Цветовые пространства

То, как чело­век воспри­нимает цвета, изу­чали и поэты, и есте­ство­ис­пыта­тели, и матема­тики (И. Гёте, Т. Юнг, Дж. Макс­велл, Г. Гельмгольц, Г. Грас­сман и др.). В сере­дине XIX века матема­тик Г. Грас­сман, один из созда­те­лей тео­рии век­тор­ных про­странств, пока­зал, что цве­то­вое про­стран­ство (цве­то­вые ощуще­ния чело­века) можно рас­смат­ри­вать как «трёхмер­ное век­тор­ное» про­стран­ство.

Век­тор­ность озна­чает, что вво­дятся пра­вила сложе­ния цве­тов и умноже­ния на числа. Сложе­ние — это смеше­ние цве­тов, умноже­ние на число — изме­не­ние интен­сив­но­сти.

Трёхмер­ность озна­чает, что, выбрав набор из трёх неза­ви­симых цве­тов (т. е. таких, что ни один из них нельзя полу­чить смеше­нием двух других), мы сможем любой раз­ли­чимый гла­зом цвет полу­чить как их ком­би­нацию. Выбран­ные три цвета можно воспри­нимать как базис в цве­то­вом про­стран­стве, а любой цвет — как линей­ную ком­би­нацию базис­ных век­то­ров.

Напри­мер, из зако­нов смеше­ния цве­тов, уста­нов­лен­ных Грас­сма­ном, выте­кает сле­дующее. Пусть $\{A,B,C\}$ — неко­то­рый базис в цве­то­вом про­стран­стве, тогда «коло­рит­ная» опе­рация смеше­ния цве­тов с коор­ди­на­тами $(a_1;b_1;c_1)$ и $(a_2;b_2;c_2)$ сво­дится к сложе­нию век­то­ров — итого­вый результат будет пред­став­лен век­то­ром $(a_1+a_2;b_1+b_2;c_1+c_2)$.

Рас­смот­рим неко­то­рые упо­тре­би­тель­ные модели цве­то­вого про­стран­ства.

В мире компью­тер­ных и планшет­ных экра­нов} — излу­чающих устройств, свет от кото­рых попа­дает на сет­чатку глаза, — для моде­ли­ро­ва­ния воспри­я­тия цве­тов чело­ве­ком обычно исполь­зу­ется модель RGB, пред­ложен­ная в XIX веке физи­ком Дж. Макс­вел­лом. В этой модели в каче­стве трёх базис­ных цве­тов выбраны: крас­ный (Red), зелё­ный (Green) и синий (Blue). Эти цвета неза­ви­симы — ни один из них нельзя полу­чить как ком­би­нацию двух других. С дру­гой сто­роны, большую часть раз­ли­чимых гла­зом цве­тов можно полу­чить как их ком­би­нацию. Таким обра­зом, набор R, G, B можно воспри­нимать как базис в соот­вет­ствующем «цве­то­вом» трёхмер­ном про­стран­стве, кото­рое удобно пред­став­лять в виде еди­нич­ного куба. В этой модели коор­ди­нат­ные оси — базо­вые цвета R, G, B; начало коор­ди­нат совпа­дает с верши­ной куба и сим­во­ли­зи­рует чёр­ный цвет («отклю­чены» все цвета, $\mbox{r}=\mbox{g}=\mbox{b}=0$). А про­ти­вопо­лож­ная вершина куба — «белая» (смешаны все три базис­ных цвета мак­сималь­ной интен­сив­но­сти, $\mbox{r}=\mbox{g}=\mbox{b}=1$).

Цветовые пространства // Математическая составляющая

В цвет­ной полиграфии, в том числе и при печати дан­ной книги, осно­вой явля­ется дру­гой набор базис­ных цве­тов, CMY: голу­бой (Cyan), пурпур­ный (Magenta) и жёл­тый (Yellow). В еди­нич­ном «цве­то­вом» кубе система коор­ди­нат, свя­зан­ная с моде­лью CMY, сле­дующая: начало коор­ди­нат — вершина куба, пред­став­ляющая белый цвет, а коор­ди­нат­ные оси — базо­вые цвета C, M, Y.

