Объём шкурки апельсина
Вы купили апельсин и разрезали его пополам. Можно ли, глядя на половинку апельсина, определить, чего в ней больше — кожуры или мякоти?
Вопрос кажется странным, ведь кожура — это тонкий слой, край апельсина (будем считать, что апельсин имеет форму шара). Оказывается, что относительно тонкий слой на границе шара имеет тот же объём, что и вся остальная часть. Например, у апельсина диаметром 10 см c кожурой толщиной 1 см почти половина всего объёма сосредоточена в кожуре!
Давайте проверим. Рассмотрим два шара радиусов $R$ и $r$ ($r<R$). Каким должен быть радиус меньшего шара, чтобы его объём составлял половину объёма большого?
Объём шара радиуса $R$ равен $V_R=\frac{4}{3} π R^3$. Для нахождения $r$ запишем уравнение
$$
V_r=V_R-V_r, \;\;\; или \;\;\; \frac{4}{3} π r^3 = \frac{4}{3} π R^3 - \frac{4}{3} π r^3
$$
Из него следует что $R^3=2r^3$, т. е.
$$
r=\frac{R}{\sqrt[3]{2}} ≈ 0,79R ≈ \frac{4}{5} R.
$$
Таким образом, почти половина объёма шара сосредоточена в слое около поверхности толщиной всего лишь $1/5$ радиуса.
В представленном на рисунке апельсине кожуры и мякоти поровну.
Поясним читателю выбор формы уравнения: $V_r=V_R-V_r$ вместо естественного $V_R=2V_r$. Это сделано, чтобы напомнить одну идею, часто встречающуюся в геометрии и полезную при решении житейских задач, — фигура, для площади или объёма которой нет готовой формулы, представляется как разность «известных» фигур.
