Случайные блуждания

Яркий при­мер полез­ного вза­и­мо­действия, вза­им­ного обогаще­ния матема­тики и других наук — тео­рия слу­чай­ных блуж­да­ний. Эта тео­ре­ти­че­ская модель не только нашла при­ме­не­ния в раз­ных обла­стях от био­логии и физики до эко­номики, но и «помогла» полу­чить несколько Нобе­лев­ских премий.

Одно из пер­вых достиже­ний этой тео­рии — объяс­не­ние бро­унов­ского движе­ния. В 1827 году шот­ланд­ский био­лог Роберт Браун, нова­тор­ски исполь­зо­вавший мик­ро­скоп, обна­ружил явле­ние бес­по­ря­доч­ного движе­ния мик­ро­скопи­че­ских частиц в поло­стях зёрен пыльцы. Изна­чально наде­явшийся, что он открыл «источ­ник жизни», в результате про­должи­тель­ных иссле­до­ва­ний Браун при­шёл к иному выводу: при­рода такого движе­ния (назы­ва­емого сей­час бро­унов­ским) — физи­че­ская, а не био­логи­че­ская.

Случайные блуждания // Математическая составляющая

В после­дующих экс­пе­римен­тах уда­лось исклю­чить из списка возмож­ных при­чин хао­ти­че­ского движе­ния и многие физи­че­ские явле­ния, напри­мер испа­ре­ние, тече­ние жид­ко­сти, свет, внеш­ние виб­рации…

К концу XIX века полу­чила рас­про­стра­не­ние гипо­теза о том, что наблю­да­емое пове­де­ние частицы в жид­ко­сти вызвано столк­но­ве­ни­ями с движущи­мися моле­ку­лами и ато­мами (неви­димыми в мик­ро­скопы того времени). И это несмотря на то, что многие физики (даже вели­кие) ещё не верили в атом­ное стро­е­ние веще­ства. Инте­ресно, что именно изу­че­ние матема­ти­че­ской модели бро­унов­ского движе­ния поз­во­лило в начале XX века полу­чить одно из пер­вых под­твер­жде­ний атом­ной тео­рии.

В физи­че­ских экс­пе­римен­тах каж­дая «встреча» частицы с моле­ку­лой при­во­дит к сдвигу частицы в каком-то направ­ле­нии на какое-то рас­сто­я­ние. В матема­ти­че­ской модели рас­смат­ри­ваются слу­чай­ные блуж­да­ния точки (сохра­ним для неё назва­ние «частица») на плос­ко­сти, а чтобы изу­че­ние модели стало более про­стым, предпо­лага­ется, что пове­де­ние частицы менее хао­тично и более пред­ска­зу­емо: для всех столк­но­ве­ний вели­чина сдвига при­нима­ется посто­ян­ной; направ­ле­ния сдвига — только по сто­ро­нам света: север, юг, восток, запад; за опре­де­лён­ный интер­вал времени про­ис­хо­дит фик­си­ро­ван­ное число соуда­ре­ний.

Таким обра­зом, частица может двигаться только по узлам квад­рат­ной решётки, а по времени — доста­точно рав­но­мерно. Можно пока­зать, однако, что эти упроще­ния не меняют суть, харак­тер изна­чаль­ного слу­чай­ного блуж­да­ния, т. е. модель доста­точно точна.

В фольк­лор­ном опи­са­нии этой модели частица пред­став­лена мат­ро­сом, «отдох­нувшим» в баре пор­то­вого города с квад­рат­ной сет­кой улиц и воз­вращающимся на корабль. На каж­дом пере­крёстке мат­рос при­сажи­ва­ется, забы­вает о направ­ле­нии движе­ния и про­должает путь по одному из четырёх направ­ле­ний с рав­ной веро­ят­но­стью (1/4).

Случайные блуждания // Математическая составляющая

Можно рас­смат­ри­вать раз­но­об­раз­ные житейские вопросы, касающи­еся путеше­ствия моряка, но имеющие матема­ти­че­ский смысл и в задаче про частицу: попа­дёт ли когда-нибудь мат­рос на свой корабль? вер­нётся ли он в бар, из кото­рого вышел? сколько в сред­нем времени займёт путь до корабля? как далеко в сред­нем мат­рос уйдёт, сде­лав $t$ шагов (длина шага — рас­сто­я­ние между сосед­ними пере­крёст­ками)?

