Искривлённые миры

В далё­кой древ­но­сти было заме­чено, что поверх­ность Земли не явля­ется плос­кой. Об этом гово­рило, напри­мер, такое наблю­де­ние: когда на гори­зонте появ­ля­ется корабль, то сна­чала видны вер­хушки мачт, и только потом появ­ля­ется весь парус­ник. Предпо­ложе­ние, что форма Земли — шаро­об­раз­ная, воз­никло неза­долго до Пифагора. Экс­пе­римен­таль­ное под­твер­жде­ние гипо­тезы при­над­лежит, видимо, Ари­сто­телю, при­во­дившему сле­дующий довод. Во время лун­ного затме­ния меняюща­яся гра­ница тени Земли в каж­дый момент времени явля­ется дугой окруж­но­сти, а только у шара гра­ница тени при всех про­екциях круго­вая.

Но пла­нета — только часть трёхмер­ного про­стран­ства, «живущего» в четырёхмер­ном про­стран­стве-времени. И в XX веке физики при­шли к выводу, что фун­дамен­таль­ный вопрос о при­роде тяго­те­ния можно объяс­нить если свя­зать его с кри­виз­ной про­стран­ства.

Чтобы чита­тель смог подойти к поня­тию кри­визны в многомер­ном про­стран­стве, рас­смот­рим с раз­ных точек зре­ния «при­выч­ную» кри­визну поверх­но­сти. На стра­ни­цах книги это поня­тие встре­ча­лось в сюже­тах «Лом­тик пиццы» и «Фут­боль­ный мяч». Во многих слу­чаях, в том числе и в утвер­жде­нии о невозмож­но­сти созда­ния плос­кой карты Земли без искаже­ний («Кар­тографи­че­ские про­екции»), основ­ную роль играет тео­рема Гаусса о кри­визне.

Нач­нём разго­вор с прямого, полу­чен­ного Эйле­ром в сере­дине XVIII века ещё до появ­ле­ния тео­ремы Гаусса, объяс­не­ния того, что даже небольшой уча­сток сферы не кар­тографи­ру­ется без искаже­ний на плос­кую область, т. е. его нельзя отоб­ра­зить на плос­кость так, чтобы сохра­ня­лись длины всех линий (а сле­до­ва­тельно, и площади обла­стей). Для этого доста­точно про­сле­дить за «судь­бой» окруж­но­сти небольшого ради­уса (её дли­ной, кругом, кото­рый она огра­ни­чи­вает, и его площа­дью).

На плос­ко­сти крат­чайший путь, соеди­няющий пару раз­лич­ных точек, — отре­зок прямой. Точки, кото­рые отстоят от задан­ной на рас­сто­я­ние $r$, обра­зуют окруж­ность ради­уса $r$ с цен­тром в дан­ной точке. Чтобы узнать, как выгля­дят на сфере крат­чайшие пути и множе­ства точек, рав­но­уда­лён­ных от дан­ной, про­ве­дём геомет­ри­че­ский экс­пе­римент.

На плос­ко­сти окруж­ность ради­уса $r$ можно нари­со­вать с помощью натя­ну­той нити длины $r$, один конец кото­рой закреп­лён. На гло­бусе, закрепив один конец доста­точно корот­кой нити в полюсе и натя­нув её вдоль поверх­но­сти, полу­чим отре­зок мери­ди­ана. Длина этого отрезка — крат­чайшее рас­сто­я­ние между точ­ками, в кото­рых ока­за­лись концы нити. Все­возмож­ные положе­ния неза­креп­лён­ного конца натя­ну­той нити состав­ляют одну из парал­ле­лей на гло­бусе, это и есть множе­ство точек, рав­но­уда­лён­ных от полюса на рас­сто­я­ние, рав­ное длине нити.

Искривлённые миры // Математическая составляющая

Парал­лель состоит из точек, уда­лён­ных на рас­сто­я­ние $r$ от дан­ной, поэтому должна перейти в окруж­ность ради­уса $r$ на плос­ко­сти (такая окруж­ность опре­де­ля­ется рас­прям­ле­нием нити). Но длины должны сохра­няться не только вдоль мери­ди­а­нов, в част­но­сти, длина парал­лели должна рав­няться длине её образа — окруж­но­сти ради­уса $r$, а это, оче­видно, не так.

Уточ­ним это экс­пе­римен­таль­ное дока­за­тельство с помощью ана­ли­ти­че­ских формул. Из них мы уви­дим, как искаже­ние длины «окруж­но­сти» на сфере свя­зано с поня­тием кри­визны.

