Резьбовые соединения

Лёг­кость, с кото­рой гайка накру­чи­ва­ется на болт с такой же резь­бой, под­ска­зы­вает, что резьба эта оди­на­кова по всей длине болта и глу­бине гайки, а матема­ти­че­ская суть устройства — исполь­зо­ва­ние кри­вой, кото­рая может сколь­зить сама по себе. Эта заме­ча­тель­ная кри­вая назы­ва­ется вин­то­вой линией. Можно счи­тать, что на внут­рен­ней поверх­но­сти гайки «про­ложена лыжня» в виде вин­то­вой линии, и по нака­тан­ному пути сколь­зит выступающая часть винта, имеющая форму такой же линии.

Формально вин­то­вой линией (цилин­дри­че­ской) назы­ва­ется линия, опи­сы­ва­емая точ­кой, кото­рая враща­ется с посто­ян­ной угло­вой ско­ро­стью вокруг непо­движ­ной оси и одно­временно перемеща­ется вдоль этой оси с посто­ян­ной ско­ро­стью.

Нагляд­ное пред­став­ле­ние о вин­то­вой линии можно полу­чить, намо­тав на цилиндр прямо­уголь­ный про­зрач­ный лист с про­ве­дён­ной диаго­на­лью.

Резьбовые соединения // Математическая составляющая

У хороших (доста­точно глад­ких) кри­вых в трёхмер­ном про­стран­стве есть две базо­вые харак­те­ри­стики — кри­визна и кру­че­ние. Кри­визна — это локаль­ная «ско­рость» искрив­ле­ния линии (опре­де­ля­ется ради­у­сом окруж­но­сти, дуга кото­рой наи­лучшим обра­зом при­ближает небольшой отре­зок кри­вой, содержащий дан­ную точку). Кру­че­ние — «ско­рость», с кото­рой кри­вая стремится не быть плос­кой: небольшой отре­зок кри­вой в пер­вом при­ближе­нии «лежит» в неко­то­рой плос­ко­сти, а вот то, насколько он «хочет» поки­нуть эту плос­кость, и сообщает кру­че­ние. Заме­ча­тельно, что для доста­точно глад­ких кри­вых кри­визна и кру­че­ние пол­но­стью опре­де­ляют форму линии.

У вин­то­вой линии кри­визна и кру­че­ние посто­янны, вслед­ствие этого её «устройство» всюду одно и то же. Именно поэтому отре­зок вин­то­вой линии может сколь­зить вдоль неё самой.

А поскольку посто­ян­ство кри­визны и кру­че­ния одно­значно опре­де­ляет кри­вую, то вин­то­вая линия — един­ствен­ная кри­вая, кото­рая может сколь­зить сама по себе. И при реше­нии инже­нер­ных задач, в кото­рых нали­чие такого свойства жела­тельно или даже необ­хо­димо, без вин­то­вых линий не обойтись.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Парамет­ри­че­ские урав­не­ния вин­то­вой линии — это удоб­ные тех­ни­че­ски и нагляд­ные формулы. Если взять прямой круго­вой цилиндр, задан­ный в прямо­уголь­ной декар­то­вой системе коор­ди­нат урав­не­нием $x^2+y^2=a^2$, то можно про­ве­рить, что урав­не­ния $$ x=a\cos t, \quad y=a\sin t, \quad z=ht $$

будут зада­вать вин­то­вую линию. Действи­тельно, эта линия будет лежать на поверх­но­сти цилин­дра, так как $$x^2+y^2=(a\cos t)^2 + (a\sin t)^2 = a^2.$$

Про­екция точки $(a\cos t; a\sin t; ht)$ на плос­кость $Oxy$ имеет коор­ди­наты $(a\cos t; a\sin t; 0)$. Это озна­чает, что про­екция «бежит» по окруж­но­сти, $t$ можно счи­тать углом пово­рота век­тора $(x;y)$ вокруг точки $O$, ско­рость этого враще­ния посто­янна. Формула $z=ht$ «сообщает», что и движе­ние вдоль оси $Oz$ про­ис­хо­дит с посто­ян­ной ско­ро­стью.

Резьбовые соединения // Математическая составляющая

Обра­тите внима­ние на то, что в урав­не­нии цилин­дра отсут­ствует перемен­ная $z$, благо­даря этому окруж­ность $x^2+y^2=a^2$ из плос­ко­сти $Oxy$ сколь­зит по «бес­ко­неч­ному лифту» вдоль оси $Oz$.

Для вин­то­вой линии можно дать экви­ва­лент­ное геомет­ри­че­ское опре­де­ле­ние: это линия на поверх­но­сти цилин­дра, кото­рая пере­се­кает все обра­зующие цилин­дра под рав­ными углами.

Прямую и окруж­ность можно рас­смат­ри­вать как вырож­ден­ные, пре­дель­ные слу­чаи вин­то­вой линии, что сле­дует и из опре­де­ле­ний вин­то­вой линии, и из её урав­не­ний. Как и в «общем» слу­чае, отре­зок может сколь­зить по прямой, а дуга — по своей окруж­но­сти. Это давно знают оружей­ники: кли­нок и ножны в плос­ком слу­чае могут быть только двух видов — или прямо­ли­ней­ными, или дугами одной окруж­но­сти.

Пред­став­ле­ние о вин­то­вой линии как о диаго­нали прямо­уголь­ной плёнки, намо­тан­ной на цилиндр, при­во­дит к инте­рес­ным прак­ти­че­ским выво­дам. Напри­мер, крат­чайшая линия, соеди­няющая две точки на поверх­но­сти цилин­дра, — дуга вин­то­вой линии. В пре­дель­ных слу­чаях это отре­зок обра­зующей (если точки лежат на одной обра­зующей) или дуга окруж­но­сти (если точки лежат на одной окруж­но­сти).

Лите­ра­тура

Люстер­ник Л. А. Крат­чайшие линии. — М.: ГИТТЛ, 1955. — (Попу­ляр­ные лекции по матема­тике; Вып. 19).