Почему воз­ни­кает необ­хо­димость исполь­зо­вать поня­тие «в сред­нем»? Дело в том, что при уве­ли­че­нии числа сде­лан­ных шагов коли­че­ство возмож­ных тра­ек­то­рий движе­ния рас­тёт очень быстро: одно­шаго­вых — 4, обра­зующихся при двух шагах — $4^2$ и т. д. В слу­чае мил­ли­она шагов число тра­ек­то­рий равно $4^{1000000}$ — это больше, чем число атомов во Все­лен­ной, но в зада­чах есте­ство­зна­ния такие вели­чины встре­чаются и с ними надо уметь рабо­тать. Среди множе­ства тра­ек­то­рий есть сильно отли­чающи­еся: напри­мер, мат­рос может двигаться только вправо (и за $t$ шагов уда­литься на рас­сто­я­ние $t$), а может перемещаться и по слож­ной тра­ек­то­рии, когда направ­ле­ние движе­ния меня­ется почти на каж­дом шаге.

Но несмотря на такое раз­ли­чие в пове­де­нии тра­ек­то­рий можно изу­чать, как выгля­дит тра­ек­то­рия «в сред­нем», так ска­зать, типич­ная. Напри­мер, уди­ви­тель­ным и важ­ным фак­том (при­чём по дока­за­тельству неслож­ным) явля­ется то, что в сред­нем через время $t$ частица ока­зы­ва­ется от началь­ной точки на рас­сто­я­нии порядка $\sqrt{t}$. (После неко­то­рого раз­думия такой результат уже не кажется уди­ви­тель­ным, ведь мат­рос часто воз­враща­ется назад и в сред­нем должен уйти на рас­сто­я­ние меньше чем $t$.)

Поста­новка задачи о движе­нии частицы по узлам квад­рат­ной решётки содержа­тель­ная, она нахо­дит при­ложе­ния и при большем числе изме­ре­ний. Но ответы на сформу­ли­ро­ван­ные выше вопросы каче­ственно раз­ли­чаются в зави­симо­сти от размер­но­сти: напри­мер, в одно­мер­ном и двумер­ном слу­чаях «мат­рос» воз­враща­ется в бар, а начи­ная с размер­но­сти три это уже не так.

Вер­нёмся в начало XX века, к исто­рии о том, как бро­унов­ское движе­ние под­твер­дило атом­ную тео­рию. В 1905 году, кото­рый часто назы­вают «годом чудес» (на латыни annus mirabilis), у Аль­берта Эйнштейна вышли и работа по спе­ци­аль­ной тео­рии отно­си­тель­но­сти, и раз­ви­вающая тео­рию бро­унов­ского движе­ния ста­тья «О движе­нии взвешен­ных в поко­ящейся жид­ко­сти частиц, тре­бу­емом моле­ку­лярно-кине­ти­че­ской тео­рией теп­лоты». Это одна из пер­вых работ по ста­ти­сти­че­ской физике — физике, в кото­рой рабо­тают со слу­чай­но­стью (см. «Как слу­ча­ется зако­номер­ность»). В этой тео­ре­ти­че­ской ста­тье, при­няв гипо­тезу о моле­ку­ляр­ных при­чи­нах бро­унов­ского движе­ния, Эйнштейн уста­но­вил про­порци­о­наль­ность вели­чины сред­него смеще­ния частицы и $\sqrt{t}$. В полу­чен­ной им формуле коэффици­ент про­порци­о­наль­но­сти зави­сит от харак­те­ри­стик жид­ко­сти (темпе­ра­тура, вяз­кость), разме­ров частицы и от числа Авога­дро (уни­вер­саль­ной физи­че­ской кон­станты, рав­ной числу моле­кул в опре­де­лён­ном коли­че­стве веще­ства). Эйнштейн пишет, что най­ден­ное им соот­ноше­ние можно при­ме­нить для опре­де­ле­ния числа Авога­дро, если знать сред­нее смеще­ние.

Если бы уда­лось экс­пе­римен­тально оце­нить сред­нее смеще­ние, то формула Эйнштейна стала бы источ­ни­ком нового спо­соба опре­де­ле­ния числа Авога­дро, ранее най­ден­ного в кине­ти­че­ской тео­рии газов. Совпа­де­ние ста­рого и нового зна­че­ний стало бы под­твер­жде­нием и моле­ку­ляр­ной модели бро­унов­ского движе­ния, и всей тео­рии атом­ного стро­е­ния веще­ства.

