«Растёт в геометрической прогрессии» — это выражение часто можно услышать от телеведущих и экспертов, его можно встретить на страницах газет, в книгах по естествознанию, в условиях экзаменационных задач. А что оно означает?
Последовательность чисел $\{b_1, b_2, b_3, …\}$, в которой каждое число $b_n$ переходит в соседа справа $b_{n+1}$ по правилу $b_{n+1}=b_n q$, называется геометрической прогрессией. Прогрессия определяется двумя параметрами: числом $b_1$, которое называется первым членом геометрической прогрессии, и постоянной $q$ — её знаменателем. На практике важно, что общий член прогрессии $b_n$ можно найти напрямую по формуле $b_n=b_1q^{n-1}$, а не по цепочке последовательных вычислений $b_2=b_1q$, $b_3=b_2q$, …, $b_n=b_{n-1}q$. Прогрессия называется возрастающей, если $q>1$; убывающей, если $0<q<1$.
Познакомимся с примерами, в которых происходящее можно описать в терминах геометрической прогрессии, и посмотрим, насколько быстро может расти возрастающая геометрическая прогрессия, и, соответственно, быстра ли в своём убывании прогрессия убывающая.
I. В самой популярной из легенд о происхождении шахмат рассказывается, что некогда в Древней Индии мудрец по имени Сесса придумал правила новой игры и преподнёс игру в дар царю Шераму.
Царь был очарован и предложил создателю игры самому выбрать награду. Тот попросил у царя немного зерна: на первую клетку доски положить 1 пшеничное зерно, на вторую — 2, на третью — 4 и т. д. — на каждую следующую клетку надо положить вдвое больше зёрен, чем на предшествующую. Возникает геометрическая прогрессия, в которой $b_1=1$, $q=2$. «Скромная» просьба оказалась невыполнимой, понадобился бы урожай, собираемый на всей Земле за тысячи лет.
II. Невообразимый рост геометрической прогрессии можно ощутить и просто складывая обычный лист бумаги. После первого складывания пополам толщина бумаги увеличится вдвое, после второго — вчетверо, и очень скоро практические возможности будут исчерпаны. А если допустить, что удалось сложить лист 42 раза, то оказалось бы, что «толщина» конструкции больше, чем расстояние от Земли до Луны.
III. Примеры, иллюстрирующие свойства убывающей прогрессии, впечатляют не меньше. Изготовим цепочку из шестерёнок, зацепленных последовательно одна за другую так, чтобы каждая следующая вращалась в 5 раз медленнее предыдущей. Таким образом, угловые скорости шестерёнок образуют геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен $1/5$.
Предположим, что цепочка достаточно длинная. Если начать вращать ось первой шестерёнки с большой скоростью, то даже после длительной непрерывной работы последняя шестерёнка практически не повернётся.
Например, если в цепочке 17 зацеплений и первую шестерёнку вращают со скоростью один оборот в секунду, то и «двадцать лет спустя» последняя шестерёнка не повернётся даже на одну тысячную оборота. Получается, что её можно наглухо закрепить в стене, и это не помешает работе механизма в течение долгих лет! С точки зрения быстротечной человеческой жизни этот пример — иллюстрация бесконечности «практической».
У выражения «растёт в геометрической прогрессии» есть очень близкий по смыслу родственник. Формулу $b_{n+1}{=}b_1q^{n}$ можно воспринимать как описание быстрых изменений величины во времени, если считать, что параметр $n$ — это дискретное время, изменяющееся скачками. А в быстро протекающих непрерывных процессах появляются функции вида $y(t)=b q^t$, которые называются экспоненциальными. Отсюда и родственный термин — экспоненциальный рост.
В Европе в круг математических знаний легенда о происхождении шахмат попала в XVII веке, когда Джон Валлис (математик, криптограф и один из основателей Лондонского Королевского общества) опубликовал перевод сочинения арабского историка ас‐Сафада (XIV век).
В последующие века история про Сессу и Шерама распространилась по всей Европе; например, великий Леонард Эйлер в книге «Элементы алгебры» приводит задачу о практической оценке необходимого количества зёрен.
Ещё один интересный пример растущей геометрической прогрессии — последовательность частот нот равномерно темперированного строя (см. «Музыкальный строй»). Здесь знаменатель прогрессии $q=\sqrt[12]{2}≈ 1{,}06$ близок к 1, но клавиш достаточно много — в клавиатуре стандартного рояля их 88. И за эти 88 шагов пробегается интервал, охватывающий более 7 октав ($88{=}7{\cdot }12{+}4$) и представляющий почти весь диапазон звуков, комфортных для человеческого уха.
С числом 88 читатель может встретиться в этой книге и в сюжете «Созвездия»: именно на такое число созвездий астрономы поделили звёздное небо.
