‍Параболическая антенна

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Древ­ние греки занима­лись изу­че­нием эллипса, гипер­болы и пара­болы, рас­смат­ри­вая их как кони­че­ские сече­ния. Апол­ло­ний (262 до н. э. — 190 до н. э., родом из Перги, но рабо­тавший в Алек­сан­дрии, современ­ник Архимеда) напи­сал труд «Кони­че­ские сече­ния» в восьми книгах, поло­вина из кото­рых дошла до наших дней только в сред­не­ве­ко­вых араб­ских пере­во­дах.

Апол­ло­ний рас­смат­ри­вал фокусы эллипса и гипер­болы, хотя у него и не было спе­ци­аль­ного термина для этих точек, знал их свойства, вклю­чая опти­че­ские.

Диокл, млад­ший современ­ник Апол­ло­ния, в сочи­не­нии «О зажига­тель­ных зер­ка­лах» при­во­дит опти­че­ское свойство пара­болы, видимо, осно­вы­ва­ясь на результа­тах учё­ных круга Архимеда. Это сочи­не­ние также сохра­ни­лось лишь благо­даря араб­ским пере­во­дам, в кото­рых пара­бо­лоид враще­ния назы­вался «зажига­тель­ным зер­ка­лом», а фокус пара­болы — «местом зажига­ния».

При изда­нии латин­ских пере­во­дов араб­ских матема­ти­че­ских тек­стов «место зажига­ния» не могло не пре­вра­титься в латин­ское focus — «очаг, огонь». Как термин «фокус» был вве­дён Иоган­ном Кепле­ром в сочи­не­нии «Опти­че­ская часть аст­ро­номии» («Astronomiae pars optica», 1604), при­чём не только для пара­болы, но и для эллипса и гипер­болы.

Опти­че­ское свойство пара­болы пред­ста­нет как экс­пе­римен­таль­ный факт, если изго­то­вить ⁠пара­бо­ли­че­ский бильярд.

В этой модели изогну­тый бор­тик пред­став­ляет пара­болу, на сукне отме­чен фокус — точка, в кото­рую надо поста­вить шарик-мишень. Основ­ной шарик будет ска­ты­ваться с подвиж­ной горки, кото­рую все­гда размещают так, чтобы направ­ле­ние ска­ты­вающегося шарика было парал­лельно оси пара­болы (напри­мер, можно сдвигать горку вдоль прямой стенки бильярда, рас­по­ложен­ной перпен­ди­ку­лярно оси пара­болы). Шарик, ска­ты­ва­ясь с горки, после отраже­ния от бор­тика все­гда будет попа­дать в шарик, размещён­ный в фокусе пара­болы!

При само­сто­я­тель­ном изго­тов­ле­нии модели сле­дует учесть, что бор­тик — это экви­ди­станта пара­болы, её сдвиг в каж­дой точке по нормали к пара­боле на рас­сто­я­ние, рав­ное ради­усу шарика (в иде­аль­ной геомет­ри­че­ской модели от пара­болы отража­ется центр шарика, точка). Радиус шарика должен быть не слиш­ком мал, чтобы сглажи­вать возмож­ные погреш­но­сти.

Каче­ство изго­тов­лен­ной модели можно оце­нить, если про­ве­сти экс­пе­римент, убрав шарик-мишень. Ска­ты­вающийся с горки шарик после пер­вого отраже­ния от бор­тика должен пройти через отме­чен­ный фокус, а после вто­рого — пока­титься парал­лельно оси пара­болы.

Геомет­ри­че­ское опре­де­ле­ние поз­во­ляет ⁠нари­со­вать пара­болу с дан­ным фоку­сом и дан­ной дирек­три­сой.

Вдоль дирек­трисы положим линейку, в фокусе кноп­кой закрепим конец нити. Вто­рой конец нити закреп­ля­ется в вершине уголь­ника, катет кото­рого при­ложен к линейке. Если при­жать нить ко вто­рому катету каран­дашом, сохра­няя её натя­ну­той при скольже­нии уголь­ника вдоль линейки, то про­ве­дён­ная линия будет пара­бо­лой.

Устройства, вычер­чи­вающие пара­болы, назы­ваются пара­бо­лографами. Изящ­ную ⁠кон­струкцию при­думал в XVII веке ита­льян­ский матема­тик Бона­вен­тура Кава­льери (извест­ный как пред­ше­ствен­ник созда­те­лей интеграль­ного исчис­ле­ния).

Устройство состоит из трёх свя­зан­ных дета­лей: непо­движ­ной отно­си­тельно листа линейки (гори­зон­таль) и двух жёст­ких прямых углов. У пер­вого угла гори­зон­таль­ная сто­рона сколь­зит вдоль линейки, а по его вер­ти­каль­ной сто­роне сколь­зит вершина (с грифе­лем) вто­рого угла. При этом в каж­дый момент времени сто­роны вто­рого угла про­хо­дят через штифты: один закреп­лён на непо­движ­ной линейке, а дру­гой — на гори­зон­таль­ной сто­роне подвиж­ного угла.

То, что линия, про­ве­дён­ная грифе­лем, будет пара­бо­лой, сле­дует из извест­ного свойства прямо­уголь­ного тре­уголь­ника: квад­рат длины высоты, опущен­ной на гипо­те­нузу, равен про­из­ве­де­нию длин отрез­ков, на кото­рые её делит высота. Параметр пара­болы регу­ли­ру­ется перемеще­нием штифта на гори­зон­таль­ной сто­роне пер­вого угла.