Эту задачу решил фран­цуз­ский физик Жан Батист Пер­рен, кото­рому в 1908 году уда­лось в серии экс­пе­римен­тов оце­нить сред­нее смеще­ние. Число Авога­дро было под­твер­ждено, при­чём с большой точ­но­стью, о чём Пер­рен напи­сал Эйнштейну вос­торжен­ное письмо. В 1926 году Пер­рен полу­чил Нобе­лев­скую премию по физике.

До сих пор в матема­ти­че­ской модели слу­чай­ных блуж­да­ний действо­вал ряд предпо­ложе­ний: посто­ян­ство вели­чины сдвига и частоты соуда­ре­ний. А что будет со слу­чай­ным блуж­да­нием, если столк­но­ве­ния про­ис­хо­дят всё чаще, а вызван­ные ими сдвиги ста­но­вятся всё меньше? Как гово­рят в матема­тике, «в пре­деле» слу­чай­ных лома­ных (тра­ек­то­рий) полу­чится слу­чай­ная функция. Так как харак­тер при­род­ных процес­сов — дис­крет­ный, а изме­не­ния на каж­дом шаге очень малы, то подоб­ные функции встре­чаются часто. Впер­вые тео­рию таких функций построил Нор­берт Винер, извест­ный во всём мире как «отец кибер­не­тики».

Случайные блуждания // Математическая составляющая

У подоб­ных моде­лей множе­ство полез­ных при­ме­не­ний. Напри­мер, ещё в начале XX века Луи Баше­лье для изу­че­ния рынка акций при­ме­нял слу­чай­ные блуж­да­ния с малым шагом, пред­вос­хи­тив под­ход Винера. То, что слу­чай­ное блуж­да­ние явля­ется хорошей моде­лью изме­не­ний цены актива на бирже, — довольно есте­ственно. По каж­дому активу про­из­во­дится множе­ство неза­ви­симых опе­раций много­чис­лен­ными игро­ками, у каж­дого из кото­рых и для про­дажи, и для при­об­ре­те­ния свои мотивы и обсто­я­тельства — кто-то покупает, думая о вложе­нии на будущее в обра­зо­ва­ние детей, кто‐то про­даёт… Как результат — цена ста­но­вится слу­чай­ным блуж­да­нием.

Конечно, есть каки­е‐то общие фак­торы, система­ти­че­ски вли­яющие на цену; напри­мер, для неко­то­рых позиций это может быть поли­ти­че­ская обста­новка или цена на нефть. Этот так назы­ва­емый снос можно пред­ста­вить наглядно на при­мере блуж­да­ний мат­роса по «наклон­ной» плос­ко­сти: мат­рос с рав­ными веро­ят­но­стями идёт на восток и запад, а на север и юг — с веро­ят­но­стями $1/4+\delta$ и $1/4-\delta$. Вычи­та­ние сноса при­во­дит к изна­чаль­ной поста­новке задачи слу­чай­ного блуж­да­ния.

Об эффек­тив­но­сти слу­чай­ных блуж­да­ний как модели цено­об­ра­зо­ва­ния гово­рит при­суж­де­ние в 1997 году Нобе­лев­ской премии по эко­номике за раз­ра­ботку модели цено­об­ра­зо­ва­ния опци­о­нов (модель Блэка—Шоулза). До появ­ле­ния этого матема­ти­че­ского результата пред­ска­за­ние изме­не­ния цен обычно осуществ­ля­лось на основе срав­ни­тель­ного ана­лиза дан­ной тра­ек­то­рии с каки­ми‐то похожими, имеющи­мися в бир­же­вой исто­рии. А в этой модели «пред­ска­за­ния» осно­ваны на слу­чайно-непред­ска­зу­емом блуж­да­нии цен, в част­но­сти — на извест­ном нам результате о сред­нем смеще­нии в бро­унов­ском движе­нии на $\sqrt{t}$ за время $t$.

Стоит ого­во­риться, что любая матема­ти­че­ская модель — упроще­ние действи­тель­но­сти, а потому имеет свою область при­ме­нимо­сти. Модель слу­чай­ных блуж­да­ний не рабо­тает в кри­зис­ные пери­оды, когда оценка сдвига на вели­чину $\sqrt{t}$ пере­стаёт рабо­тать. Хорошая модель для кри­зи­сов матема­ти­ками пока ещё не при­думана…

Модель слу­чай­ных блуж­да­ний опи­сы­ва­ется про­сто, с её помощью уже иссле­до­ваны многие важ­ные задачи, но свя­зан­ных с ней инте­рес­ных вопро­сов хва­тит и на XXI век. Для пред­став­ле­ния новых задач нам пона­до­бится поня­тие фрак­тала — самопо­доб­ного и сложно устро­ен­ного, изло­ман­ного объекта дроб­ной размер­но­сти.

