‍Високосное летосчисление

Сколько дней в году и как появи­лись висо­кос­ные годы? Что про­дик­то­вано при­ро­дой и что при­думано людьми? Попро­буем разо­браться.

Сол­неч­ные сутки — это период обраще­ния Земли вокруг своей оси (пол­ный обо­рот отно­си­тельно направ­ле­ния на Солнце). Рас­смат­ри­вают и другие сутки, напри­мер, звёзд­ные. Но именно сол­неч­ные сутки опре­де­ляют жиз­нен­ный ритм: день—ночь—день…

Год — тоже много­знач­ное поня­тие: аст­ро­номы раз­ли­чают звёзд­ный, тропи­че­ский, кален­дар­ный и другие годы. Тропи­че­ский год — период обраще­ния Земли вокруг Солнца — опре­де­ля­ется как времен­ной интер­вал между про­хож­де­ни­ями Солнца через точку весен­него рав­но­ден­ствия. Именно тропи­че­ский год управ­ляет сме­ной сезо­нов: зима—весна—лето—осень.

Враще­ние Земли вокруг оси (сутки) и враще­ние вокруг Солнца (год) про­ис­хо­дят неза­ви­симо друг от друга и, более того, дли­тель­ность их пери­о­дов поне­многу (очень мед­ленно!) меня­ется. Аст­ро­номы и физики регу­лярно изме­ряют про­должи­тель­ность сол­неч­ных суток и тропи­че­ского года. В нашу эпоху дли­тель­ность тропи­че­ского года — с точ­но­стью до деся­тых долей секунды — состав­ляет 365 суток 5 часов 48 минут и $45{,}$2 секунды, или, исполь­зуя аст­ро­номи­че­скую запись, $$ 365^{\mathrm d}\ 05^{\mathrm h}\ 48^{\mathrm m}\ 45{,}2^{\mathrm s}. $$

В долях сред­них сол­неч­ных суток это состав­ляет $365\frac{52313}{216000}$, в деся­тич­ной записи — при­мерно $365{,}2422$.

При­нять для повсе­днев­ного исполь­зо­ва­ния такую дли­тель­ность года про­сто немыс­лимо. Воз­ни­кает про­блема выбора длины кален­дар­ного года: она должна быть близка к вели­чине тропи­че­ского года, но состо­ять из целого числа суток. Если при­нять дли­тель­ность кален­дар­ного года рав­ной $365^{\mathrm d}$, то за четыре года отста­ва­ние кален­даря соста­вит почти сутки. Постепенно 1 января с зимы сме­стится на осень, а потом и на лето. Пери­о­ди­че­ские меропри­я­тия (напри­мер, начало учеб­ного года) нельзя будет свя­зы­вать с опре­де­лён­ными кален­дар­ными датами.

Одно из реше­ний про­блемы под­ска­зы­вает «округ­ле­ние» дли­тель­но­сти тропи­че­ского года 365,2422$^{\mathrm d}$ до 365,25$^{\mathrm d}$, тогда дроб­ная «добавка» соста­вит ровно $\frac{1}{4}$ суток, т. е. 6 часов. Кален­дарь раз­би­ва­ется на четырёх­лет­ние циклы, в каж­дом из кото­рых три года — по 365 дней, а чет­вёр­тый, назы­ва­емый висо­кос­ным, состоит из 366 дней. Вве­де­ние раз в четыре года допол­ни­тель­ного дня в кален­даре делает сред­нюю длину кален­дар­ного года рав­ной $365^{\mathrm d}$ $06^{\mathrm h}$, что больше истин­ной дли­тель­но­сти тропи­че­ского года при­мерно на $11^{\mathrm m}$ $15^{\mathrm s}$.

Такую систему при­думал алек­сан­дрийский аст­ро­ном Сози­ген, а в 45 году до н. э. в Древ­нем Риме она была вве­дена Юлием Цеза­рем. Отсюда и назва­ние — юли­ан­ский кален­дарь.

В 325 году н. э. по реше­нию Никейского собора весь хри­сти­ан­ский мир при­нял юли­ан­ский кален­дарь. В то время день весен­него рав­но­ден­ствия при­хо­дился на 21 марта. Этот день был важ­ной точ­кой отсчёта в опре­де­ле­нии дней хри­сти­ан­ских празд­ни­ков, кото­рые, в свою оче­редь, служили глав­ными ори­ен­ти­рами в хозяйствен­ном кален­даре (сев, жатва и т. п.).

