Дробление камней в почках

В орга­низме чело­века как побоч­ный результат про­ис­хо­дящего в нём обмена веществ иногда обра­зуются камни (напри­мер, в поч­ках). Камни бес­по­коят, даже могут угрожать жизни, поэтому с ними при­хо­дится бороться.

Лито­т­рип­сия (от древ­негре­че­ского λίθος — камень) — один из мето­дов дистанци­он­ного раз­ру­ше­ния кам­ней с помощью удар­ных волн. Принцип работы многих аппа­ра­тов дистанци­он­ного воз­действия осно­ван на геомет­ри­че­ских свойствах эллипса.

Эллипс — геомет­ри­че­ское место точек плос­ко­сти, сумма рас­сто­я­ний от кото­рых до двух задан­ных точек, назы­ва­емых фоку­сами, посто­янна.

Дробление камней в почках // Математическая составляющая

Это опре­де­ле­ние сразу при­во­дит к спо­собу постро­е­ния эллипса. При­вяжем концы нити к двум кноп­кам, а их воткнём в лист бумаги. Если натя­нуть нить с помощью каран­даша, поста­вить его на лист и, всё время сохра­няя нить натя­ну­той, про­ве­сти линию, то полу­чится дуга эллипса. Дело в том, что нить всё время будет иметь форму лома­ной, состо­ящей из отрез­ков, соеди­няющих каран­даш и кнопки-фокусы. Сумма длин этих отрез­ков посто­янна и равна длине нити.

Как и пара­бола, эллипс обла­дает опти­че­ским свойством. Если поме­стить точеч­ный источ­ник излу­че­ния («лампочку») в один из фоку­сов эллипса и вклю­чить его, то лучи, отра­зившись от эллипса, собе­рутся во вто­ром фокусе. При этом все лучи при­дут во вто­рой фокус одно­временно, так как для каж­дого луча длина прой­ден­ного пути будет одна и та же (по опре­де­ле­нию эллипса).

Дробление камней в почках // Математическая составляющая

Именно это опти­че­ское свойство эллипса исполь­зу­ется в дистанци­он­ной лито­т­рип­сии.

При враще­нии эллипса вокруг прямой, про­хо­дящей через фокусы, полу­ча­ется эллип­соид враще­ния. В каж­дом сече­нии эллип­со­ида плос­ко­стью, про­хо­дящей через ось враще­ния, полу­чаются рав­ные эллипсы с общими фоку­сами, поэтому эллип­соид тоже обла­дает опти­че­ским свойством.

Отража­тель аппа­рата дистанци­он­ной лито­т­рип­сии — часть эллип­со­ида, «чаша», при­мы­кающая к одному из фоку­сов, в кото­ром размеща­ется источ­ник излу­че­ния. Паци­ента помещают так, чтобы совме­стить положе­ние вто­рого фокуса и положе­ние камня — мишени вол­но­вой атаки.

Дробление камней в почках // Математическая составляющая

Конечно, излу­че­ние про­хо­дит и через ткани, окружающие камень, но только в фокусе одно­мо­ментно концен­три­ру­ется вся энергия излу­че­ния, ста­но­вясь и раз­рушающей, и цели­тель­ной силой.

При­ве­дём геомет­ри­че­ское объяс­не­ние опти­че­ского свойства эллипса.

Вышед­ший из фокуса луч, достиг­нув эллипса, отража­ется по закону «угол паде­ния равен углу отраже­ния» (отраже­ние от кри­вой — это отраже­ние от каса­тель­ной к кри­вой в этой точке).

Если точку отраже­ния луча соеди­нить и со вто­рым фоку­сом, то полу­чаются два отрезка нити из геомет­ри­че­ского опре­де­ле­ния эллипса. На каса­тель­ной к эллипсу, про­ве­дён­ной в точке отраже­ния луча, все осталь­ные точки лежат вне эллипса, поэтому для них сумма рас­сто­я­ний до фоку­сов будет больше.

Восполь­зу­емся теперь результа­том фольк­лор­ной «задачи о Крас­ной Шапочке», в кото­рой внучка должна дойти от сво­его дома до реки (прямой), напол­нить ведро и отне­сти его в дом бабушки. Крат­чайший путь харак­те­ри­зу­ется тем, что отрезки, соеди­няющие дома с точ­кой «водо­за­бора» на берегу, должны быть накло­нены к прямой под оди­на­ко­выми углами.

