Когда мы занимаемся биологией, мы изучаем живые организмы. Когда мы занимаемся астрономией, мы изучаем небесные тела. Когда мы занимаемся химией, мы изучаем разновидности материи и их взаимопревращения. Мы наблюдаем и измеряем нечто в реальном мире, мы разрабатываем специализированные эксперименты в точно определённых условиях (впрочем, не в астрономии), и в результате всего этого мы строим объясняющую парадигму, которая становится на текущий момент вехой в развитии науки. Но что же мы изучаем, когда занимаемся математикой? Один из возможных ответов таков: мы изучаем идеи, с которыми можно обращаться так, как если бы они были реальными предметами.
Каждая такая идея должна быть достаточно жёсткой, чтобы сохранять свою форму во всяком контексте, где она может быть использована. В то же время у каждой такой идеи должен быть богатый потенциал для создания связей с другими математическими идеями. Когда первоначальный комплекс идей сформировался, связи между этими идеями также могут приобрести статус математических объектов, образуя тем самым первый уровень гигантской иерархии абстракций. В самом низу этой иерархии лежат мысленные образы самих вещей и способов манипулирования ими. Чудесным образом оказывается, что даже абстракции высокого уровня могут каким‐то образом отражать реальность: например, знания о мире, полученные физиками, можно выразить только на языке математики.
Чтобы понять, как именно математика применяется к пониманию реального мира, удобно рассмотреть её в трёх модальностях: как модель, теорию и метафору. Математическая модель описывает (количественно или качественно) определённый класс явлений, но ни на что большее предпочитает не претендовать.
Качественные модели помогают понимать такие явления, как устойчивость и неустойчивость, аттракторы (предельные состояния, не зависящие, как правило, от начальных условий), фазовые переходы, происходящие, когда сложная система переходит границу между двумя фазами или между двумя бассейнами с разными аттракторами.
Теорию от модели отличают в первую очередь большие притязания. Та сила, что побуждает всё время создавать теории — это концепция реальности, существующей независимо от материального мира и возвышающейся над ним, реальности, которую можно познать только с помощью математических инструментов.
Математическая метафора, в тех случаях, когда она претендует на статус инструмента познания, постулирует, что некоторый сложный набор явлений можно сравнить с какой-то математической конструкцией.
Математическая теория — это приглашение к построению работающих моделей. Математическая метафора — это приглашение к размышлению о том, что мы знаем. Разумеется, такое подразделение не является ни жёстким, ни абсолютным.
В структурном плане развитие математики идёт параллельно развитию языка. И математика, и язык служат мостиком между реальностью (в той мере, в которой она объективно существует) и наблюдаемым, т. е. тем, как реальность отражена в сознании.
Я убеждён, что наука, и в частности математика, не является движущей силой нашей цивилизации. Карты и машины у нас есть действительно благодаря науке, но наука не решает за нас, куда нам идти надо, а куда не следует. Думать иначе значило бы вернуться в эпоху архаического восприятия знания как одного из видов магии, когда человек, предсказавший затмение или то, как разрешится некоторая ситуация с неясным исходом, рассматривался как колдун, вызывающий события с помощью манипуляций с их символическими представлениями. На самом деле биологическая функция мысли состоит не в том, чтобы вызывать спонтанные реакции, а в том, чтобы их предотвращать.
Когда-то волхвы, шаманы описывали пространство возможностей, а не непосредственно окружавшее поселение племени пространство со всеми событиями, обитателями и прочим. Волхвы не занимались решением практических задач, это делал вождь племени. Но он прислушивался к своему шаману, советнику, который при нём находился и помогал принимать решения при выборе действий.
Знаменитый античный пример — история лидийского царя Крёза. Готовясь к войне с Персией он обратился к оракулу в Дельфах за советом и тот ответил: «Крёз, Галис перейдя, ты великое царство разрушишь», не уточняя, какое именно царство имеется в виду. Крёз перешёл через границу — реку Галис, и был разбит.
Математика описывает фазовое пространство реального мира, пространство возможностей. Она изучает законы, которые определяют возможные траектории в этом фазовом пространстве, а также условия — тот набор информации, который необходим для выбора конкретной фазовой траектории.
