьма полез­ными рабо­чими инструмен­тами (см. «Дроб­ле­ние кам­ней в поч­ках» и «Пара­бо­ли­че­ская антенна»). У гипер­болы тоже есть опти­че­ское свойство: лучи, вышед­шие из одного фокуса гипер­болы, после отраже­ния от гипер­бо­ли­че­ского зер­кала (ближайшая ветвь гипер­болы) ухо­дят по направ­ле­нию век­тора, идущего от вто­рого фокуса к точке отраже­ния. Перед­ний фронт отражён­ных лучей будет окруж­но­стью с цен­тром во вто­ром фокусе (это непо­сред­ственно сле­дует из геомет­ри­че­ского опре­де­ле­ния гипер­болы). На опти­че­ском свойстве гипер­болы осно­вана опти­че­ская схема Ричи—Кре­тьена рефлек­тор­ных теле­скопов с гипер­бо­ли­че­скими зер­ка­лами. К этому типу отно­сится большин­ство научно-иссле­до­ва­тельских теле­скопов. Наи­бо­лее извест­ные при­меры: кос­ми­че­ский Hubble; назем­ный VLT (Very Large Telescope) — система теле­скопов на горе Серро-Пара­наль в Чили с самыми большими в мире моно­лит­ными зер­ка­лами (диаметр каж­дого — 8,2 метра, толщина — 177 мм, масса — 22 тонны).

Шуховские башни // Математическая составляющая

Нали­чие осо­бой «опти­че­ской» точки — фокуса — харак­те­ри­сти­че­ское свойство кони­че­ских сече­ний. Исхо­дящие из фокуса лучи после отраже­ния от линии пре­вращаются в схо­дящийся, рас­хо­дящийся или парал­лель­ный пучок, в зави­симо­сти от того, чем явля­ется зер­кало — эллип­сом, гипер­бо­лой или пара­бо­лой.

Гипер­болу в домаш­них усло­виях могут «нари­со­вать» силы поверх­ност­ного натяже­ния.

В ван­ночку с водой поставьте две прямо­уголь­ные стек­лян­ные пла­стинки в виде слегка при­от­крытой книги. Нач­ните мед­ленно закры­вать «книгу»: вода между пла­стин­ками под­нимется, а её уро­вень будет снижаться по зна­комой кри­вой — гипер­боле (начи­нающейся с неко­то­рым отступом от «корешка»). Если пред­ва­ри­тельно на одном стёк­лышке нари­со­вать мел­кую квад­рат­ную сетку, то можно про­ве­рить, что полу­чи­лась именно гипер­бола: площади прямо­уголь­ни­ков под линией будут оди­на­ко­выми.

Шуховские башни // Математическая составляющая

Физи­че­ское объяс­не­ние опи­сан­ного экс­пе­римента чита­тель может полу­чить само­сто­я­тельно, а может найти в жур­нале «Квант» (№ 11 за 1973 год, стр. 32, 33).

Проч­ность гипер­бо­ло­ид­ных кон­струкций обос­но­вана инже­нер­ными рас­чё­тами и про­ве­рена на прак­тике. В пер­во­на­чаль­ном плане В. Г. Шухова по воз­ве­де­нию башни в Москве предпо­лага­лось, что башня будет выше Эйфе­ле­вой на 50 мет­ров, но при этом вчет­веро легче! Несми­на­емость тумб такой кон­струкции испытана в цир­ках: лёг­кие, ажур­ные тумбы выдержи­вают даже сло­нов. Одно из незем­ных при­ме­не­ний — креп­ле­ния, соеди­няющие ступени кос­ми­че­ских ракет: это тоже решётки из обра­зующих одно­по­лост­ного гипер­бо­ло­ида.

Пер­вая в мире гипер­бо­ло­ид­ная кон­струкция уце­лела и стоит сей­час в селе Поли­бино Липец­кой обла­сти. После заверше­ния работы Все­рос­сийской выставки в Ниж­нем Новго­роде башню Шухова выкупил меце­нат Юрий Нечаев-Мальцов и уста­но­вил в своём име­нии.

Кроме башни на Шабо­ловке, в Москве и её окрест­но­стях сохра­ни­лись гипер­бо­ло­ид­ные водо­напор­ные башни в Лобне (мик­ро­район Луго­вая) и в посёлке Нико­лина Гора.

В Нижего­род­ской обла­сти сохра­ни­лась (и отре­ста­ври­ро­вана) одна из двух 128‐мет­ро­вых опор кас­када линии элек­тропе­ре­дачи НиГРЭС (неда­леко от города Дзержин­ска). Также гипер­бо­ло­ид­ные кон­струкции Шухова можно уви­деть в деревне Ляхово, в городе Выкса, да и в самом Ниж­нем Новго­роде (район Копо­сово, улица КИМа).

Большой Ста­ни­слав-Аджигольский маяк под Хер­со­ном явля­ется самой высо­кой гипер­бо­ло­ид­ной секцией среди спро­ек­ти­ро­ван­ных Шухо­вым. До сих пор это самый высо­кий маяк Укра­ины.

