Cтр. 46

Параболическая антенна
Поделиться

Работа спутниковых антенн, в частности тех, которые принимают телевизионный сигнал, основана на оптическом свойстве параболы.

Парабола — это геометрическое место точек, равноудалённых от прямой (называемой директрисой) и от не лежащей на директрисе точки (называемой фокусом). Из приведённого определения параболы несложно получить «школьное»: парабола — это график квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ (в частности, $y=x^2$).

Сформулируем упомянутое оптическое свойство параболы. Если в фокусе параболы поместить точечный источник света (лампочку) и включить его, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно оси симметрии параболы, причём передний фронт будет перпендикулярен оси.

Верно и обратное — если на параболу падает поток лучей, параллельных оси симметрии, то, отразившись от параболы, лучи придут в фокус; причём придут одновременно, если передний фронт потока лучей перпендикулярен оси.

При вращении параболы вокруг её оси симметрии получается параболоид вращения — поверхность второго порядка.

При любом сечении параболоида плоскостями, проходящими через ось симметрии, получаются равные параболы с общим фокусом, поэтому параболоид тоже обладает оптическим свойством. Если поместить излучатель в фокус, то лучи, отразившись от поверхности, пойдут параллельно оси вращения. А если на параболоид падают лучи, параллельные его оси, то после отражения все они собираются в фокусе.

Оптическое свойство — принципиальная основа параболических антенн.

Антенны могут вращаться, пример — параболические антенны в аэропортах, по форме являющиеся «ломтиками» огромных параболоидов; они и передают, и принимают сигнал. Антенны могут быть неподвижными. К последнему типу относятся бытовые спутниковые телевизионные антенны («тарелки»): их нацеливают на спутник‐ретранслятор, находящийся высоко над Землёй на геостационарной орбите, после чего их положение фиксируется. Поскольку спутник находится далеко от поверхности, приходящие от него лучи в точке приёма антенной можно считать параллельными. В фокусе спутниковой антенны находится приёмник, от которого сигнал по кабелю отправляется к телевизору.

Эта же идея применяется при создании прожекторов железнодорожных локомотивов, фар автомобилей, её можно использовать даже для приготовления еды в полевых условиях.

Оптическое свойство параболы «знает» и мир живой природы. Например, некоторые северные цветы, живущие в условиях короткого лета и недостатка солнечных лучей, раскрывают лепестки в форме параболоида, чтобы «сердцу» цветка было теплее.

Дополнения, комментарии

 Древние греки занимались изучением эллипса, гиперболы и параболы, рассматривая их как конические сечения. Аполлоний (262 до н. э. — 190 до н. э., родом из Перги, но работавший в Александрии, современник Архимеда) написал труд «Конические сечения» в восьми книгах, половина из которых дошла до наших дней только в средневековых арабских переводах.

Аполлоний рассматривал фокусы эллипса и гиперболы, хотя у него и не было специального термина для этих точек, знал их свойства, включая оптические.

Диокл, младший современник Аполлония, в сочинении «О зажигательных зеркалах» приводит оптическое свойство параболы, видимо, основываясь на результатах учёных круга Архимеда. Это сочинение также сохранилось лишь благодаря арабским переводам, в которых параболоид вращения назывался «зажигательным зеркалом», а фокус параболы — «местом зажигания».

При издании латинских переводов арабских математических текстов «место зажигания» не могло не превратиться в латинское focus — «очаг, огонь». Как термин «фокус» был введён Иоганном Кеплером в сочинении «Оптическая часть астрономии» («Astronomiae pars optica», 1604), причём не только для параболы, но и для эллипса и гиперболы.

 Оптическое свойство параболы предстанет как экспериментальный факт, если изготовить параболический бильярд.

В этой модели изогнутый бортик представляет параболу, на сукне отмечен фокус — точка, в которую надо поставить шарик‐мишень. Основной шарик будет скатываться с подвижной горки, которую всегда размещают так, чтобы направление скатывающегося шарика было параллельно оси параболы (например, можно сдвигать горку вдоль прямой стенки бильярда, расположенной перпендикулярно оси параболы). Шарик, скатываясь с горки, после отражения от бортика всегда будет попадать в шарик, размещённый в фокусе параболы!

При самостоятельном изготовлении модели следует учесть, что бортик — это эквидистанта параболы, её сдвиг в каждой точке по нормали к параболе на расстояние, равное радиусу шарика (в идеальной геометрической модели от параболы отражается центр шарика, точка). Радиус шарика должен быть не слишком мал, чтобы сглаживать возможные погрешности.

Качество изготовленной модели можно оценить, если провести эксперимент, убрав шарик‐мишень. Скатывающийся с горки шарик после первого отражения от бортика должен пройти через отмеченный фокус, а после второго — покатиться параллельно оси параболы.

 Геометрическое определение позволяет нарисовать параболу с данным фокусом и данной директрисой.

Вдоль директрисы положим линейку, в фокусе кнопкой закрепим конец нити. Второй конец нити закрепляется в вершине угольника, катет которого приложен к линейке. Если прижать нить ко второму катету карандашом, сохраняя её натянутой при скольжении угольника вдоль линейки, то проведённая линия будет параболой.

Устройства, вычерчивающие параболы, называются параболографами. Изящную конструкцию придумал в XVII веке итальянский математик Бонавентура Кавальери (известный как предшественник создателей интегрального исчисления).