Дробление камней в почках // Математическая составляющая

В нашем слу­чае дома — фокусы, река — каса­тель­ная, крат­чайший путь — отрезки нити, «рисующей» эллипс. Сле­до­ва­тельно, эти отрезки обра­зуют с каса­тель­ной рав­ные углы, а сама нить ста­но­вится для луча «путе­вод­ной».

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Постро­е­ние эллипса с помощью нити откры­вает дорогу к постро­е­нию софо­кус­ных эллип­сов и «дарит» любопыт­ные факты из жизни этих кри­вых.

Взяв нить со свя­зан­ными кон­цами, охва­ты­вающую фокусы, и натя­нув её с помощью каран­даша, нари­суем эллипс. Нити раз­ной длины дадут целое семейство софо­кус­ных эллип­сов. Но можно охва­ты­вать не отре­зок, соеди­няющий фокусы, а один из уже полу­чен­ных эллип­сов.

Нари­со­вав эллипс, изго­то­вим его «физи­че­скую» копию из доста­точно тол­стого мате­ри­ала, а затем совме­стим копию с ориги­на­лом. Возьмём нитя­ную петлю, кото­рой можно охва­тить эллипс, и, оття­нув её каран­дашом, про­ве­дём оваль­ную линию. Ока­зы­ва­ется, это тоже эллипс, при­чём софо­кус­ный исход­ному. Утвер­жде­ние можно про­ве­рить экс­пе­римен­тально, подо­брав длину петли, охва­ты­вающей фокусы.

Дробление камней в почках // Математическая составляющая

Эту тео­рему в XIX веке дока­зал ирлан­дец Чарльз Грейвс, епи­скоп и матема­тик. В книге Феликса Клейна «Высшая геомет­рия» один из параграфов назы­ва­ется «Постро­е­ние из нитей Грейвса и Шта­уде».

Дока­за­тельство тео­ремы Грейвса можно про­чи­тать в книге Клейна. Отме­тим, что оно не явля­ется элемен­тар­ным, при­чина в том, что в каж­дый момент нить как линия состоит из двух отрез­ков, каса­тель­ных к эллипсу, и дуги эллипса. Уди­ви­тельно, но дуга эллипса — непро­стой объект, её длина выража­ется слож­ной форму­лой (исполь­зуются так назы­ва­емые эллип­ти­че­ские интегралы).

Эллип­сограф — устройство для вычер­чи­ва­ния эллип­сов — можно встре­тить уже в рабо­тах Лео­нардо да Винчи. Такие меха­низмы несложно изго­то­вить и в домаш­них усло­виях.

Про­стейшая идея: точка отрезка, концы кото­рого сколь­зят по двум перпен­ди­ку­ляр­ным прямым, опи­сы­вает эллипс. Модифи­кация: точка выби­ра­ется на про­долже­нии отрезка.

Дробление камней в почках // Математическая составляющая

Более ред­кая идея. Две вершины тре­уголь­ника сколь­зят по двум пере­се­кающимся прямым (не обя­за­тельно перпен­ди­ку­ляр­ным) — тра­ек­то­рия тре­тьей вершины будет эллип­сом.

О про­ис­хож­де­нии и зна­че­нии термина «фокус», об эллипсе как оги­бающей семейства прямых и о том, как полу­чить эллипс в виде муа­ро­вого узора, см. коммен­та­рии к ста­тье «Пара­бо­ли­че­ская антенна». Про кони­че­ские сече­ния см. коммен­та­рии к ста­тье «Шухов­ские башни».

Лите­ра­тура

Васи­льев Н. Б., Гутенма­хер В. Л. Прямые и кри­вые. — 2‐е изд. — М.: Наука, 1978. — [Ко 2‐му изда­нию книга была зна­чи­тельно пере­ра­бо­тана и допол­нена, с тех пор пере­из­да­ва­лась несколько раз].

Мар­ку­ше­вич А. И. Заме­ча­тель­ные кри­вые. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — (Попу­ляр­ные лекции по матема­тике; Вып. 4).

Эллипс // Жур­нал «Квант». 1990. № 5. Стр. 40—41.