Рас­сто­я­ние между двумя точ­ками на поверх­но­сти опре­де­ля­ется как наименьшая из длин кри­вых, соеди­няющих эти точки и лежащих на этой поверх­но­сти. Это опре­де­ле­ние ана­логично опре­де­ле­нию рас­сто­я­ния между точ­ками на плос­ко­сти. На плос­ко­сти крат­чайшей кри­вой явля­ется отре­зок, соеди­няющий точки. На сфере крат­чайшая кри­вая между двумя точ­ками — это меньшая дуга большой окруж­но­сти, кото­рая полу­ча­ется в пере­се­че­нии сферы с плос­ко­стью, про­хо­дящей через эти точки и центр сферы.

Большие окруж­но­сти на сфере и прямые линии на плос­ко­сти являются при­ме­рами гео­де­зи­че­ских. Так назы­ваются линии, у кото­рых все доста­точно корот­кие отрезки являются крат­чайшими путями, соеди­нящими их концы. Напри­мер, на сфере еди­нич­ного ради­уса большие окруж­но­сти являются гео­де­зи­че­скими, но крат­чайшими путями между их кон­цами являются дуги длины, не большей, чем $π$. Заме­тим, что две про­ти­вопо­лож­ные точки на сфере свя­заны бес­ко­неч­ным чис­лом крат­чайших линий — отрез­ков мери­ди­а­нов.

Множе­ство точек на сфере, рав­но­уда­лён­ных от дан­ной точки $P$ на рас­сто­я­ние $r$, есте­ственно назвать окруж­но­стью (с цен­тром в точке $P$ и ради­уса $r$). В геомет­рии окружающего трёхмер­ного про­стран­ства — это парал­лель $Z_r$, кото­рая полу­ча­ется при пере­се­че­нии сферы с плос­ко­стью, т. е. обыч­ная окруж­ность. Отме­тим, что если $R$ — радиус сферы, то с ростом $r$ от 0 до $π R/2$ (до «эква­тора») «физи­че­ские» размеры парал­лели $Z_r$ уве­ли­чи­ваются, а с даль­нейшим уве­ли­че­нием $r$ начи­нают уменьшаться и при $r=π R$ окруж­ность пре­враща­ется в точку. Упо­треб­ле­ние слова «парал­лель» не на гло­бусе, а на сфере оправ­дано «рав­но­пра­вием» её точек. При враще­нии сферы вокруг её цен­тра сфе­ри­че­ские рас­сто­я­ния между точ­ками не меняются, а в выде­лен­ную точку «полюс» таким пре­об­ра­зо­ва­нием можно пере­ве­сти любую точку.

Искривлённые миры // Математическая составляющая

Вер­нёмся к основ­ной задаче и отве­тим на вопрос, почему нельзя без искаже­ний кар­тографи­ро­вать поверх­ность гло­буса на плос­кую область.

Напри­мер, если бы небольшую круг­лую шапочку, окружающую полюс на гло­бусе, можно было «точно» кар­тографи­ро­вать на плос­кость, то обра­зом гра­нич­ной парал­лели $Z_r$ была бы обыч­ная окруж­ность ради­уса $r$ на плос­ко­сти. При этом точ­ность кар­тографи­ро­ва­ния должна была бы обес­пе­чить совпа­де­ние длин путей и, как след­ствие, площа­дей обла­стей. Срав­ним длины линий в паре «парал­лель—окруж­ность» и площади в паре «шапочка—круг».

На плос­ко­сти длина окруж­но­сти ради­уса $r$ и площадь огра­ни­чен­ного ею круга равны соот­вет­ственно $$ \ell(r)=2π r, \qquad S(r)=π r^2. $$

Окруж­но­сти ради­уса $r$ на плос­ко­сти соот­вет­ствует на сфере парал­лель $Z_r$ — окруж­ность, радиус кото­рой равен $R\sin α$ (где $α$ — угол между осью и обра­зующими конуса, кото­рый полу­ча­ется, если про­ве­сти ради­усы к точ­кам на парал­лели $Z_r$).

Длина парал­лели и площадь части сферы, кото­рую она огра­ни­чи­вает, равны $$ \skew4\tilde \ell (r)=2π R \sinα, \qquad \tilde S(r)= 2(1-\cosα) \>π R^2. $$

Пер­вая из формул — про­сто длина окруж­но­сти ради­уса $R\sin α$. Вто­рую формулу можно полу­чить, если вспом­нить, что площадь поверх­но­сти шара равна $4π R^2$, и если решить задачу о том, какую часть поверх­но­сти сферы выре­зает конус с верши­ной в её цен­тре и углом при вершине конуса, рав­ным $2α$.

