Траектория полёта самолёта

Если про­сле­дить по карте марш­рут полёта само­лёта из Москвы в Пет­ропав­ловск-Кам­чат­ский, то можно заме­тить, что во время полёта само­лёт заби­ра­ется (по широте) высоко вверх. Кажется, что длина такого пути больше длины «прямого» пути, соеди­няющего на карте эти два города (коор­ди­наты по широте близки: $55°  45'$ с. ш. и $53°  1'$ с. ш.).

Траектория полёта самолёта // Математическая составляющая

Странно, ведь лиш­ние сотни километ­ров пути само­лёта — дорогое удо­вольствие. Но и сер­вис «Яндекс.Карты» на запрос о рас­сто­я­нии между этими горо­дами тоже выдаёт выпук­лую вверх кри­вую.

Всё дело в том, что поня­тие крат­чайшего рас­сто­я­ния нераз­рывно свя­зано с той поверх­но­стью, по кото­рой оно изме­ря­ется. Любая плос­кая карта пред­став­ляет зем­ную поверх­ность с искаже­ни­ями. А рас­смот­ре­ние соот­вет­ствующих тра­ек­то­рий на гло­бусе поз­во­лит во всём разо­браться.

Чтобы найти крат­чайшее рас­сто­я­ние между двумя точ­ками на сфере, необ­хо­димо про­ве­сти через них большую окруж­ность. Так назы­вают окруж­ность, обра­зо­ван­ную пере­се­че­нием сферы с плос­ко­стью, про­хо­дящей через центр сферы и выбран­ные точки. Меньшая из двух дуг большой окруж­но­сти, соеди­няющая точки, явля­ется крат­чайшим рас­сто­я­нием на сфере между ними. В матема­тике линию, реа­ли­зующую минималь­ное рас­сто­я­ние между двумя точ­ками на рас­смат­ри­ва­емой поверх­но­сти, назы­вают гео­де­зи­че­ской.

Траектория полёта самолёта // Математическая составляющая

Все осталь­ные марш­руты, соеди­няющие Москву и Пет­ропав­ловск-Кам­чат­ский, в том числе тот, кото­рый казался прямым на карте, на гло­бусе (и в реаль­но­сти!) будут длин­нее этой дуги. Итак, крат­чайшая тра­ек­то­рия полёта само­лёта опре­де­ля­ется дугой большой окруж­но­сти.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

На прак­тике авиа­компа­нии не все­гда уда­ётся выбрать «гео­де­зи­че­ский» марш­рут между двумя горо­дами. При­хо­дится учи­ты­вать и другие много­чис­лен­ные усло­вия и обсто­я­тельства, посто­ян­ные и меняющи­еся: нали­чие запрет­ных для полёта зон; осо­бые пра­вила полёта над оке­а­ном и пра­вила для само­лё­тов с двумя двига­те­лями (регламен­ти­ру­ется мак­сималь­ная уда­лён­ность марш­рута от аэропор­тов); сто­и­мость диспет­чер­ского обслужи­ва­ния при пере­се­че­нии воз­душ­ного про­стран­ства той или иной страны; загружен­ность воз­душ­ных пере­крёст­ков; погод­ные усло­вия.

Можно ощу­тить, насколько реаль­ный марш­рут из Москвы в Пет­ропав­ловск-Кам­чат­ский заби­ра­ется на север, если отме­тить на карте города, над кото­рыми он про­легает: Яро­славль, Кот­лас, Сык­тыв­кар, Ухта, Сале­хард, Норильск, Мага­дан.

Кри­визна поверх­но­сти Земли рас­смат­ри­ва­ется с точки зре­ния геомет­рии в ста­тье «Искрив­лён­ные миры». В ста­тье «Кар­тографи­че­ские про­екции» рас­ска­зано о спо­со­бах отоб­раже­ния зем­ной поверх­но­сти на плос­ких кар­тах.

В полё­тах само­лё­тов есть матема­ти­че­ская состав­ляющая, в жизни пило­тов — про­фес­си­о­наль­ная и эмоци­о­наль­ная состав­ляющие. Яркие рас­сказы об этом мире оста­вили про­фес­си­о­наль­ные лёт­чики. Антуан де Сент-Экзюпери, кото­рого все знают как автора «Маленького принца», напи­сал роман «Южный поч­то­вый». Васи­лий Васи­лье­вич Ершов, много лет летавший в небе Восточ­ной Сибири, напи­сал о «лёт­ной» жизни ряд книг, назва­ние одной из них — «Раз­думья ездо­вого пса».

Лите­ра­тура

Люстер­ник Л. А. Крат­чайшие линии. — М.: ГИТТЛ, 1955. — (Попу­ляр­ные лекции по матема­тике; Вып. 19).