‍Причаливание

Мор­ские, воз­душ­ные и кос­ми­че­ские суда дали чело­ве­че­ству неве­ро­ят­ные возмож­но­сти в осво­е­нии окружающего про­стран­ства. Помимо спо­соб­но­сти решать «полёт­ные» задачи, корабли должны уметь и благопо­лучно воз­вращаться: при­ча­ли­вать к при­стани, совершать мяг­кую посадку. Кажется, что современ­ные авто­маты могут решить и такую задачу…

Но вспом­ните соб­ствен­ные наблю­де­ния. Катер, под­ходя к при­чалу, обвешан­ному рези­но­выми кран­цами, замед­ляет ход, раз­во­ра­чи­ва­ется бор­том к берегу, и вдруг в эту тех­ни­че­скую кар­тину добав­ля­ется руч­ной труд. Прямо перед «сты­ков­кой» на при­стани появ­ля­ется мат­рос и, под­хва­тив брошен­ный с борта канат, нама­ты­вает его на тумбу и вруч­ную под­тяги­вает катер.

У само­лёта, совершающего посадку, вер­ти­каль­ная компо­нента ско­ро­сти оста­ётся нену­ле­вой вплоть до каса­ния со взлётно-поса­доч­ной поло­сой. Сопри­кос­но­ве­ние шин и покрытия — это удар, кото­рый для корпуса и пас­сажи­ров смяг­чают амор­ти­за­торы шасси и мастер­ство пило­тов.

Ещё один при­мер — кос­ми­че­ский: это может быть и посадка аппа­рата на Луну, и воз­враще­ние на Землю ракеты много­ра­зо­вого исполь­зо­ва­ния. В этих слу­чаях также не избежать заклю­чи­тель­ного удара, с ним борются поса­доч­ные амор­ти­за­торы.

Важно, что во всех рас­смот­рен­ных при­ме­рах пол­но­стью избежать удара невозможно, каким бы ни были мастер­ство пило­тов или вычис­ли­тель­ная мощь авто­ма­тики. Это можно дока­зать матема­ти­че­ски, точ­нее, это сле­дует из тео­рии диффе­ренци­аль­ных урав­не­ний.

В задаче о при­ча­ли­ва­нии управ­ле­ние процес­сом осуществ­ля­ется регу­ли­ров­кой ско­ро­сти (уско­ре­ния) в зави­симо­сти от рас­сто­я­ния до берега с жела­нием иметь нуле­вую ско­рость в момент каса­ния. При­ве­дён­ная форму­ли­ровка «ожи­вает» в опи­са­нии авто­ма­ти­че­ского при­ча­ли­ва­ния по Вла­ди­миру Иго­ре­вичу Арнольду: «…наблю­дая оставше­еся до при­чала рас­сто­я­ние, управ­ле­ние выби­рают так, чтобы ско­рость при­ча­ли­ва­ния плавно уменьша­лась до нуля…» (книга «Матема­ти­че­ское понима­ние при­роды»).

Режим управ­ле­ния в реаль­ном времени предпо­чти­те­лен, поскольку посадка по зара­нее рас­счи­тан­ному графику погаше­ния ско­ро­сти или при­ча­ли­ва­ние по наме­чен­ной тра­ек­то­рии уяз­вимы — внеш­ние обсто­я­тельства, такие как тече­ние, ветер, тур­бу­лент­ность, могут заго­тов­лен­ные планы раз­ру­шить с ката­строфи­че­скими послед­стви­ями.

Матема­ти­че­ски — ско­рость (про­из­вод­ная по времени функции рас­сто­я­ния) пред­став­лена как глад­кая («хорошая») функция рас­сто­я­ния. Тре­бо­ва­ние глад­ко­сти накла­ды­ва­ется, чтобы изме­не­ние ско­ро­сти (управ­ляющего параметра) было небольшим при малом изме­не­нии рас­сто­я­ния.

Процесс при­ча­ли­ва­ния опи­сы­ва­ется диффе­ренци­аль­ным урав­не­нием $x'(t)=f(x(t))$, где $x(t)$ — рас­сто­я­ние до «при­чала», $x'(t)$ — ско­рость, $f$ — глад­кая функция, задающая режим управ­ле­ния ско­ро­стью, и усло­вием $f(0)=0$ (без­удар­ность при­ча­ли­ва­ния). Но в этом слу­чае тео­рия диффе­ренци­аль­ных урав­не­ний гово­рит: глад­кое при­ча­ли­ва­ние можно выпол­нить только за бес­ко­неч­ное время!

Раз­бе­рёмся на про­стом жиз­нен­ном при­мере, как воз­ни­кает бес­ко­неч­ное время в задаче без­удар­ного при­ча­ли­ва­ния. Предпо­ложим, что мы управ­ляем лод­кой так, чтобы на рас­сто­я­нии $x$ мет­ров до берега её ско­рость рав­ня­лась $x$ м/c. Тогда в момент каса­ния с при­ста­нью ско­рость была бы равна нулю — при­ча­ли­ва­ние было бы без­удар­ным. Пусть в началь­ный момент времени лодка нахо­дится от берега на рас­сто­я­нии $a$ мет­ров. На первую поло­вину пути до берега ($a/2$ мет­ров) уйдёт больше поло­вины секунды, так как на этом участке ско­рость меньше, чем началь­ная ско­рость $a$ м/с. На поло­вину остающегося пути (отре­зок дли­ной $a/4$) лодка также потра­тит больше, чем пол­се­кунды. Таких «поло­ви­нок» от остающегося пути бес­ко­нечно много, на пре­одо­ле­ние каж­дой ухо­дит больше, чем пол­се­кунды, поэтому за конеч­ное время доплыть до берега не удастся.

В при­мере с лод­кой «управ­ляющее» диффе­ренци­аль­ное урав­не­ние имеет вид $x'=-x$. Замена функции $f(x)=-x$ на любую другую глад­кую функцию с усло­вием $f(0)=0$ не избав­ляет от бес­ко­неч­ного времени при­ча­ли­ва­ния.

Итак, прак­ти­че­ски накла­ды­ва­ется «матема­ти­че­ский запрет» на возмож­ность без­удар­ного при­ча­ли­ва­ния-при­зем­ле­ния. В дан­ном слу­чае, тео­рия диффе­ренци­аль­ных урав­не­ний выступает в роли героя «отрица­тель­ного», но делающего полез­ное дело: несбыточ­ные жела­ния отме­таются, и можно сосре­до­то­читься на поиске реаль­ных реше­ний задачи.