Самопо­до­бие — это похожесть целого объекта и любого его куска. Слож­ность, изло­ман­ность в допол­не­ние к самопо­до­бию обна­ружи­ваются и в при­роде, и в модели слу­чай­ных блуж­да­ний. Напри­мер, у берего­вой линии суши малые участки столь же при­хот­ливо изогнуты, что и большие. Ана­логично с бро­унов­ским движе­нием: дета­ли­зи­ро­ван­ное изоб­раже­ние тра­ек­то­рии пре­вращает отрезки на «гру­бом» рисунке в «лохма­тые лома­ные», похожие на общий пер­во­на­чаль­ный вид.

Для изме­ре­ния плос­ких объек­тов есть два при­выч­ных спо­соба: длина — одно­мер­ная мера и площадь — двумер­ная. Площадь кри­вой нуле­вая, а вот длина даже у огра­ни­чен­ной, но изло­ман­ной кри­вой может неогра­ни­ченно воз­рас­тать с ростом точ­но­сти изме­ре­ний. Полу­ча­ется, что двумер­ная площадь не раз­ли­чает кри­вые, в част­но­сти, «не видит» слож­ность, а одно­мер­ная длина со слож­но­стью про­сто не справ­ля­ется. Жела­ние опре­де­лить харак­те­ри­стику линии, учи­ты­вающую её изло­ман­ность, слож­ность, можно реа­ли­зо­вать, введя дроб­ную размер­ность.

Дела­ется это так. На плос­кую огра­ни­чен­ную кри­вую накла­ды­ва­ется «изме­ри­тель­ная» сетка из $L{\times}L$ квад­ра­ти­ков. В процессе изме­ре­ния размеры квад­ра­ти­ков после­до­ва­тельно уменьшают (соот­вет­ственно рас­тут зна­че­ния $L$) и на каж­дом шаге вычис­ляют число квад­ра­ти­ков, пере­се­кающихся с кри­вой. Дроб­ной размер­но­стью кри­вой назы­ва­ется такое число $a$, что при больших зна­че­ниях $L$ число пере­се­че­ний хорошо при­ближа­ется зна­че­нием $L^a$.

Случайные блуждания // Математическая составляющая

У глад­кой кри­вой такая размер­ность равна 1, у обла­сти — 2, т. е. это соот­вет­ственно одно­мер­ный и двумер­ный объекты в при­выч­ном смысле. Для кри­вых уве­ли­че­ние дроб­ной размер­но­сти от 1 до 2 озна­чает уве­ли­че­ние слож­но­сти. Зна­че­ние размер­но­сти, близ­кое к 2, озна­чает, что неко­то­рые участки плос­ко­сти кажутся сплошь закрашен­ными дан­ной кри­вой. В при­роде встре­чаются и глад­кие объекты, и фрак­талы, у кото­рых зна­че­ние размер­но­сти действи­тельно дроб­ное. Сам термин «фрак­тал» отражает раз­ные оттенки: в нём есть и изло­ман­ность (латин­ское fractus), и дроб­ность (английское fraction).

Осно­ва­тель тео­рии фрак­та­лов Бенуа Ман­дельброт заин­те­ре­со­вался размер­но­стями, свя­зан­ными с бро­унов­ским движе­нием. Отоб­ражающая его кри­вая на дета­ли­зи­ро­ван­ных «порт­ре­тах» имеет так много самопе­ре­се­че­ний, что неко­то­рые участки выгля­дят как обла­сти положи­тель­ной площади, а бро­унов­ское движе­ние кажется двумер­ным и действи­тельно явля­ется тако­вым, в силу результата, оце­ни­вающего сред­нее смеще­ние как $\sqrt{t}$. Правда, если уда­лить такие участки и оста­вить только гра­ницу бро­унов­ского движе­ния, то она будет очень похожа на неко­то­рые берего­вые линии — это заме­тил и сам Ман­дельброт (вспом­ним, что его пер­вая работа по тео­рии фрак­та­лов назы­ва­лась «Какова длина побе­режья Вели­ко­бри­та­нии»). При­смот­ревшись внима­тель­нее, Ман­дельброт заме­тил, что гра­ница бро­унов­ского движе­ния очень напоми­нает дру­гой фрак­тал, размер­ность кото­рого счи­та­лась рав­ной 4/3, и выска­зал гипо­тезу, что и у бро­унов­ской гра­ницы размер­ность 4/3.