Углу $α$ можно дать и другое тол­ко­ва­ние: это цен­траль­ный угол в окруж­но­сти ради­уса $R$, опи­рающийся на дугу длины $r$. Сле­до­ва­тельно, по опре­де­ле­нию ради­ан­ной меры $α=\frac{r}{R}$. При малых зна­че­ниях $α$ ($r\ll R$) $$ \sinα≈ α- \frac16α^3, \qquad \cosα≈ 1- \frac12α^2 + \frac{1}{24}α^4. $$

Под­ста­вив эти при­ближён­ные зна­че­ния в формулы для $\skew4\tilde \ell (r)$ и $\tilde S(r)$, полу­чим $$ \skew4\tilde \ell (r) ≈ 2π R {\left(α - \frac{α^3}{6}\right)} =2π r - \frac{π}{3R^2} r^3, \qquad \tilde S(r)≈ π r^2 - \frac{π}{12R^2}r^4. $$

Видно, что $\ell(r) \ne \skew4\tilde \ell (r)$ и $S(r) \ne \tilde S(r)$ даже при малых зна­че­ниях $r$. Поэтому ника­кой сколь угодно малый уча­сток сферы нельзя отоб­ра­зить на плос­кость с сохра­не­нием длин и площа­дей.

При малых зна­че­ниях $r$ в пер­вом при­ближе­нии длины окруж­но­стей и площади кругов совпа­дают с их ана­логами на сфере, а в поправки вхо­дит кри­визна сферы: $$ \skew4\tilde \ell (r) ≈ \ell (r) - \frac{π K}{3} r^3, \qquad \tilde S(r)≈ S(r) - \frac{π K}{12}r^4, $$

где $K=\frac{1}{R^2}$ — гаус­сова кри­визна сферы.

В общем слу­чае гаус­сова кри­визна зави­сит от точки поверх­но­сти. Поверх­но­стями посто­ян­ной кри­визны, напри­мер, являются сферы — для них кри­визна в каж­дой точке равна $\frac1{R^2}$, а также плос­ко­сти — в этом слу­чае кри­визна в каж­дой точке равна нулю.

Ещё одну трак­товку кри­визны даёт срав­не­ние тре­уголь­ни­ков на плос­ко­сти и в сфе­ри­че­ском мире. Напри­мер, отли­чие сферы (как и любой дру­гой «кри­вой поверх­но­сти») от плос­ко­сти про­явится, если срав­нить на этих поверх­но­стях результаты парал­лель­ного пере­носа век­тора вдоль замкну­того пути.

Парал­лель­ный пере­нос век­тора из одной точки в другую вдоль гео­де­зи­че­ской реа­ли­зу­ется семейством век­то­ров, при­ложен­ных ко всем точ­кам отрезка гео­де­зи­че­ской так, что их длины и угол между век­то­рами и гео­де­зи­че­ской сохра­няются. (В началь­ной точке век­тор семейства совпа­дает с дан­ным век­то­ром.)

Для плос­ко­сти это опре­де­ле­ние совпа­дает с обыч­ным «школь­ным» опре­де­ле­нием парал­лель­ного пере­носа. При пере­носе век­тора вдоль сто­рон тре­уголь­ника он перей­дёт сам в себя. Но в искрив­лён­ном про­стран­стве, напри­мер на сфере, это уже не так.

Сфе­ри­че­ским тре­уголь­ни­ком назы­ва­ется фигура, огра­ни­чен­ная дугами трёх больших окруж­но­стей (сто­роны тре­уголь­ника — отрезки гео­де­зи­че­ских, крат­чайшие пути, соеди­няющие вершины). Рас­смот­рим тре­уголь­ник, огра­ни­чен­ный двумя мери­ди­а­нами, выхо­дящими из полюса под углом $α$, и выре­за­емым ими отрез­ком эква­тора. Век­тор (нену­ле­вой), выхо­дящий из полюса вдоль сто­роны тре­уголь­ника, после парал­лель­ного пере­носа вдоль мери­ди­ана в вершину на эква­торе окажется перпен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти эква­тора. При пере­носе вдоль эква­тора в сле­дующую вершину перпен­ди­ку­ляр­ность век­тора эква­то­ри­аль­ной плос­ко­сти сохра­нится, а после парал­лель­ного пере­носа вдоль мери­ди­ана в полюс полу­чим век­тор, направ­лен­ный вдоль этого мери­ди­ана. Полу­чен­ный век­тор отли­ча­ется от исход­ного (они обра­зуют угол $α$), в этом несовпа­де­нии про­яв­ля­ется кри­визна сферы.

Искривлённые миры // Математическая составляющая

В рас­смот­рен­ном тре­уголь­нике сумма углов равна $\frac{π}{2}+\frac{π}{2}+α=π+α$, т. е. больше, чем $π$ (это в ради­ан­ной мере, а в гра­дус­ной полу­ча­ется, что сумма углов больше $180°$). В част­но­сти, эта кон­струкция при $α=\frac{π}{2}$ даёт при­мер тре­уголь­ника на сфере с тремя прямыми углами.