Цветовые пространства // Математическая составляющая

Системы коор­ди­нат бази­сов RGB и CMY как бы смот­рят друг на друга.

То, что в двух при­ве­дён­ных ситу­ациях (экраны и книги) исполь­зуются раз­ные модели цве­то­вого про­стран­ства, довольно есте­ственно. Для экрана компью­тера началь­ное (нуле­вое, невозмущён­ное) состо­я­ние харак­те­ри­зу­ется чёр­ным цве­том. Соот­вет­ственно, начало коор­ди­нат модели RGB — чёр­ный угол «цве­то­вого» куба. Для книги, бумаги пер­вич­ное (началь­ное) состо­я­ние зада­ётся белым цве­том (ника­кие краски на лист ещё не нане­сены). Соот­вет­ственно, начало коор­ди­нат модели CMY — белый угол куба.

Вза­им­ное рас­по­ложе­ние осей, пред­став­ляющих раз­ные модели (RGB и CMY), опре­де­ля­ется физи­че­скими сооб­раже­ни­ями и меха­низмом воз­ник­но­ве­ния цве­то­вых ощуще­ний у чело­века. Так, при паде­нии света окрашен­ный лист бумаги поглощает неко­то­рые цвета, и в отражён­ном свете мы видим цвета, допол­ни­тель­ные к нане­сён­ным на лист. Полу­ча­ется, что лист воспри­нима­ется зелё­ным, если он окрашен в цвета, допол­ни­тель­ные к зелё­ному.

Опре­де­ле­ние допол­ни­тель­ных цве­тов, кото­рые надо нано­сить на бумагу, можно про­ве­сти с помощью про­стых формул, свя­зы­вающих коор­ди­наты цвета (т. е. точки цве­то­вого куба) в системах RGB и CMY: цвета $(\mbox{r};\mbox{g};\mbox{b})$ и $(\mbox{c}; \mbox{m}; \mbox{y})$ совпа­дают, если $$ \mbox{c}=1-\mbox{r},\quad \mbox{m}=1-\mbox{g},\quad \mbox{y}=1-\mbox{b}. $$

Эти формулы дают ответ на вопрос: как подо­брать краску $(\mbox{c}; \mbox{m}; \mbox{y})$, чтобы зали­тая ею область воспри­нима­лась как область цвета $(\mbox{r};\mbox{g};\mbox{b})$.

Напри­мер, чтобы область листа каза­лось крас­ной, $(\mbox{r}; \mbox{g}; \mbox{b})=(1; 0; 0)$, её надо залить крас­кой $(\mbox{c}; \mbox{m}; \mbox{y})=(0; 1; 1)$, т. е. смешать краски M и Y, не добав­ляя С.

Разуме­ется, при­ве­дён­ные формулы можно читать и «справа налево»: $$ \mbox{r}=1-\mbox{c},\quad \mbox{g}=1-\mbox{m},\quad \mbox{b}=1-\mbox{y}. $$

В этих форму­лах опи­сано цве­то­вое впе­чат­ле­ние, кото­рое сложится, если закра­сить область крас­кой $(\mbox{c};\mbox{m};\mbox{y})$.

Для полу­че­ния чёр­ного цвета в модели CMY надо смешать три базис­ные краски мак­сималь­ной интен­сив­но­сти: $(\mbox{c}; \mbox{m}; \mbox{y})=(1; 1; 1)$. Однако полиграфи­че­ски результат такой опе­рации не очень хорош: есть тех­но­логи­че­ские про­блемы, да и при печати тек­ста видно, говоря сло­вами Ильфа и Пет­рова, что полу­ча­ется не «ради­кально-чёр­ный цвет». Поэтому к базису добав­ляют ещё один цвет (обо­зна­ча­емый бук­вой K), обычно чёр­ный, пред­на­зна­чен­ный, в первую оче­редь, для печати тек­ста. Такая модель назы­ва­ется CMYK. (И в этой ста­тье в даль­нейшем при­мем за K чёр­ный цвет.)