Случайные блуждания // Математическая составляющая

Этот дру­гой «при­род­ный» фрак­тал — длин­ная линей­ная полимер­ная моле­кула, типа ДНК. Она умеща­ется в кро­хот­ной клетке, поскольку плотно «упа­ко­вана». Нобе­лев­ский лау­реат Пол Флори, изу­чая реаль­ное рас­по­ложе­ние мак­ромо­ле­кул в рас­тво­рах (такая информация важна, напри­мер, для понима­ния про­ис­хо­дящих хими­че­ских процес­сов), пред­ложил исполь­зо­вать модель слу­чай­ного полимера. С матема­ти­че­ской точки зре­ния это слу­чай­ное блуж­да­ние без самопе­ре­се­че­ний, термин — само­из­бегающее блуж­да­ние.

Случайные блуждания // Математическая составляющая

На языке путеше­ствия мат­роса это огра­ни­че­ние озна­чает, что теперь ему запреща­ется воз­вращаться к тем пере­крёст­кам, на кото­рых он уже побы­вал. Такую задачу слож­нее изу­чать, чем бро­унов­ское движе­ние, в част­но­сти потому, что её нельзя пред­ста­вить динами­че­ски. При слу­чай­ном блуж­да­нии без огра­ни­че­ний мат­росу не нужно пом­нить своё прошлое. А в само­из­бегающем блуж­да­нии мат­росу надо нано­сить на карту все прой­ден­ные пере­крёстки и больше туда не воз­вращаться. Но даже при нали­чии такой карты мат­рос в какой-то момент может обна­ружить себя вза­перти, напри­мер, обойдя по кругу группу квар­та­лов и войдя в её внут­рен­нюю часть. Поэтому чтобы изу­чать тра­ек­то­рии без самопе­ре­се­че­ний фик­си­ро­ван­ной длины (рас­смат­ри­вая, напри­мер, рас­по­ложе­ния полимер­ной моле­кулы), при­дётся пред­ва­ри­тельно все их найти.

Понятно, что сред­нее уда­ле­ние от началь­ной точки в само­из­бегающих блуж­да­ниях будет больше, чем в слу­чай­ных блуж­да­ниях без огра­ни­че­ний, — ска­зы­ва­ется запрет на воз­враще­ние. Ожи­да­ется, что в тра­ек­то­риях без самопе­ре­се­че­ний сред­нее уда­ле­ние за $t$ шагов будет равно $t^{3/4}$ (для срав­не­ния: $\sqrt{t}=t^{1/2}$ у бро­унов­ского движе­ния). Пол Флори предпо­ложил нестрогий вывод этой гипо­тезы, из кото­рой выте­кает, что воз­ни­кающие в модели слу­чай­ного полимера кри­вые — фрак­талы размер­но­сти 4/3.

Аргументы Флори осно­вы­ва­лись на изна­чально нестро­гой тео­рии сред­него поля Лан­дау, и довольно быстро кол­леги Флори при­шли к выводу, что она вно­сит две ошибки в вычис­ле­ния. Строгого дока­за­тельства всё ещё нет, но недав­ние работы Лоулера, Шрамма и Вер­нера дают надежду, что 4/3 — вер­ный пока­за­тель степени, т. е. две ошибки непо­нят­ным обра­зом вза­имно сокращаются.

Все рас­смот­рен­ные выше при­меры фрак­та­лов моти­ви­ро­ваны при­род­ными явле­ни­ями. Сле­дующий при­мер иллю­стри­рует необ­хо­димость изу­че­ния фрак­та­лов, свя­зан­ных и с при­ро­дой, и с тех­но­логи­че­ской дея­тель­но­стью чело­века.

Пер­ко­ляция (от латин­ского слова percolatio — фильтрация, процежи­ва­ние) — явле­ние часто встре­чающе­еся: от про­са­чи­ва­ния воды через породу или газов через фильтр про­ти­вогаза до рас­про­стра­не­ния пожа­ров, эпи­демий и даже информации. Матема­ти­че­ское моде­ли­ро­ва­ние пер­ко­ляции — созда­ние модели пори­стого (дыр­ча­того) веще­ства.

В сере­дине XX века была пред­ложена сле­дующая общая модель пер­ко­ляции. В плос­кой сото­вой струк­туре каж­дая ячейка может быть запол­нен­ной (веще­ством) или пустой — в послед­нем слу­чае в неё может попасть вода. Выбор харак­те­ри­стики ячейки опре­де­ля­ется слу­чай­ным обра­зом — бро­са­нием монетки.

