Математика — язык описания возможностей

Когда мы занима­емся био­логией, мы изу­чаем живые орга­низмы. Когда мы занима­емся аст­ро­номией, мы изу­чаем небес­ные тела. Когда мы занима­емся химией, мы изу­чаем раз­но­вид­но­сти мате­рии и их вза­и­мо­пре­враще­ния. Мы наблю­даем и изме­ряем нечто в реаль­ном мире, мы раз­ра­ба­ты­ваем спе­ци­а­ли­зи­ро­ван­ные экс­пе­рименты в точно опре­де­лён­ных усло­виях (впро­чем, не в аст­ро­номии), и в результате всего этого мы строим объяс­няющую пара­дигму, кото­рая ста­но­вится на текущий момент вехой в раз­ви­тии науки. Но что же мы изу­чаем, когда занима­емся матема­ти­кой? Один из возмож­ных отве­тов таков: мы изу­чаем идеи, с кото­рыми можно обращаться так, как если бы они были реаль­ными пред­ме­тами.

Каж­дая такая идея должна быть доста­точно жёст­кой, чтобы сохра­нять свою форму во вся­ком кон­тек­сте, где она может быть исполь­зо­вана. В то же время у каж­дой такой идеи должен быть бога­тый потенциал для созда­ния свя­зей с другими матема­ти­че­скими иде­ями. Когда пер­во­на­чаль­ный комплекс идей сформи­ро­вался, связи между этими иде­ями также могут при­об­ре­сти ста­тус матема­ти­че­ских объек­тов, обра­зуя тем самым пер­вый уро­вень гигант­ской иерар­хии абстракций. В самом низу этой иерар­хии лежат мыс­лен­ные образы самих вещей и спо­со­бов манипу­ли­ро­ва­ния ими. Чудес­ным обра­зом ока­зы­ва­ется, что даже абстракции высо­кого уровня могут каким‐то обра­зом отражать реаль­ность: напри­мер, зна­ния о мире, полу­чен­ные физи­ками, можно выра­зить только на языке матема­тики.

Чтобы понять, как именно матема­тика при­ме­ня­ется к понима­нию реаль­ного мира, удобно рас­смот­реть её в трёх модаль­но­стях: как модель, тео­рию и метафору. Матема­ти­че­ская модель опи­сы­вает (коли­че­ственно или каче­ственно) опре­де­лён­ный класс явле­ний, но ни на что большее предпо­чи­тает не пре­тен­до­вать.

Каче­ствен­ные модели помогают понимать такие явле­ния, как устой­чи­вость и неустой­чи­вость, аттрак­торы (пре­дель­ные состо­я­ния, не зави­сящие, как пра­вило, от началь­ных усло­вий), фазо­вые пере­ходы, про­ис­хо­дящие, когда слож­ная система пере­хо­дит гра­ницу между двумя фазами или между двумя бас­сей­нами с раз­ными аттрак­то­рами.

Тео­рию от модели отли­чают в первую оче­редь большие при­тя­за­ния. Та сила, что побуж­дает всё время созда­вать тео­рии — это концепция реаль­но­сти, суще­ствующей неза­ви­симо от мате­ри­аль­ного мира и воз­вышающейся над ним, реаль­но­сти, кото­рую можно познать только с помощью матема­ти­че­ских инструмен­тов.

Матема­ти­че­ская метафора, в тех слу­чаях, когда она пре­тен­дует на ста­тус инструмента позна­ния, посту­ли­рует, что неко­то­рый слож­ный набор явле­ний можно срав­нить с какой-то матема­ти­че­ской кон­струкцией.

Матема­ти­че­ская тео­рия — это при­глаше­ние к постро­е­нию рабо­тающих моде­лей. Матема­ти­че­ская метафора — это при­глаше­ние к размыш­ле­нию о том, что мы знаем. Разуме­ется, такое под­раз­де­ле­ние не явля­ется ни жёст­ким, ни абсо­лют­ным.

В струк­тур­ном плане раз­ви­тие матема­тики идёт парал­лельно раз­ви­тию языка. И матема­тика, и язык служат мости­ком между реаль­но­стью (в той мере, в кото­рой она объек­тивно суще­ствует) и наблю­да­емым, т. е. тем, как реаль­ность отражена в созна­нии.

Я убеж­дён, что наука, и в част­но­сти матема­тика, не явля­ется движущей силой нашей циви­ли­за­ции. Карты и машины у нас есть действи­тельно благо­даря науке, но наука не решает за нас, куда нам идти надо, а куда не сле­дует. Думать иначе зна­чило бы вер­нуться в эпоху арха­и­че­ского воспри­я­тия зна­ния как одного из видов магии, когда чело­век, пред­ска­завший затме­ние или то, как раз­решится неко­то­рая ситу­ация с неяс­ным исхо­дом, рас­смат­ри­вался как кол­дун, вызы­вающий события с помощью манипу­ляций с их сим­во­ли­че­скими пред­став­ле­ни­ями. На самом деле био­логи­че­ская функция мысли состоит не в том, чтобы вызы­вать спон­тан­ные реакции, а в том, чтобы их предот­вращать.

Когда-то волхвы, шаманы опи­сы­вали про­стран­ство возмож­но­стей, а не непо­сред­ственно окружавшее посе­ле­ние племени про­стран­ство со всеми событи­ями, оби­та­те­лями и про­чим. Волхвы не занима­лись реше­нием прак­ти­че­ских задач, это делал вождь племени. Но он при­слу­ши­вался к сво­ему шаману, совет­нику, кото­рый при нём нахо­дился и помогал при­нимать реше­ния при выборе действий.

Знаме­ни­тый антич­ный при­мер — исто­рия лидийского царя Крёза. Гото­вясь к войне с Пер­сией он обра­тился к ора­кулу в Дельфах за сове­том и тот отве­тил: «Крёз, Галис перейдя, ты вели­кое цар­ство раз­ру­шишь», не уточ­няя, какое именно цар­ство име­ется в виду. Крёз перешёл через гра­ницу — реку Галис, и был раз­бит.

Матема­тика опи­сы­вает фазо­вое про­стран­ство реаль­ного мира, про­стран­ство возмож­но­стей. Она изу­чает законы, кото­рые опре­де­ляют возмож­ные тра­ек­то­рии в этом фазо­вом про­стран­стве, а также усло­вия — тот набор информации, кото­рый необ­хо­дим для выбора кон­крет­ной фазо­вой тра­ек­то­рии.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Лите­ра­тура

Манин Ю. И. Матема­тика как метафора. — 2‐е изд., доп. — М.: МЦНМО, 2010.