Но в юли­ан­ском кален­даре, есть, как мы видели, ежегод­ная ошибка — при­мерно 11 минут. За сто­ле­тия «набегают» целые дни и к концу XVI века за период со времени Никейского собора день весен­него рав­но­ден­ствия отступил в кален­даре на 10 суток.

Папа Григо­рий XIII стал иници­а­то­ром реформ, кото­рые пре­сле­до­вали две цели: во‐пер­вых, вер­нуть на кален­дар­ное место день рав­но­ден­ствия, во‐в­то­рых, выбрать более совершен­ный кален­дарь, «чтобы и в будущем рав­но­ден­ствие со сво­его места никогда не сдвига­лось».

Осно­вой нового кален­даря, вве­дён­ного в 1582 году и полу­чившего назва­ние григо­ри­ан­ского, стало допол­нен­ное отно­си­тельно юли­ан­ского кален­даря пра­вило чере­до­ва­ния про­стых и висо­кос­ных лет. Висо­кос­ными оста­лись те годы, номера кото­рых делятся на 4, но появи­лось исклю­че­ние: если номер года окан­чи­ва­ется двумя нулями, но не делится на 400 (т. е. число сотен не делится на 4), то год счи­та­ется про­стым, а не висо­кос­ным. Напри­мер, в григо­ри­ан­ском кален­даре 1800 год ста­но­вится обыч­ным, а 2000 год оста­ётся висо­кос­ным.

Также Григо­рий XIII рас­по­ря­дился сдви­нуть кален­дарь на 10 дней, так что после 4 октября 1582 года наступило сразу 15 октября.

С тех пор рас­хож­де­ние между юли­ан­ским и григо­ри­ан­ским кален­да­рями уве­ли­чи­лось до 13 дней, так как доба­ви­лись 3 дня в 1700, 1800 и 1900 годах. В Рос­сии до 1918 года поль­зо­ва­лись юли­ан­ским кален­да­рём, а декре­том Совета народ­ных комис­са­ров от 26 января 1918 года был вве­дён григо­ри­ан­ский кален­дарь. Поэтому даты рос­сийской исто­рии при пере­воде со «ста­рого стиля» в современ­ный кален­дарь сдвигаются на 12 дней для событий XIX века, а для событий XX века до 1918 года — на 13 дней.

В григо­ри­ан­ском кален­даре за 400 лет три раза встре­чаются про­стые годы, кото­рые являются висо­кос­ными в юли­ан­ском кален­даре. Всего висо­кос­ных лет за этот период: 100 — в юли­ан­ском, 97 — в григо­ри­ан­ском кален­даре. Поэтому сред­няя длина григо­ри­ан­ского года равна $\big(365\frac{97}{400}\big)^{\mathrm d}= 365^{\mathrm d}$ $05^{\mathrm h}$ $49^{\mathrm m}$ $12^{\mathrm s}$, что больше истин­ной при­мерно на $27^{\mathrm s}$. Хорошая точ­ность достиг­нута весьма про­стыми сред­ствами.

И юли­ан­ский, и григо­ри­ан­ский кален­дари устро­ены цик­лично. В юли­ан­ском кален­даре — цикл 4‐лет­ний, в григо­ри­ан­ском — уже 400‐лет­ний. Сред­няя дли­тель­ность кален­дар­ного года за цикл близка к дли­тель­но­сти года тропи­че­ского — $\big(365\frac{1}{4}\big)^{\mathrm d}$ и $\big(365\frac{97}{400}\big)^{\mathrm d}$ соот­вет­ственно.

Отсюда можно усмот­реть, что любое хорошее раци­о­наль­ное при­ближе­ние вели­чины тропи­че­ского года, имеющее вид $\big(365\frac{p}{q}\big)^{\mathrm d}$ ($p$ и $q$ — нату­раль­ные числа, $p<q$), может стать осно­вой кален­даря, в кото­ром длина цикла равна $q$. Конечно, число $q$ не должно быть чрезмерно большим. А суще­ствует ли кален­дарь такого вида, но более про­стой, чем григо­ри­ан­ский, и не менее точ­ный? Ответ на этот вопрос можно полу­чить, при­ме­нив матема­ти­че­ский аппа­рат под назва­нием «цеп­ные дроби».

Любое положи­тель­ное число $A$ един­ствен­ным обра­зом рас­кла­ды­ва­ется в цеп­ную дробь:

$$ A=a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\frac1{a_3+… }}}, $$ где $a_0$ — целая часть числа $A$, числа $a_1$, $a_2$, $a_3$, $…$ — нату­раль­ные.

