Объём шкурки апельсина

Вы купили апель­син и раз­ре­зали его попо­лам. Можно ли, глядя на поло­винку апель­сина, опре­де­лить, чего в ней больше — кожуры или мякоти?

Объём шкурки апельсина // Математическая составляющая

Вопрос кажется стран­ным, ведь кожура — это тон­кий слой, край апель­сина (будем счи­тать, что апель­син имеет форму шара). Ока­зы­ва­ется, что отно­си­тельно тон­кий слой на гра­нице шара имеет тот же объём, что и вся осталь­ная часть. Напри­мер, у апель­сина диамет­ром 10 см c кожу­рой толщи­ной 1 см почти поло­вина всего объёма сосре­до­то­чена в кожуре!

Давайте про­ве­рим. Рас­смот­рим два шара ради­у­сов $R$ и $r$ ($r<R$). Каким должен быть радиус меньшего шара, чтобы его объём состав­лял поло­вину объёма большого?

Объём шкурки апельсина // Математическая составляющая

Объём шара ради­уса $R$ равен $V_R=\frac{4}{3} π R^3$. Для нахож­де­ния $r$ запишем урав­не­ние $$ V_r=V_R-V_r, \;\;\; {\mathrm{или}} \;\;\; \frac{4}{3} π r^3 = \frac{4}{3} π R^3 - \frac{4}{3} π r^3 $$

Из него сле­дует что $R^3=2r^3$, т. е. $$ r=\frac{R}{\sqrt[3]{2}} ≈ 0{,}79R ≈ \frac{4}{5} R. $$

Таким обра­зом, почти поло­вина объёма шара сосре­до­то­чена в слое около поверх­но­сти толщи­ной всего лишь $1/5$ ради­уса.

Объём шкурки апельсина // Математическая составляющая

В пред­став­лен­ном на рисунке апель­сине кожуры и мякоти поровну.

Пояс­ним чита­телю выбор формы урав­не­ния: $V_r=V_R-V_r$ вме­сто есте­ствен­ного $V_R=2V_r$. Это сде­лано, чтобы напом­нить одну идею, часто встре­чающуюся в геомет­рии и полез­ную при реше­нии житейских задач, — фигура, для площади или объёма кото­рой нет гото­вой формулы, пред­став­ля­ется как раз­ность «извест­ных» фигур.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

См. коммен­та­рий к сюжету «Кони­че­ский фужер».

Вычис­ле­ние объёма и площади поверх­но­сти шара — результат Архимеда, кото­рый он счи­тал своим высшим достиже­нием. В сочи­не­нии «О шаре и цилин­дре» Архимед писал:

Архимед Досифея при­вет­ствует! Неза­долго перед сим я препро­во­дил к тебе неко­то­рые пред­меты моих иcсле­до­ва­ний, вме­сте с най­ден­ными мною дока­за­тельствами […] Ныне я кон­чил и другие неко­то­рые мне на мысль при­шед­шие тео­ремы, из коих достопри­ме­ча­тель­нейшие суть сии: […] Цилиндр, имеющий осно­ва­нием наи­больший круг шара, а высоту, рав­ную попе­реч­нику оного, есть полу­тор­ный шара; и его поверх­ность есть полу­тор­ная же поверх­но­сти шара. Свойства сии без сомне­ния суще­ство­вали в ска­зан­ных фигу­рах, но доселе не были ещё заме­чены никем из занимавшихся Геомет­рией…

В форму­лах результат Архимеда для шара ради­уса $R$ и опи­сан­ного вокруг него круго­вого цилин­дра имеет сле­дующий вид: $$ V_{\mathrm{шара}}=\frac{4}{3}π R^3 \;\;\;\; \left(=\frac{2}{3}V_{\mathrm{цилин­дра}}=\frac{2}{3}\cdot 2π R^3\right), $$ $$ S_{\mathrm{шара}}=4π R^2 \;\;\;\; \left(=\frac{2}{3}S_{\mathrm{цилин­дра}}=\frac{2}{3}\cdot 6π R^2\right). $$

К моменту появ­ле­ния работы Архимеда и объём, и площадь цилин­дра были уже известны.

Шар, впи­сан­ный в цилиндр, был изоб­ражён на надгроб­ном памят­нике у могилы учё­ного. Зная об этом, Цице­рон, во время службы на Сици­лии, смог найти могилу Архимеда и опи­сал её в сочи­не­нии «Туску­лан­ские беседы».

Объём шкурки апельсина // Математическая составляющая

Идеи Архимеда можно про­де­мон­стри­ро­вать на модели, назы­ва­емой «весы Архимеда». Рычаж­ные весы будут в состо­я­нии рав­но­ве­сия, если на рав­ных рас­сто­я­ниях от под­веса уста­но­вить: конус и поло­вину шара — с одной сто­роны, цилиндр — с дру­гой (все фигуры оди­на­ко­вой высоты; ради­усы осно­ва­ний конуса и цилин­дра равны ради­усу шара).

Объём шкурки апельсина // Математическая составляющая

В каж­дом сече­нии плос­ко­стью, парал­лель­ной осно­ва­ниям фигур, площадь сече­ния цилин­дра равна сумме площа­дей сече­ний конуса и «южной» поло­вины шара. Из этого равен­ства площа­дей сле­дует равен­ство объёмов (так назы­ва­емый принцип Кава­льери).

Полу­ча­ется уди­ви­тель­ная вещь: урав­но­ве­сить две про­стые по форме гирьки — конус и цилиндр — уда­ётся с помощью более слож­ной — поло­вины шара.