Математика транспортных потоков

В 70—80‐е годы прошлого века США и страны Запад­ной Европы, а затем и Рос­сия столк­ну­лись с серьёз­ной про­блемой. Число поль­зо­ва­те­лей транспорт­ных сетей уве­ли­чи­лось настолько, что те пере­стали справ­ляться с нагруз­кой. Как след­ствие — ущерб финан­со­вый, эко­логи­че­ский…

Математика транспортных потоков // Математическая составляющая

И всё это несмотря на то, что задумы­ваться над транспорт­ными про­блемами стали ещё раньше, в 50—60‐е годы XX века. И уже тогда стало понятно, что для реше­ния этих про­блем необ­хо­димо уча­стие матема­ти­ков и физи­ков.

Наив­ное пред­став­ле­ние о том, что для реше­ния про­блемы про­бок доста­точно уве­ли­чить коли­че­ство дорог, было опро­верг­нуто уже тогда. Матема­тики при­думали при­мер дорож­ной сети, в кото­рой после ввода допол­ни­тель­ной дороги эффек­тив­ность сети уменьша­лась. Есте­ствен­ное жела­ние автомо­би­ли­стов исполь­зо­вать новую дорогу для выбора оптималь­ного по времени марш­рута неожи­данно при­во­дило к уве­ли­че­нию времени про­езда для всех води­те­лей!

Было раз­ра­бо­тано много инте­рес­ных под­хо­дов к моде­ли­ро­ва­нию транспорт­ных пото­ков с целью оптималь­ного управ­ле­ния ими, но осно­вой для всех пред­лага­емых реше­ний являются два раз­дела при­клад­ной матема­тики — вычис­ли­тель­ная гид­ро­ди­намика и иссле­до­ва­ние опе­раций.

Гид­ро­ди­намика изу­чает движе­ние жид­ко­сти и газа. При­ме­не­ние мето­дов этой науки в транспорт­ных зада­чах осно­вано на пред­став­ле­нии потока машин как тече­ния по системе кана­лов перемен­ной ширины сжима­емой жид­ко­сти, у кото­рой ско­рость тече­ния падает с воз­рас­та­нием плот­но­сти. Объяс­не­ние ана­логии сле­дующее: чем больше на дороге машин (т. е. чем выше плот­ность), тем меньше сред­няя ско­рость потока. Так что всем нам «повезло»: достиже­ния клас­си­че­ской гид­ро­ди­намики, накоп­лен­ные за всю её исто­рию, стали мощ­ными инструмен­тами для изу­че­ния транспорт­ных пото­ков. Гид­ро­ди­нами­че­ский под­ход исполь­зу­ется для крат­ко­сроч­ных рас­чё­тов пото­ков, напри­мер, с целью оптималь­ного управ­ле­ния све­тофор­ной сиг­на­ли­за­цией.

Вто­рой под­ход осно­ван на тео­рии игр и элемен­тах тео­рии мак­ро­си­стем и исполь­зу­ется для долго­сроч­ного пла­ни­ро­ва­ния. Каж­дый участ­ник движе­ния пыта­ется мини­ми­зи­ро­вать свои затраты (времен­ные, денеж­ные и т. п.) — воз­ни­кает «игра». Можно пока­зать, что дан­ная игра при­хо­дит в рав­но­вес­ное состо­я­ние — ни один из участ­ни­ков не может уменьшить свои затраты, изме­нив стра­тегию в одно­сто­рон­нем порядке. Однако это рав­но­вес­ное состо­я­ние ско­рее всего не будет соци­аль­ным оптимумом — ситу­ацией, когда суммар­ные потери всех участ­ни­ков движе­ния минимальны. Поэтому целью оптималь­ного управ­ле­ния транспорт­ными пото­ками ста­но­вится достиже­ние ситу­ации, близ­кой к соци­аль­ному оптимуму.

Один из основ­ных меха­низмов борьбы с проб­ками — оптималь­ное расщеп­ле­ние транспорт­ного потока на част­ный и обще­ствен­ный транспорт, опти­ми­за­ция каж­дого из выде­лен­ных пото­ков. Инструмен­тов опти­ми­за­ции много: регу­ли­ро­ва­ние сто­и­мо­сти про­езда на обще­ствен­ном транспорте и интен­сив­ность его движе­ния, вве­де­ние выде­лен­ных полос для обще­ствен­ного транспорта, вве­де­ние плат­ных дорог и плат­ных пар­ко­вок для част­ного транспорта. Напри­мер, дока­зано (и даже опи­сано, как этого достичь), что все­гда можно взимать плату за про­езд по участ­кам дорог так, чтобы в итоге воз­никла ситу­ация соци­аль­ного оптимума.

В современ­ном мире в зада­чах изу­че­ния транспорт­ных сетей появи­лись новые обсто­я­тельства. В ближайшей пер­спек­тиве мы сможем в реаль­ном времени полу­чать информацию о каж­дом автомо­биле. Необ­хо­димо научиться обра­ба­ты­вать эту информацию с такой ско­ро­стью, с такой пол­но­той, чтобы можно было её исполь­зо­вать для реше­ния все­возмож­ных транспорт­ных про­блем: от процесса управ­ле­ния дорож­ной ситу­ацией до пер­спек­тив­ного пла­ни­ро­ва­ния. Подоб­ная работа с большими мас­си­вами дан­ных тре­бует самых современ­ных матема­ти­че­ских мето­дов.

Но для при­ме­не­ния этих инструмен­тов надо пере­бро­сить мост от изу­ча­емых дан­ных к матема­ти­че­скому инструмен­та­рию, надо выбрать матема­ти­че­скую модель для опи­са­ния дан­ного явле­ния. Выбор матема­ти­че­ской модели — искус­ство, тре­бующее от иссле­до­ва­теля ещё и высо­чайшей матема­ти­че­ской культуры, что вклю­чает в себя широ­кие позна­ния в современ­ной матема­тике.

Раз­ра­ботка мето­дов работы с большими объёмами дан­ных поз­во­лит не только моде­ли­ро­вать транспорт­ные потоки, но и решать задачи био­информа­тики, компью­тер­ной без­опас­но­сти, про­ек­ти­ро­ва­ния кон­струкций и других обла­стей.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Лите­ра­тура

Гас­ни­ков А., Дорн Ю., Нурмин­ский Е., Шамрай Н. Автомо­биль­ные пробки: когда раци­о­наль­ность ведёт к кол­лапсу // Жур­нал «Квант». 2013. № 1. Стр. 13—18. — [В част­но­сти, раз­би­ра­ется пара­докс Брайеса: вве­де­ние в экс­плу­а­тацию новой дороги иногда не улучшает, а ухуд­шает транспорт­ную ситу­ацию].

Гас­ни­ков А. В. и др. Вве­де­ние в матема­ти­че­ское моде­ли­ро­ва­ние транспорт­ных пото­ков / А. В. Гас­ни­ков, С. Л. Кле­нов, Е. А. Нурмин­ский, Я. А. Холо­дов, Н. Б. Шамрай — М.: МЦНМО, 2013.

Вучик В. Р. Транспорт в горо­дах, удоб­ных для жизни. — М.: Тер­ри­то­рия будущего, 2011. — [Ориги­нал: Vuchic V. R. Transportation for Livable Cities, 1999].