Раци­о­наль­ные выраже­ния $$ a_0,\quad a_0+\frac1{a_1},\quad a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2}}, \quad a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\frac1{a_3}}}, \quad … $$ назы­ваются под­хо­дящими дро­бями дан­ной цеп­ной дроби. При есте­ствен­ном порядке вычис­ле­ния («снизу вверх») под­хо­дящие дроби полу­чат одно­знач­ное пред­став­ле­ние $$ a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\frac1{\vphantom{\frac12}a_3+ …+\frac1{a_n}}}}=\frac{p_n}{q_n}, $$ где дробь $\frac{p_n}{q_n}$ ока­зы­ва­ется несо­кра­тимой. Глав­ным свойством под­хо­дящих дро­бей явля­ется то, что дробь $\frac{p_n}{q_n}$ отстоит от числа $A$ не дальше, чем любая дробь $\frac{p}{q}$, у кото­рой знаме­на­тель $q$ не пре­вос­хо­дит $q_n$. Иными сло­вами, для дан­ного числа $A$ наи­лучшим при­ближе­нием среди всех раци­о­наль­ных чисел} $\frac{p}{q}$, где $q\le q_n$, явля­ется под­хо­дящая дробь $\frac{p_n}{q_n}$.

Именно это свойство поз­во­ляет найти с помощью цеп­ных дро­бей серию оптималь­ных кален­да­рей, упо­ря­до­чен­ных по точ­но­сти при­ближе­ния длины тропи­че­ского года сред­ней дли­ной кален­дар­ного года.

Раз­ложим в цеп­ную дробь дли­тель­ность тропи­че­ского года в сол­неч­ных сут­ках: $$ 365\frac{52313}{216000}= 365+\frac1{4+\frac1{7+\frac1{1+\frac1{3+\frac1{26+\frac1{9+\frac1{7}}}}}}}. $$ Каж­дая из пер­вых под­хо­дящих дро­бей $$ 365,\quad 365 + \frac{1}{4}=365 \frac{1}{4},\quad 365+\frac1{4+\frac1{7}}=365 \frac{7}{29},\quad $$ $$ 365+\frac1{4+\frac1{7+\frac1{1}}}=365 \frac{8}{33},\quad 365+\frac1{4+\frac1{7+\frac1{1+\frac1{3}}}}=365 \frac{31}{128} $$ «пред­лагает» свой кален­дарь.

После­дующие под­хо­дящие дроби равны $365\frac{814}{3361}$, $365\frac{7357}{30377}$, $365\frac{52313}{216000}$, и для созда­ния кален­даря под­хо­дят не лучше, чем при­ближа­емая дробь $365\frac{52313}{216000}$.

Пред­ста­вим результаты в виде таб­лицы.

Под­хо­дящая дробь	Сред­няя длина кален­дар­ного года	Сред­няя годо­вая погреш­ность
$365\frac{1}{4}$	$365^{\mathrm d}\ 06^{\mathrm h}\ 0^{\mathrm m}\ 0^{\mathrm s}$	$-11^{\mathrm m}\ 15^{\mathrm s}$
$365\frac{7}{29}$	$365^{\mathrm d}\ 05^{\mathrm h}\ 47^{\mathrm m}\ 35^{\mathrm s}$	$1^{\mathrm m}\ 10^{\mathrm s}$
$365\frac{8}{33}$	$365^{\mathrm d}\ 05^{\mathrm h}\ 49^{\mathrm m}\ 05^{\mathrm s}$	$-20^{\mathrm s}$
$365\frac{31}{128}$	$365^{\mathrm d}\ 05^{\mathrm h}\ 48^{\mathrm m}\ 45^{\mathrm s}$	менее $1^{\mathrm s}$

Пра­виль­ные дроби в левом столбце сообщают глав­ные свойства «пред­лага­емого» кален­даря. Знаме­на­тель дроби — число лет в цикле. Если струк­туру кален­даря внутри цикла опре­де­лять раз­де­ле­нием на про­стые и висо­кос­ные годы, то чис­ли­тель дроби — это «рекомен­ду­емое» число висо­кос­ных лет в цикле.