Устройство состоит из трёх связанных деталей: неподвижной относительно листа линейки (горизонталь) и двух жёстких прямых углов. У первого угла горизонтальная сторона скользит вдоль линейки, а по его вертикальной стороне скользит вершина (с грифелем) второго угла. При этом в каждый момент времени стороны второго угла проходят через штифты: один закреплён на неподвижной линейке, а другой — на горизонтальной стороне подвижного угла.

То, что линия, проведённая грифелем, будет параболой, следует из известного свойства прямоугольного треугольника: квадрат длины высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению длин отрезков, на которые её делит высота. Параметр параболы регулируется перемещением штифта на горизонтальной стороне первого угла.

 Параболу можно «изготовить», проведя серию опытов с бумажным листом — в результате вы получите не нарисованную, но «видимую» линию, которой касаются многочисленные прямые.

На листе бумаги нарисуйте прямую и отметьте точку, не лежащую на этой прямой (фокус будущей параболы). Через выбранную точку на прямой проведите перпендикуляр к отрезку, соединяющему эту точку с отмеченной. Перпендикуляр можно даже не проводить карандашом, а определить на глаз и перегнуть по нему лист бумаги. Проделав процедуру для нескольких точек на прямой, вы увидите параболу, как границу области, «окружённой» линиями сгиба.

Как огибающую семейства линий (см. Болтянский В. Г. «Огибающая») можно получить и другие конические сечения (см. комментарий к статье «Шуховские башни»), только вместо начальной прямой нужно взять окружность. Если точка (фокус) внутри окружности, то получится эллипс (см. «Дробление камней в почках»); если снаружи — гипербола (см. «Шуховские башни»).

 Все конические сечения (эллипс, параболу, гиперболу) можно получить в виде муара — дополнительного геометрического узора, образующегося при наложении двух изображений.

Возьмите «прозрачку» и на принтере напечатайте прямолинейные полоски на фиксированном расстоянии между соседними. На другом листе напечатайте круговые полоски (концентрические окружности) той же ширины и с тем же расстоянием между соседними.

Если наложить эти листы друг на друга так, чтобы одна из прямых проходила через центр окружностей, то вы увидите семейство парабол. А если наложить две одинаковые «круговые» прозрачки так, чтобы расстояние между центрами кругов было кратно расстоянию между окружностями, то можно увидеть эллипсы и пересекающие их гиперболы.

 Читатель мог встречать впечатляющую игрушку: на крышке «летающей тарелки» вы видите объект, осязаемо‐объёмный, пытаетесь его взять, и… пальцы встречают пустоту. Это иллюзорный объект, а его «появление» — результат оптического свойства параболы.

Игрушка состоит из двух соосных параболоидов вращения, чаши которых обращены друг к другу, шапочка верхней чаши срезана. На нижней чаше, в фокусе верхнего параболоида находится объект; после отражений в зеркальных стенках параболоидов в фокусе нижнего формируется изображение.

 Исаак Ньютон заметил, что при вращении цилиндрического сосуда поверхность налитой в него жидкости принимает форму параболоида, и объяснил это явление с помощью найденных им самим законов.

В наше время этот эффект используют при изготовлении больших параболических зеркал для телескопов — этот способ быстрее и дешевле, чем классическая шлифовка. А иногда создают и «временные» телескопы с жидким зеркалом: сосуд с ртутью вращают только во время проведения наблюдений.

 «Параболическими» являются такие альпийские и арктические цветы, как прострел альпийский, беквичия ледниковая, полярный мак. Благодаря оптическому свойству параболы у таких цветов ускоряется созревание семян. Ещё одно полезное для цветов следствие их параболичности — привлечение насекомых, которые любят «понежиться» в чаше цветка, а это влияет на опыление.

 Если на параболе $y=x^2$ по разные стороны от оси $Oy$ взять точки $(-a; a^2)$ и $(b; b^2)$, то соединяющий их отрезок пересечёт ось $Oy$ в точке $(0; ab)$. Первым это отметил Август Мёбиус, имя которого носит знаменитая односторонняя лента.

Можно взглянуть на этот факт и с другой стороны: через точку $(0;N)$, где $N=ab$ — составное число, проходит хорда параболы описанного вида ($a$ и $b$ — натуральные числа, отличные от 1). А через точку вида $(0;p)$, где $p$ — простое число, не проходит ни одна подобная хорда.

Это замечание можно превратить в алгоритм, позволяющий найти все простые числа до некоторого $n$: «параболическое решето», отсеивающее все составные числа.

Литература

Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые. — 2‐е изд. — М.: Наука, 1978. — [Ко 2‐му изданию книга была значительно переработана и дополнена, с тех пор переиздавалась несколько раз].

Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — (Популярные лекции по математике; Вып. 4).

Савин А. Морские границы // Журнал «Квант». 1994. № 4. Стр. 32—33.

Розенфельд Б. А. Аполлоний Пергский. — М.: МЦНМО, 2004.

Moore P. D. Tundra. — N.Y.: Facts on File, 2008. — [Информация о северных цветах].

Параболическая антенна // Математические этюды.

Конические сечения: парабола // Математические этюды.

 
  • © 2015—2020 Авторы статей
  • © 2015—2020 Фонд «Математические этюды»
  • © 2015—2020 Математический институт им. В. А. Стеклова РАН