Компьютерная томография

Компью­тер­ная томография — одно из наи­бо­лее впе­чат­ляющих науч­ных достиже­ний ХХ века. Оно ока­зало рево­люци­он­ное воз­действие на всю современ­ную медицину. За раз­ра­ботку компью­тер­ной томографии А. Кормак и Г. Хаунс­филд были удо­сто­ены Нобе­лев­ской премии 1979 года в обла­сти медицины и физио­логии.

Компьютерная томография // Математическая составляющая

При сня­тии томограммы изу­ча­емую часть тела чело­века мик­ро­с­двигами перемещают сквозь кольцо ска­ни­рующего устройства. Ска­нер, состо­ящий из источ­ника рентге­нов­ского излу­че­ния и ряда детек­то­ров, нахо­дится в корпусе, имеющем форму тора («буб­лика») и может вращаться в нём по кругу.

На древ­негре­че­ском τομή озна­чает «сече­ние». При фик­си­ро­ван­ном отно­си­тельно томографа положе­нии тела про­ис­хо­дит сле­дующее. При каж­дом пово­роте ска­нера из источ­ника излу­че­ния вее­ром выхо­дят лучи, а дан­ные детек­то­ров харак­те­ри­зуют ослаб­ле­ние излу­че­ния вдоль соот­вет­ствующих направ­ле­ний. Коэффици­ент поглоще­ния в каж­дой точке зави­сит от плот­но­сти тка­ней орга­низма, а интеграл от функции «коэффици­ент поглоще­ния» по отрезку движе­ния луча от источ­ника до детек­тора опре­де­лит суммар­ное поглоще­ние луча. Если по зна­че­ниям таких интегра­лов удастся вос­ста­но­вить зна­че­ния интегри­ру­емой функции, то в рас­смат­ри­ва­емом сече­нии чело­ве­че­ский орга­низм будет пред­став­лен кар­той плот­но­сти тка­ней. Набор изоб­раже­ний, полу­чен­ных в серии парал­лель­ных сече­ний, даёт трёхмер­ное пред­став­ле­ние. Рас­по­ложе­ние и размеры участ­ков с «непра­вильно» изме­нён­ной плот­но­стью поз­во­ляют врачу поста­вить диагноз.

С матема­ти­че­ской точки зре­ния вос­ста­нов­ле­ние функции на плос­ко­сти по её интегра­лам вдоль все­возмож­ных прямых — клас­си­че­ская задача, решён­ная Иоган­ном Радо­ном в 1917 году. Однако прак­ти­че­ская реа­ли­за­ция томографи­че­ских возмож­но­стей формулы Радона стала возмож­ной только с при­хо­дом эры компью­те­ров. Задача явля­ется труд­ной не только из‐за гигант­ского объёма дан­ных, для её реше­ния помимо компью­те­ров потре­бо­ва­лись матема­ти­че­ские методы, раз­ви­вавши­еся в тече­ние всего XX сто­ле­тия. Отме­тим, что высо­кая сто­и­мость современ­ных компью­тер­ных томографов больше свя­зана не с инже­нер­ной слож­но­стью кон­струкций, а с заши­тыми в них нетри­ви­аль­ными матема­ти­че­скими алго­ритмами, пред­став­ляющими основ­ную коммер­че­скую тайну.

Современ­ные томографы рабо­тают в режиме реаль­ного времени и отли­чаются высо­кой точ­но­стью, выяв­ляя малейшие отли­чия в плот­но­сти иссле­ду­емых тка­ней (порядка долей процента).

Однако при­ме­не­ние рентге­нов­ской компью­тер­ной томографии не все­гда пока­зано из‐за жёст­ко­сти рентге­нов­ского излу­че­ния (напри­мер, её не рекомен­ду­ется при­ме­нять для диагно­сти­ро­ва­ния беремен­ных женщин). В этой ситу­ации при­хо­дится при­бегать к менее жёст­кому ультра­зву­ко­вому иссле­до­ва­нию. Ультра­звук не обла­дает мощью рентге­нов­ского излу­че­ния, перемен­ная плот­ность тка­ней при­во­дит к тому, что ультра­зву­ко­вое излу­че­ние рас­про­стра­ня­ется вдоль кри­вых линий, а не прямых. Но кри­во­ли­ней­ная задача Радона — задача о вос­ста­нов­ле­нии функции на плос­ко­сти по её интегра­лам вдоль все­возмож­ных кри­вых опре­де­лён­ного вида, — до сих пор оста­ётся нерешён­ной. По этой при­чине при­хо­дится поль­зо­ваться форму­лой Радона для прямо­ли­ней­ного слу­чая, что ска­зы­ва­ется на точ­но­сти ультра­зву­ко­вых томографов по срав­не­нию с их рентге­нов­скими собра­тьями. Усо­вершен­ство­ва­ние работы ультра­зву­ко­вых томографов напрямую зави­сит от прогресса в реше­нии сформу­ли­ро­ван­ной матема­ти­че­ской задачи.

Кри­во­ли­ней­ная задача Радона имеет важ­ное зна­че­ние не только в медицине, но и, напри­мер, в гео­логии, где она воз­ни­кает при сейсмо­раз­ведке полез­ных ископа­емых. Допу­стим, тре­бу­ется найти руд­ное тело, нахо­дяще­еся на большой глу­бине. С этой целью на зем­ной поверх­но­сти про­из­во­дится серия мик­ро­взрывов, эффект от кото­рых фик­си­ру­ется при­легающими сейсми­че­скими станци­ями. По ско­ро­сти рас­про­стра­не­ния сейсми­че­ских волн можно полу­чить дан­ные для поста­новки кри­во­ли­ней­ной задачи Радона. Её реше­ние в этом слу­чае поз­во­лило бы лока­ли­зо­вать разыс­ки­ва­емое полез­ное ископа­емое. Таким обра­зом, и в слу­чае сейсмо­раз­ведки даль­нейший прогресс зави­сит от реше­ния кри­во­ли­ней­ной задачи Радона.

При­ве­дено только два при­мера исполь­зо­ва­ния матема­ти­че­ских мето­дов томографии — в медицине и гео­логии. На самом деле, таких при­ме­не­ний намного больше.

Сформу­ли­ро­ван­ные задачи отно­сятся к обла­сти матема­тики, назы­ва­емой интеграль­ной геомет­рией. В этой науке оста­ётся ещё много нерешён­ных задач, но можно не сомне­ваться, что любой прогресс в их реше­нии най­дёт важ­ные прак­ти­че­ские при­ме­не­ния.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Лите­ра­тура

Бухшта­бер В. М., Гин­ди­кин С. Г. От принципа Кава­льери к томографу // Жур­нал «При­рода». 1983. № 6. Стр. 12—24.