Случайные блуждания // Математическая составляющая

Может ли через полу­чившуюся пори­стую струк­туру сверху вниз про­со­читься вода? Если плот­ность пустот очень мала, то вода не про­хо­дит вниз, при воз­рас­та­нии плот­но­сти — начи­нает про­са­чи­ваться, даль­нейший рост плот­но­сти при­во­дит к уве­ли­че­нию про­те­чек. Конечно, матема­тики изу­чают не кон­крет­ный при­мер, а веро­ят­ность такого события.

Более пра­виль­ный вопрос: а каковы пути про­са­чи­ва­ния в модели пер­ко­ляции? Ока­зы­ва­ется, эти пути — фрак­талы, в слу­чае шести­уголь­ной решётки размер­ность фрак­тала равна 4/3. Напри­мер, это озна­чает, что при про­са­чи­ва­нии через решётку, состо­ящую из 1000 слоёв, длина сред­него пути соста­вит $(10^3)^{4/3}=10 000$ — т. е. путь окажется весьма изло­ман­ным и длин­ным.

Случайные блуждания // Математическая составляющая

Пока­за­тель 4/3 как размер­ность фрак­тала для пути пер­ко­ляции и гра­ницы бро­унов­ского движе­ния — результаты совсем недав­ние, они полу­чены уже в XXI веке. А вот гипо­теза Пола Флори, что размер­ность фрак­тала в модели слу­чай­ного полимера тоже равна 4/3, — до сих пор не дока­зана, хотя мы стали лучше понимать струк­туру фрак­та­лов этого типа. Хочется наде­яться, что дока­зать гипо­тезу Флори удастся одному из чита­те­лей этой книги!

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Утвер­жде­ние, что при слу­чай­ном блуж­да­нии через время $t$ частица в сред­нем ока­зы­ва­ется от началь­ной точки на рас­сто­я­нии порядка $\sqrt{t}$ — факт глу­бо­кий, но несложно дока­зы­ва­емый.

Действи­тельно, если мы сле­дим только за одной из коор­ди­нат и в каж­дый момент времени счи­таем шаги $S_j=\pm 1$ рав­но­ве­ро­ят­ными, то сред­нее зна­че­ние квад­рата уда­ле­ния от началь­ной точки после $t$ шагов будет равно $$ \textstyle \mathbb E(S_1+\ldots+S_t)^2= \sum\limits_k \mathbb E S_k^2 + \sum\limits_{j\ne k} \mathbb E (S_jS_k)=t, $$

поскольку $S_k^2=1$, а сред­нее зна­че­ние $S_jS_k$ равно нулю ($S_j=\pm 1$ и $S_k=\pm 1$). Сим­вол $\mathbb E$ обо­зна­чает сред­нее зна­че­ние параметра по всем возмож­ным событиям (про­ис­хо­дит от фран­цуз­ского esperance). Итак, в одно­мер­ном слу­чае квад­рат рас­сто­я­ния имеет сред­нее зна­че­ние $t$, т. е. сред­нее зна­че­ние самого рас­сто­я­ния — $\sqrt{t}$.

Отсюда, по тео­реме Пифагора, сле­дует, что на плос­ко­сти квад­рат рас­сто­я­ния имеет сред­нее зна­че­ние $2t$, т. е. в двумер­ном слу­чае сред­нее зна­че­ние самого рас­сто­я­ния — порядка $\sqrt{t}$. Ана­логично обстоят дела и в про­стран­ствах с большим чис­лом изме­ре­ний: сред­нее зна­че­ние рас­сто­я­ния в задаче о слу­чай­ных блуж­да­ниях имеет поря­док $\sqrt{t}$ неза­ви­симо от размер­но­сти.

С бро­унов­ским движе­нием свя­заны многие процессы, напри­мер теп­лопро­вод­ность — пере­нос энергии при движе­нии и соуда­ре­нии частиц, моле­кул. Мед­лен­ное рас­про­стра­не­ние тепла от ради­а­тора по ком­нате можно объяс­нить, исполь­зуя при­ве­дён­ные вычис­ле­ния о сред­нем смеще­нии в бро­унов­ском движе­нии.

Лите­ра­тура

Эфрос А. Л. Физика и геомет­рия бес­по­рядка. — М.: Наука, 1982. — (Биб­лио­течка «Квант»; Вып. 19).