При четырёх компо­нен­тах CMYK теря­ется одно­знач­ность пред­став­ле­ния цве­тов. Напри­мер, и доля чёр­ного $(0; 0; 0; 0{,}2)$, и смеше­ние трёх компо­нент $(0{,}2; 0{,}2; 0{,}2; 0)$ соот­вет­ствуют одному и тому же серому цвету.

Типограф­ские машины нано­сят краску мел­кими точ­ками, кото­рые на каж­дой (по компо­нен­там CMYK) печат­ной форме рас­пре­де­ляются с перемен­ной плот­но­стью (сами краски по интен­сив­но­сти оди­на­ко­вые), что и при­во­дит к меняющейся от обла­сти к обла­сти интен­сив­но­сти цвета. Заме­тим, что при такой тех­нике печати воз­ни­кает про­блема муара — «неза­пла­ни­ро­ван­ного» геомет­ри­че­ского узора, воз­ни­кающего из‐за регу­ляр­но­сти, пра­виль­но­сти решё­ток. При­ме­ня­емое на прак­тике реше­ние этой про­блемы — чисто геомет­ри­че­ское: муар будет не так заме­тен, если решётки форм повёр­нуты отно­си­тельно друг друга.

Для выде­лен­ной обла­сти у каж­дой печат­ной формы — своя циф­ро­вая инструкция, число от 0 до 1: 0 озна­чает, что в область точки дан­ного базис­ного цвета ста­вить не надо, 1 — точки ста­вятся с мак­сималь­ной плот­но­стью (пол­ная заливка), а промежу­точ­ные зна­че­ния от 0 до 1 опре­де­ляют плот­ность рав­но­мер­ного рас­пре­де­ле­ния окрашен­ных точек в обла­сти (отноше­ние площади закрашен­ной части обла­сти к пол­ной). Напри­мер, лист розо­вого цвета (как оттенка крас­ного) закрашен редко рас­став­лен­ными точ­ками кра­сок M и Y.

Под­черк­нём, что коор­ди­наты цвета в ука­зан­ных бази­сах дают возмож­ность назы­вать цвета не огра­ни­чен­ным набо­ром слов, а точно, набо­рами чисел. По коор­ди­на­там можно вычис­лить и ещё одну важ­ную для воспри­я­тия цвета харак­те­ри­стику — свет­лоту. Свет­лота пока­зы­вает, насколько цвет «раз­бав­лен белым», «бли­зок» к нему. Базис­ные цвета модели RGB чело­век ощущает как цвета раз­лич­ной свет­лоты. Если при­нять свет­лоту чёр­ного за 0, а белого — за 1, то эмпи­ри­че­ски уста­нов­лено, что в базисе RGB свет­лота цвета $(1; 0; 0)$ равна $0{,}299$, цвета $(0; 1; 0)$ — $0{,}587$, цвета $(0; 0; 1)$ — $0{,}114$. Век­тор­ность цве­то­вого про­стран­ства — возмож­ность умножать на числа и скла­ды­вать — поз­во­ляет запи­сать формулу для свет­лоты цвета $(\mbox{r}; \mbox{g}; \mbox{b})$, «арифме­ти­че­ски» опи­сы­вающую чело­ве­че­ские ощуще­ния: $$ \mbox{L}=0{,}299\mbox{r}+0{,}587 \mbox{g} +0{,}114 \mbox{b}. $$

Заме­тим, что зна­че­ния чис­ло­вых коэффици­ен­тов в этой формуле согла­суются с тем, что три базис­ных цвета мак­сималь­ной интен­сив­но­сти $\mbox{r}=\mbox{g}=\mbox{b}=1$ дают белый цвет.

В цве­то­вом кубе урав­не­ние $\mbox{L}=\mbox{const}$ задаёт плос­кость, все точки кото­рой, при выпол­не­нии стан­дарт­ной для графи­че­ского редак­тора опе­рации пере­вода в серую шкалу (Grayscale), пере­хо­дят в одну точку — точку пере­се­че­ния этой плос­ко­сти с диаго­на­лью «чёр­ный—белый». Таким обра­зом, цве­то­вой куб рас­сла­и­ва­ется на плос­ко­сти оди­на­ко­вой свет­лоты.