Напри­мер, дробь $365 \frac{1}{4}$ опре­де­ляет юли­ан­ский кален­дарь. Поль­зо­ваться при­ближе­нием $365 \frac{7}{29}$ никто не пред­лагал. Сле­дующее при­ближе­ние $365 \frac{8}{33}$ даёт кален­дарь почти той же слож­но­сти, но намного более точ­ный. Исполь­зо­вать такой кален­дарь (восемь висо­кос­ных лет из каж­дых тридцати трёх) пред­лагал Омар Хайям (1048—1131) — знаме­ни­тый поэт, матема­тик и аст­ро­ном.

Чет­вёр­тый вари­ант в 1864 году пред­ложил немец­кий аст­ро­ном И. Г. фон Мед­лер. Этот кален­дарь полу­ча­ется из юли­ан­ского по той же схеме, что и григо­ри­ан­ский, но он даже проще: его цикл — 128 лет (а не 400), изме­не­ние коли­че­ства висо­кос­ных лет — минималь­ное — с 32 в юли­ан­ском до 31. Тем уди­ви­тель­нее, что этот кален­дарь гораздо точ­нее — ошибка состав­ляет менее 1 секунды!

У чита­теля могут появиться вопросы. Во‐пер­вых, почему в при­ве­дён­ной таб­лице отсут­ствует григо­ри­ан­ский кален­дарь? Во‐в­то­рых, почему через пол­ты­ся­че­ле­тия после кален­даря Омара Хайяма Григо­рием XIII был пред­ложен кален­дарь более слож­ный, но менее точ­ный?

Ответы на оба вопроса свя­заны с одним и тем же обсто­я­тельством. Дело в том, что комис­сия Григо­рия XIII поль­зо­ва­лась аст­ро­номи­че­скими таб­ли­цами, состав­лен­ными для короля Касти­лии Аль­фонса X в 1251 году. В них длина тропи­че­ского года оши­бочно счи­та­лась рав­ной $365^{\mathrm d}$ $05^{\mathrm h}$ $49^{\mathrm m}$ $16^{\mathrm s}$, что при­мерно на $30^{\mathrm s}$ больше истин­ной. На осно­ва­нии этих таб­лиц комис­сия полагала, что пред­ложен­ная ею сред­няя длина года лишь на $4^{\mathrm s}$ отли­ча­ется от реаль­ной. Кален­дарь Омара Хайяма отно­си­тельно «кастильского» зна­че­ния тропи­че­ского года даёт ошибку большую, в $11^{\mathrm s}$.

Комис­сия Григо­рия XIII, видимо, не исполь­зо­вала аппа­рат цеп­ных дро­бей. Но подо­бран­ное ею зна­че­ние сред­ней длины кален­дар­ного года $365\frac{97}{400}=365,2425$ весьма близко к одной из под­хо­дящих дро­бей раз­ложе­ния в цеп­ную дробь длины «кастильского» года — $365\frac{122}{503}=365,2424…$

Вер­нёмся к матема­ти­че­скому ана­лизу про­блемы созда­ния точ­ного и удоб­ного кален­даря.

При­ве­дён­ные в таб­лице кален­дари (от юли­ан­ского до кален­даря Мед­лера) были най­дены нами с помощью раз­ложе­ния в цеп­ную дробь текущего зна­че­ния длины тропи­че­ского года. Эти кален­дари в обо­зримом будущем не изме­нятся. Объяс­ня­ется это тем, что малые изме­не­ния числа (в част­но­сти, длины тропи­че­ского года) не вли­яют на зна­че­ния пер­вых под­хо­дящих дро­бей.

Кален­дари таб­лицы насле­дуют и другое важ­ное свойство под­хо­дящих дро­бей. В раз­ложе­нии дан­ного числа в цеп­ную дробь под­хо­дящие дроби дают наи­лучшие при­ближе­ния. Для цик­ли­че­ских кален­да­рей это озна­чает, напри­мер, что среди всех кален­да­рей с цик­лом не более 33 лет самый точ­ный — кален­дарь Омара Хайяма, а если в цикле не более 128 лет, то лучший — кален­дарь Мед­лера.

Реше­ния про­блемы кален­даря, най­ден­ные в преж­ние времена кропот­ли­вым под­бо­ром, удив­ляют и вос­хищают. Сей­час, с помощью цеп­ных дро­бей, всё све­лось бы к серии про­стых вычис­ле­ний. И пол­но­стью решая задачу «точ­но­сти хода кален­даря», цеп­ные дроби остав­ляют людям только про­блему выбора кален­даря удоб­ного, жела­тельно при­выч­ного…