Сохра­нивши­еся гипер­бо­ло­иды Шухова можно уви­деть и в других горо­дах: Белая Цер­ковь (Укра­ина), Бори­сов (Рес­пуб­лика Бела­русь), Бухара (Рес­пуб­лика Узбе­ки­стан), Вологда, Казань, Коно­топ (Укра­ина), Коха­ново (Рес­пуб­лика Бела­русь), Крас­но­дар, Кукмор, Нико­лаев (Укра­ина), Петушки, Чер­кассы (Укра­ина).

Настоль­ную модель гипер­бо­ло­ид­ной башни Шухова можно сде­лать сво­ими руками. Тон­кие дере­вян­ные палочки (напри­мер, шпажки для шаш­лыка) и соеди­ни­тель­ные кольца (рези­но­вые или пла­сти­ко­вые) — вот всё, что вам пона­до­бится. Правда, при­дётся поэкс­пе­римен­ти­ро­вать, про­думы­вая после­до­ва­тель­ность сборки. Можно изго­то­вить и симмет­рич­ный вари­ант, и вари­ант, в кото­ром центр гипер­бо­ло­ида не совпа­дает с сере­ди­ной модели. В дан­ной модели пред­став­лены оба семейства обра­зующих — в точ­но­сти как в кон­струкциях Шухова. Все модели можно «раз­ду­вать», полу­чая гипер­бо­ло­иды раз­ных разме­ров.

Шуховские башни // Математическая составляющая

Модель одно­по­лост­ного гипер­бо­ло­ида, в кото­рой обра­зующие — это рези­но­вые нити, а не жёст­кие палочки, также про­ста в изго­тов­ле­нии. Про­зрач­ный полый цилиндр и его осно­ва­ния сде­ланы из пла­стика. Через рав­но­мерно рас­по­ложен­ные на краях осно­ва­ний небольшие отвер­стия чел­ночно про­пус­ка­ется рези­но­вая нить, кото­рая при­тяги­вает осно­ва­ния, но поз­во­ляет вращать их вокруг оси цилин­дра. При враще­нии осно­ва­ний нити рас­тяги­ваются и пре­вращаются в обра­зующие одного семейства, воз­ни­кает кон­тур гипер­бо­ло­ида.

В самой эффект­ной модели прямо­ли­ней­ная спица закреп­лена наклонно на вращающемся осно­ва­нии. При враще­нии осно­ва­ния вокруг цен­тра спица про­хо­дит бес­препят­ственно через про­рези в форме двух вет­вей гипер­болы, сде­лан­ные в непо­движ­ной стенке. В этой модели под­чёрк­нуто то, что одно­по­лост­ный гипер­бо­лоид — поверх­ность враще­ния, кото­рую можно полу­чить, вращая вокруг оси и гипер­болу, и одну из обра­зующих (прямую, скрещи­вающуюся с осью).

О про­ис­хож­де­нии и зна­че­нии термина «фокус», о гипер­боле как оги­бающей семейства прямых и о том, как полу­чить гипер­болу в виде муа­ро­вого узора, см. коммен­та­рии к ста­тье «Пара­бо­ли­че­ская антенна».

Лите­ра­тура

Васи­льев Н. Б., Гутенма­хер В. Л. Прямые и кри­вые. — 2‐е изд. — М.: Наука, 1978. — [Ко 2‐му изда­нию книга была зна­чи­тельно пере­ра­бо­тана и допол­нена, с тех пор пере­из­да­ва­лась несколько раз].

Мар­ку­ше­вич А. И. Заме­ча­тель­ные кри­вые. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — (Попу­ляр­ные лекции по матема­тике; Вып. 4).

Арнольд В. И. Матема­ти­че­ское понима­ние при­роды. — М.: МЦНМО, 2010. — [Сюжет «Резо­нансы в Шухов­ской башне, в урав­не­нии Собо­лева и в баках вращающихся ракет», стр. 131].

В. Г. Шухов: 1853—1939: Искус­ство кон­струкции. — М.: Мир, 1994.

Метал­ли­че­ские кон­струкции ака­демика В. Г. Шухова. — М.: Недра, 1990.

Шухова Е. М. Вла­ди­мир Григо­рье­вич Шухов: Пер­вый инже­нер Рос­сии. — М.: МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2003.

В. Г. Шухов — выдающийся инже­нер и учё­ный // Труды объеди­нён­ной науч­ной сес­сии АН СССР, посвящён­ной науч­ному и инже­нер­ному твор­че­ству почёт­ного ака­демика В. Г. Шухова. — М.: Наука, 1984.

Виногра­дова Т., Авдеев С. Код Шухова. — Ниж­ний Новго­род: Покров­ка‐7, 2013.

Зеле­нова С. В., Виногра­дова Т. П., Коро­та­ева Д. И., Оме­това Г. Н. В. Г. Шухов: нижего­род­ские про­екты. Тер­ри­то­рия уни­каль­ных объек­тов. — Ниж­ний Новго­род: Литера, 2016.

Архив РАН. Фонд Вла­ди­мира Григо­рье­вича Шухова. № 1508.

Ажур­ная башня // Матема­ти­че­ские этюды. — [Рекон­струкция стро­и­тельства башни на Шабо­ловке].

Кони­че­ские сече­ния: гипер­бола // Матема­ти­че­ские этюды.