Теоретическая физика всегда рассматривалась в некотором смысле как математика реального мира, как основной источник математических идей начиная с XVII века, как основная движущая сила для 90% математиков и основная связующая нить между математикой и остальными естественными науками.
В XX веке теоретическая физика достигла своего наивысшего расцвета, она стала главной точной наукой. Великие лидеры теоретической физики были способны использовать, а иногда и создавать очень глубокие абстрактные математические теории, когда это было нужно для исследования реальности. Язык математики и техника теоретической физики были специально разработаны как наилучшие математические инструменты для исследования проблем реального мира. Были открыты новые законы природы, в наши дни на их основе разработаны новые технологии невероятной практической эффективности, и это навсегда изменило наш мир.
На протяжении нескольких столетий задача решения (интегрирования) дифференциальных уравнений, описывающих явления природы, была центральной во взаимодействии физики и математики.
Всем известно, какую роль сыграла решённая Ньютоном знаменитая проблема двух тел в развитии математических методов физики. В течение долгого времени после этого нахождение точного аналитического решения дифференциальных уравнений оставалось основным инструментом математической физики: если задача была или выглядела слишком трудной, то надо было её упростить, а затем искать точное решение.
Много усилий было потрачено на поиск специальных «интегрируемых случаев» таких знаменитых задач, как, например, задача о движении волчка. Ради этого в XIX веке открывали и разрабатывали все математические методы, включая степенные и тригонометрические ряды, интегральное преобразование Фурье—Лапласа, комплексный анализ, соображения симметрии. Иногда эти методы приводили к замечательным отрицательным результатам — доказательствам того, что та или иная модель неразрешима в принципе.
В XIX веке были открыты некоторые странные интегрируемые случаи, в которых никакой очевидной симметрии не просматривалось: интегрируемость геодезического потока на двумерных эллипсоидах в трёхмерном евклидовом пространстве (Якоби), движение волчка со специальными параметрами в постоянном поле сил тяжести (Ковалевская) и некоторые другие. Какая же скрытая симметрия стоит за всем этим? Ответ был неясен до появления теории солитонов.
Солитоны (или уединённые волны) на воде были известны ещё в XIX веке, но с появлением первых компьютеров в 1960‐х годах стали возможны численные эксперименты, показавшие новые замечательные свойства этих нелинейных волн. Их математическое объяснение привело к созданию теории интегрируемых солитонных моделей, связавшей различные разделы математики и физики. В этом ряду: нелинейные волны в сплошной среде (включая теорию плазмы и нелинейную оптику); квантовая теория, теория рассеяния и периодические кристаллы; гамильтонова динамика; алгебраическая геометрия римановых поверхностей и абелевых многообразий (тета-функции).
Выдвину следующий тезис: значительная часть наиболее важных открытий в математике и математической физике была сделана в процессе развития теории интегрируемых моделей.
В 70‐е годы XX века в сотрудничестве математиков и физиков произошли важные сдвиги. Например, с помощью результатов топологии были объяснены важные экспериментальные наблюдения, ждавшие этого в течение полувека. В начале 80‐х физики были единодушны в том отношении, что главное, что физики взяли из математики за последние 10 лет, — это топология.
В то же время в топологии начали применять открытия, сделанные физиками. Напомним, что из теории автодуального уравнения Янга—Миллса выросла теория инстантонов с её замечательными приложениями к четырёхмерной топологии. Теория уравнения Янга—Бакстера привела к теории полиномов Джонса в теории узлов. Знаменитые двумерные конформные теории поля дали множество интегрируемых моделей, также представляющих собой новые алгебраические объекты, имеющие глубокие связи с теорией солитонов и квантовыми группами.
В последнее десятилетие, уже в XXI веке, математические идеи, пришедшие от теоретических физиков, оказали большое влияние на развитие алгебраической геометрии. Взаимодействие математики и теоретической физики не прекратилось, достижения каждой из этих наук обогащают и другую.
В заключение хочу обратиться с пожеланием к молодым математикам: расширяйте спектр посещаемых научных семинаров и по математике, и по физике. Набирайтесь понимания, которое проявится, пусть и со временем.
