‍Графен

Графен — один из самых инте­рес­ных мате­ри­а­лов, извест­ных чело­ве­че­ству. Это пер­вый двумер­ный мате­риал — толщина графена всего один атом. В графене атомы угле­рода соеди­нены в двумер­ную решётку из пра­виль­ных шести­уголь­ни­ков.

Графен можно пред­ста­вить себе как один слой гра­фита — сло­и­стого мате­ри­ала, из кото­рого, напри­мер, состоит грифель про­стого каран­даша. Слои гра­фита соеди­нены между собой сла­бым ван-дер-вааль­со­вым вза­и­мо­действием, вслед­ствие чего гра­фит легко рас­сла­и­ва­ется, что и обес­пе­чи­вает возмож­ность его исполь­зо­ва­ния в каран­дашах: при тре­нии тон­кие слои гра­фита отсла­и­ваются и остаются в виде чешуек на поверх­но­сти бумаги. Уди­ви­тельно, но именно так и были полу­чены пер­вые образцы графена — он про­сто был отщеп­лён от кри­сталла высо­ко­ка­че­ствен­ного гра­фита обыч­ной лип­кой лен­той.

Несмотря на неко­то­рую про­за­ич­ность полу­че­ния, графен обла­дает целым буке­том необыч­ных физи­че­ских свойств. При­чём эти свойства часто отли­чаются от свойств не только исход­ного гра­фита, но и дву­слой­ного графена. Напри­мер, графен явля­ется заме­ча­тель­ным про­вод­ни­ком элек­три­че­ства и может выдержи­вать плот­но­сти тока, на порядки пре­вышающие те, кото­рые могут про­пус­кать такие про­вод­ники, как медь или золото. При­чём про­во­димо­стью графена можно управ­лять в широ­ких пре­де­лах, что поз­во­ляет исполь­зо­вать его во многих элек­трон­ных и оптоэлек­трон­ных при­бо­рах. Так, уже промыш­ленно выпус­каются фото­де­тек­торы на основе графена, кото­рые могут рабо­тать в сверхши­ро­ком диапа­зоне длин волн. А графе­но­вые элек­тронно-опти­че­ские моду­ля­торы поз­во­лят в будущем зна­чи­тельно уве­ли­чить про­пуск­ную спо­соб­ность сетей Интер­нета. Графен также обла­дает рекордно высо­кой теп­лопро­вод­но­стью и уже сей­час исполь­зу­ется во многих мобиль­ных теле­фо­нах и планше­тах для эффек­тив­ного теп­ло­от­вода. Спи­сок уни­каль­ных свойств графена и осно­ван­ных на них при­ме­не­ниях можно про­должать очень долго.

Ещё одно при­ме­не­ние графена свя­зано с изме­ре­нием на нём кван­то­вого эффекта Холла. Этот эффект состоит в том, что в силь­ных маг­нит­ных полях сопро­тив­ле­ние двумер­ного образца (где элек­троны могут пере­двигаться только в плос­ко­сти), изме­рен­ное вдоль тока, зану­ля­ется (не путать со сверхпро­во­димо­стью), а изме­рен­ное попе­рёк тока (хол­лов­ское сопро­тив­ле­ние) — при­нимает кван­то­ван­ные зна­че­ния в еди­ни­цах $h\over ne^2$ (здесь $h$ — посто­ян­ная Планка, $\textit {е}$ — заряд элек­трона, $n$ — целое число). За открытие этого эффекта в двумер­ном элек­трон­ном газе на поверх­но­сти крем­ния Клаусу фон Клитцингу в 1985 году была при­суж­дена Нобе­лев­ская премия по физике. Поскольку хол­лов­ское сопро­тив­ле­ние опре­де­ля­ется только фун­дамен­таль­ными посто­ян­ными, этот эффект исполь­зу­ется в каче­стве стан­дарта сопро­тив­ле­ния во всех мет­ро­логи­че­ских лабо­ра­то­риях мира.

Ока­за­лось, что кван­то­вый эффект Холла в графене имеет свои осо­бен­но­сти из‐за того, что элек­троны в этом мате­ри­але ведут себя как безмас­со­вые частицы (а это явля­ется след­ствием сото­вид­ной решётки графена). Кван­то­ва­ние сопро­тив­ле­ния в графене наблю­да­ется при отно­си­тельно высо­ких темпе­ра­ту­рах (порядка 1 Кельвин) и в отно­си­тельно низ­ких маг­нит­ных полях (несколько Тесла), в то время как в других мате­ри­а­лах для достиже­ния той же точ­но­сти необ­хо­димо было опус­каться до темпе­ра­тур ниже 0,1 К и достигать маг­нит­ных полей выше 10 Тл, что сопряжено с опре­де­лён­ными тех­но­логи­че­скими труд­но­стями. Суще­ствует несколько при­чин, почему кван­то­вый эффект Холла настолько устой­чив в графене; одна из них — то, что энерге­ти­че­ский уро­вень в графене, воз­ни­кающий в маг­нит­ном поле (так назы­ва­емые уровни Лан­дау) при нуле­вой энергии (как раз тот уро­вень, кото­рый даёт наи­бо­лее устой­чи­вое кван­то­ва­ние), явля­ется топо­логи­че­ски защищён­ным.

Суще­ство­ва­ние энерге­ти­че­ского уровня точно при нуле­вой энергии явля­ется след­ствием матема­ти­че­ской тео­ремы Атьи—Зингера об индексе. В при­ме­не­нии к слу­чаю графена эта тео­рема гла­сит, что индекс гамильто­ни­ана (чис­ло­вая харак­те­ри­стика опе­ра­тора, задающего пове­де­ние системы) опре­де­ля­ется исклю­чи­тельно пол­ным пото­ком маг­нит­ного поля через обра­зец. Поэтому даже в пре­деле больших маг­нит­ных полей на нуле­вом уровне остаются элек­троны спо­соб­ные пере­но­сить заряд. При­чём неод­но­род­но­сти маг­нит­ного поля, кото­рые могут воз­ни­кать по при­чине, напри­мер, изогну­то­сти плёнки графена, никак не вли­яют на коли­че­ство элек­тро­нов на нуле­вом уровне. Изгиб и ста­биль­ность двумер­ных мем­бран — это ещё одна инте­рес­ная матема­ти­че­ская задача, кото­рая обрела прак­ти­че­скую зна­чимость в связи с появ­ле­нием графена.

Тео­рема Атьи—Зингера заложила основу целого раз­дела матема­тики — тео­рии индекса. Эта тео­рия, свя­зы­вающая ана­лиз и топо­логию, в насто­ящее время активно исполь­зу­ется в физике при изу­че­нии топо­логи­че­ских свойств физи­че­ских объек­тов.