Пара­болу можно ⁠«изго­то­вить», про­ведя серию опытов с бумаж­ным листом — в результате вы полу­чите не нари­со­ван­ную, но «видимую» линию, кото­рой касаются много­чис­лен­ные прямые.

На листе бумаги нари­суйте прямую и отметьте точку, не лежащую на этой прямой (фокус будущей пара­болы). Через выбран­ную точку на прямой про­ве­дите перпен­ди­ку­ляр к отрезку, соеди­няющему эту точку с отме­чен­ной. Перпен­ди­ку­ляр можно даже не про­во­дить каран­дашом, а опре­де­лить на глаз и перегнуть по нему лист бумаги. Про­де­лав проце­дуру для нескольких точек на прямой, вы уви­дите пара­болу, как гра­ницу обла­сти, «окружён­ной» лини­ями сгиба.

Как оги­бающую семейства линий (см. Бол­тян­ский В. Г. «Оги­бающая») можно полу­чить и другие кони­че­ские сече­ния (см. коммен­та­рий к ста­тье ⁠«Шухов­ские башни»), только вме­сто началь­ной прямой нужно взять окруж­ность. Если точка (фокус) внутри окруж­но­сти, то полу­чится ⁠эллипс (см. ⁠«Дроб­ле­ние кам­ней в поч­ках»); если сна­ружи — ⁠гипер­бола (см.⁠ «Шухов­ские башни»).

Все кони­че­ские сече­ния (эллипс, пара­болу, гипер­болу) можно полу­чить в виде муара — допол­ни­тель­ного геомет­ри­че­ского узора, обра­зующегося при наложе­нии двух изоб­раже­ний. Возьмите «про­зрачку» и на прин­тере напе­ча­тайте прямо­ли­ней­ные полоски на фик­си­ро­ван­ном рас­сто­я­нии между сосед­ними. На другом листе напе­ча­тайте круго­вые полоски (концен­три­че­ские окруж­но­сти) той же ширины и с тем же рас­сто­я­нием между сосед­ними.

Если наложить эти листы друг на друга так, чтобы одна из прямых про­хо­дила через центр окруж­но­стей, то вы уви­дите семейство пара­бол. А если наложить две оди­на­ко­вые «круго­вые» про­зрачки так, чтобы рас­сто­я­ние между цен­трами кругов было кратно рас­сто­я­нию между окруж­но­стями, то можно уви­деть эллипсы и пере­се­кающие их гипер­болы.

Чита­тель мог встре­чать впе­чат­ляющую игрушку: на крышке «летающей тарелки» вы видите объект, ося­за­емо-объём­ный, пыта­е­тесь его взять, и… пальцы встре­чают пустоту. Это иллю­зор­ный объект, а его «появ­ле­ние» — результат опти­че­ского свойства пара­болы.

Игрушка состоит из двух соос­ных пара­бо­ло­и­дов враще­ния, чаши кото­рых обращены друг к другу, шапочка верх­ней чаши сре­зана. На ниж­ней чаше, в фокусе верх­него пара­бо­ло­ида нахо­дится объект; после отраже­ний в зер­каль­ных стен­ках пара­бо­ло­и­дов в фокусе ниж­него форми­ру­ется изоб­раже­ние.

Исаак Нью­тон заме­тил, что при враще­нии цилин­дри­че­ского сосуда поверх­ность нали­той в него жид­ко­сти при­нимает форму пара­бо­ло­ида, и объяс­нил это явле­ние с помощью най­ден­ных им самим зако­нов.

В наше время этот эффект исполь­зуют при изго­тов­ле­нии больших пара­бо­ли­че­ских зер­кал для теле­скопов — этот спо­соб быст­рее и дешевле, чем клас­си­че­ская шлифовка. А иногда создают и «времен­ные» теле­скопы с жид­ким зер­ка­лом: сосуд с рту­тью вращают только во время про­ве­де­ния наблю­де­ний.

«Пара­бо­ли­че­скими» являются такие альпийские и арк­ти­че­ские цветы, как про­стрел альпийский, бек­ви­чия лед­ни­ко­вая, поляр­ный мак. Благо­даря опти­че­скому свойству пара­болы у таких цве­тов уско­ря­ется созре­ва­ние семян. Ещё одно полез­ное для цве­тов след­ствие их пара­бо­лич­но­сти — при­вле­че­ние насе­комых, кото­рые любят «понежиться» в чаше цветка, а это вли­яет на опы­ле­ние.

Если на пара­боле $y=x^2$ по раз­ные сто­роны от оси $Oy$ взять точки $(-a; a^2)$ и $(b; b^2)$, то соеди­няющий их отре­зок пере­се­чёт ось $Oy$ в точке $(0; ab)$. Пер­вым это отме­тил Август Мёбиус, имя кото­рого носит знаме­ни­тая одно­сто­рон­няя лента.

Можно взгля­нуть на этот факт и с дру­гой сто­роны: через точку $(0;N)$, где $N=ab$ — состав­ное число, про­хо­дит хорда пара­болы опи­сан­ного вида ($a$ и $b$ — нату­раль­ные числа, отлич­ные от 1). А через точку вида $(0;p)$, где $p$ — про­стое число, не про­хо­дит ни одна подоб­ная хорда.

Это ⁠заме­ча­ние можно пре­вра­тить в алго­ритм, поз­во­ляющий найти все про­стые числа до неко­то­рого $n$: «пара­бо­ли­че­ское решето», отсе­и­вающее все состав­ные числа.