‍Оптимальное управление

Чело­веку свойственно стрем­ле­ние к совершен­ству. В матема­тике оно про­яв­ля­ется в поиске наи­лучших (оптималь­ных) реше­ний, вклю­чая все задачи на мак­симум и минимум. К тео­рии оптималь­ного управ­ле­ния отно­сятся те из них, где реше­ние имеет неко­то­рую про­тяжен­ность во времени или в про­стран­стве. Под­хо­дящий образ — про­кла­ды­ва­ние наи­лучшего пути при движе­нии по сильно пере­се­чён­ной мест­но­сти.

Вообще, матема­тики, как и все люди, очень любят зри­тель­ные образы, но в действи­тель­но­сти речь идёт о любой системе, кото­рую можно непре­рывно менять в опре­де­лён­ных пре­де­лах, как мы меняем направ­ле­ние движе­ния при про­кла­ды­ва­нии пути. Другие под­хо­дящие при­меры: управ­ле­ние автомо­би­лем, лета­тель­ным аппа­ра­том, тех­но­логи­че­ским процес­сом, своим телом, в конце концов.

Тре­бу­ется наи­лучшим обра­зом пере­ве­сти систему из задан­ного состо­я­ния в жела­емое: как можно быст­рее, или наи­бо­лее эко­ном­ным обра­зом, или с наи­большей выго­дой, или в соот­вет­ствии с каким‐то более слож­ным кри­те­рием; мы сами решаем, что важ­нее. Если мгно­вен­ная реакция системы на наши действия хорошо известна, то тео­рия оптималь­ного управ­ле­ния при­звана помочь нам найти наи­лучшую долго­времен­ную стра­тегию. Вот про­стой при­мер: нужно как можно быст­рее оста­но­вить коле­ба­ния (скажем, оста­но­вить «качели»), при­кла­ды­вая свою неве­ли­кую силу то с одной сто­роны, то с дру­гой. Пере­хо­дить с одной сто­роны на другую при­дётся много­кратно. По какому пра­вилу это делать? Понятно, что «качели» могут быть и финан­со­выми, и эко­номи­че­скими, и физико-тех­ни­че­скими…

Стоит заме­тить, что такой оче­видно при­клад­ной пред­мет, как тео­рия оптималь­ного управ­ле­ния, был создан в Матема­ти­че­ском инсти­туте имени Стек­лова чистыми матема­ти­ками, Львом Семё­но­ви­чем Понт­ряги­ным и его уче­ни­ками, про­фес­си­о­наль­ными топо­логами. Пер­вые впе­чат­ляющие при­ме­не­ния этой тео­рии, при­несшие ей славу, отно­сятся к совет­ской кос­ми­че­ской программе и аме­ри­кан­ской программе «Апол­лон». В этих программах всё дела­лось на пре­деле возмож­но­стей, и без умной опти­ми­за­ции было не спра­виться. Среди попу­ляр­ных тогда задач можно отме­тить наи­бо­лее эко­ном­ный пере­вод кос­ми­че­ского аппа­рата с одной эллип­ти­че­ской орбиты на другую и мяг­кое при­лу­не­ние. Глав­ное достиже­ние того пери­ода — принцип мак­симума Понт­рягина — мощ­ное уни­вер­саль­ное сред­ство, поз­во­ляющее отобрать доста­точно узкий класс управ­ляющих стра­тегий, среди кото­рых только и может быть оптималь­ная.

Принцип мак­симума Понт­рягина осо­бенно хорош в при­ме­не­нии к про­стым «линей­ным» моде­лям, но теряет свою эффек­тив­ность и должен быть допол­нен другими сред­ствами при иссле­до­ва­нии систем с более слож­ной нели­ней­ной струк­ту­рой. Вер­нёмся к при­меру с каче­лями. Если ампли­туда коле­ба­ний небольшая, то система почти линейна и период коле­ба­ний почти не зави­сит от ампли­туды. Принцип мак­симума даёт про­стой и одно­знач­ный закон оптималь­ного пове­де­ния для линей­ного при­ближе­ния: надо пере­хо­дить с одной сто­роны на другую ровно через полпе­ри­ода и вся­кий раз при­ме­нять мак­симально возмож­ную силу. В то же время при большой ампли­туде, когда система суще­ственно нели­нейна, рекомен­дации принципа мак­симума сильно услож­няются и пере­стают быть одно­знач­ными.

Новые пра­вила оптималь­ного пове­де­ния, допол­няющие принцип мак­симума, даёт активно раз­ви­ва­емая в насто­ящее время геомет­ри­че­ская тео­рия управ­ле­ния. Дело в том, что современ­ная геомет­рия поз­во­ляет очень сильно расши­рять возмож­но­сти управ­ле­ния, играя поряд­ком и дли­тель­но­стью при­ме­не­ния нескольких про­стых манёв­ров, отби­рая оптималь­ные «гар­мо­нич­ные» соче­та­ния манёв­ров, результат каж­дого из кото­рых хорошо изве­стен и вполне бана­лен. Похоже на то, как из нескольких нот состав­ля­ется сим­фо­ния, только в матема­тике всё точ­нее, строже и симмет­рич­ней, хотя и не столь эмоци­о­нально.

Геомет­ри­че­ская тео­рия управ­ле­ния при­ме­ня­ется в кос­ми­че­ской навигации, робо­то­тех­нике и многих других обла­стях, но наи­бо­лее попу­ляр­ные современ­ные при­ложе­ния отно­сятся, пожа­луй, к кван­то­вым системам (от медицин­ских аппа­ра­тов ядер­ного маг­нит­ного резо­нанса до хими­че­ских манипу­ляций с отдель­ными моле­ку­лами). Оба­я­ние геомет­ри­че­ской тео­рии управ­ле­ния состоит, среди про­чего, в ред­кой возмож­но­сти мате­ри­а­ли­зо­вать, уви­деть и «пощупать» кра­си­вые и глу­бо­кие абстракт­ные матема­ти­че­ские концепции, ну и, конечно, созда­вать новые!