Оттал­ки­ва­ясь от того, что площадь поверх­но­сти сферы ради­уса $R$ равна $4π R^2$, можно найти площадь рас­смот­рен­ного тре­уголь­ника: $S(α)=α R^2$. Гаус­сова кри­визна сферы посто­янна, $K=\frac{1}{R^2}$. С помощью этих соот­ноше­ний для суммы углов этого тре­уголь­ника полу­ча­ется формула $π+α=π+K\>S(α)$, т. е. гаус­сова кри­визна и здесь выступает как мера отли­чия поверх­но­сти от плос­ко­сти. Это част­ный слу­чай формулы Гаусса—Бонне, поз­во­ляющей даже на поверх­но­сти с кри­виз­ной, меняющейся от точки к точке, свя­зать откло­не­ние суммы углов тре­уголь­ника от $π$ с гаус­со­вой кри­виз­ной.

В евкли­до­вой геомет­рии через точку, лежащую вне задан­ной прямой, можно про­ве­сти прямую, парал­лель­ную дан­ной, и при­том только одну. В этом состоит акси­ома о парал­лель­ных прямых (она ещё известна как «пятый посту­лат» Евклида). Отрицать акси­ому Евклида можно двумя спо­со­бами: либо утвер­ждать, что через точку не про­хо­дит ни одна парал­лель­ная прямая, либо — что про­хо­дит несколько парал­лель­ных прямых.

Пер­вый вари­ант реа­ли­зу­ется в сфе­ри­че­ской геомет­рии: ана­логи прямых — большие окруж­но­сти (гео­де­зи­че­ские). Любая пара таких линий пере­се­ка­ется в двух точ­ках, т. е. парал­лель­ных «прямых» нет. Но надо отме­тить, что в сфе­ри­че­ской геомет­рии наруша­ется ещё более важ­ный принцип — един­ствен­ность прямой, про­хо­дящей через две точки. На сфере через диамет­рально про­ти­вопо­лож­ные точки про­хо­дит бес­ко­нечно много «прямых» — больших окруж­но­стей.

Другая форма отказа от посту­лата о парал­лель­ных прямых стала осно­вой геомет­рии, тео­ре­ти­че­ски постро­ен­ной Нико­лаем Ива­но­ви­чем Лоба­чев­ским. (Пер­вые при­меры про­странств, в кото­рых геомет­рия Лоба­чев­ского реа­ли­зу­ется, были най­дены только через сорок лет после пер­вых работ Лоба­чев­ского о «вооб­ража­емой геомет­рии».)

Лоба­чев­ский вывел все ана­ли­ти­че­ские формулы новой тео­рии, осна­стил её вычис­ли­тель­ными инструмен­тами. Ока­за­лось, что если понимать под тре­уголь­ни­ками фигуры, состав­лен­ные из трёх отрез­ков гео­де­зи­че­ских, то воз­ни­кают нетри­ви­аль­ные соот­ноше­ния между дли­нами сто­рон и углами тре­уголь­ни­ков, кото­рых нет в евкли­до­вой геомет­рии. В част­но­сти, сумма углов тре­уголь­ника все­гда меньше, чем $π$ (в сфе­ри­че­ской геомет­рии — больше, чем $π$).

Фран­цуз­ский матема­тик Лежандр, пыта­ясь выве­сти посту­лат о парал­лель­ных из других аксиом Евклида, дока­зал, что если суще­ствует хотя бы один тре­уголь­ник с суммой углов, рав­ной $π$, то посту­лат о парал­лель­ных выпол­ня­ется.

Ана­логи рас­смот­рен­ных на сфере функций $\skew4\tilde \ell (r)$ и $\tilde S(r)$ в геомет­рии Лоба­чев­ского выгля­дят точно так же, как в сфе­ри­че­ской геомет­рии, только вме­сто триго­номет­ри­че­ских функций появ­ляются гипер­бо­ли­че­ские (геомет­рию Лоба­чев­ского часто назы­вают гипер­бо­ли­че­ской). Вид при­ближён­ных формул для $\skew4\tilde \ell (r)$ и $\tilde S(r)$ тоже сохра­ня­ется, надо только учесть, что гаус­сова кри­визна в этой геомет­рии отрица­тель­ная: $K<0$.

Пра­виль­ное обобще­ние кри­визны на многомер­ные про­стран­ства осно­вано на поня­тии парал­лель­ного пере­носа. Мы уже про­де­мон­стри­ро­вали, что на круг­лой (обыч­ной) сфере такой пере­нос век­тора вдоль замкну­того пути, вообще говоря, не пере­во­дит его в себя, а раз­ли­чие двух век­то­ров свя­зано с кри­виз­ной сферы.

В современ­ной физике одно из основ­ных положе­ний состоит в том, что сила тяго­те­ния (при­тяже­ния), физи­че­ское вза­и­мо­действие, по сути есть геомет­ри­че­ская харак­те­ри­стика нашего про­стран­ства — его кри­визна.