Базис­ные цвета модели CMY чело­ве­ком также воспри­нимаются как цвета раз­лич­ной свет­лоты (на рисунке пред­став­лены гори­зон­таль­ными полос­ками). Формулы, свя­зы­вающие коор­ди­наты цвета в бази­сах RGB и CMY, дают ана­логич­ную формулу для свет­лоты при раз­ложе­нии по вто­рому базису.

Цветовые пространства // Математическая составляющая

Свет­лоту чита­тель может пред­став­лять как вели­чину, обратно про­порци­о­наль­ную коли­че­ству тонера, рас­хо­ду­емого чёрно-белым копи­ро­валь­ным устройством при пере­даче неко­то­рой площади дан­ного цвета. На рисунке левая вер­ти­каль­ная полоса в системе CMY имеет коор­ди­наты $(0; 0{,}5; 1)$, пра­вая — $(0{,}38; 0{,}5; 0)$. Зна­че­ния свет­лоты $\mbox{L}$ для обеих полос совпа­дают, и их копии, сде­лан­ные на чёрно-белом копире, отли­чаться не будут.

Модели RGB и CMYK — кано­ни­че­ские. Конечно, есть и другие модели, напри­мер, у диза­й­не­ров попу­лярны системы, в кото­рых свет­лота ста­но­вится одной из базис­ных коор­ди­нат (Lab, HSB). Ситу­ацию можно срав­нить с опи­са­нием объек­тов трёхмер­ного про­стран­ства — можно исполь­зо­вать декар­товы коор­ди­наты (RGB, CMY), а можно — сфе­ри­че­ские (Lab, HSB).

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

На каж­дую из четырёх одно­цвет­ных печат­ных форм краска нано­сится по узлам оди­на­ко­вых решё­ток, чаще — тре­уголь­ных. Если бы решётки были совершенно оди­на­ково рас­по­ложены, то и печать была бы совершен­ной. Но небольшие смеще­ния, в част­но­сти пово­роты, на прак­тике неиз­бежны.

Именно регу­ляр­ность, пра­виль­ность решё­ток при­во­дит к появ­ле­нию муара — посто­рон­него геомет­ри­че­ского узора. При­чина — пово­рот мат­риц друг отно­си­тельно друга. Пара­докс в том, что самый силь­ный муар наблю­да­ется при малых угло­вых смеще­ниях, а при зна­чи­тель­ных — муа­ро­вый узор настолько мел­кий, что неза­ме­тен.

Цветовые пространства // Математическая составляющая

Если угол пово­рота двух решё­ток меньше $3°$, то послед­ствия фатальны. Динамику изме­не­ния муара вплоть до исчез­но­ве­ния можно оце­нить, срав­ни­вая результаты при пово­роте одной из двух форм на 5, 10, 20 и 30 гра­ду­сов.

Пред­ва­ри­тель­ный пово­рот самих решё­ток на формах на доста­точно большой угол справ­ля­ется с замет­ным муа­ром. Но пери­о­дич­ность решё­ток вно­сит огра­ни­че­ния на вели­чину этого угла: напри­мер, тре­уголь­ная решётка при пово­роте на $60°$ пере­хо­дит в себя. В этом слу­чае при четырёх­кра­соч­ной печати — четырьмя формами — угол пово­рота не может пре­вышать $15°$.

Лите­ра­тура

Брэгг У. Мир света. Мир звука. — М.: Наука, 1967.

Ивенс Р. М. Вве­де­ние в тео­рию цвета. — М.: Мир, 1964.

Джадд Д., Вышецки Г. Цвет в науке и тех­нике. — М.: Мир, 1978.

Гуре­вич М. М. Цвет и его изме­ре­ние. — М.—Л.: Изд‐во АН СССР, 1950.

Мин­нарт М. Свет и цвет в при­роде. — М.: ГИФМЛ, 1958.