Полярный день

Земля движется вокруг Солнца и одно­временно враща­ется вокруг своей оси, накло­нён­ной к плос­ко­сти орбиты. Смена времён года про­ис­хо­дит из‐за этого наклона, а смена дня и ночи — след­ствие враще­ния Земли вокруг оси. Но нали­чие наклона оси в неко­то­рых частях Земли раз­рушает при­выч­ное чере­до­ва­ние дней и ночей. К полю­сам при­мы­кают шапочки, в кото­рых наблю­даются поляр­ные дни и поляр­ные ночи — пери­оды дли­ной в несколько суток, когда Солнце не опус­ка­ется за гори­зонт или не под­нима­ется над гори­зон­том.

Чтобы понять про­ис­хож­де­ние поляр­ных дней, посмот­рим на Север­ное полуша­рие Земли в лет­ние месяцы. Тра­ек­то­рия любой точки при суточ­ном враще­нии Земли будет окруж­но­стью, перпен­ди­ку­ляр­ной оси. А если точка близка к Север­ному полюсу, то все точки этой окруж­но­сти будут освещены, т. е. на доста­точно высо­кой широте Солнце будет све­тить и день, и ночь.

Полярный день // Математическая составляющая

Если окруж­ность раз­ду­вать, то она кос­нётся терми­на­тора — линии, раз­де­ляющей освещён­ную и неосвещён­ную полу­сферы. Назва­ние про­ис­хо­дит от латин­ского terminus — гра­ница, был в Древ­нем Риме и почи­та­емый бог гра­ниц и меже­ва­ния Термин.

А для точек ниже этой окруж­но­сти суточ­ная тра­ек­то­рия будет про­хо­дить, и по освещён­ной и по неосвещён­ной частям, т. е. смена дня и ночи вер­нётся.

Теперь можно сформу­ли­ро­вать и кон­крет­ные вопросы. Напри­мер, в каких широ­тах наблю­да­ется поляр­ный день и сколько суток он длится? Но глав­ная задача — опре­де­ле­ние дли­тель­но­сти све­то­вого дня на дан­ной широте в какой-то день года по его поряд­ко­вому номеру. Реше­ние задачи будет предъяв­лено, но сна­чала стоит опи­сать движе­ние Земли вокруг Солнца.

Ана­ли­зи­руя годо­вое движе­ние Земли по орбите, будем счи­тать, что ось Земли оста­ётся парал­лель­ной самой себе и всё время направ­лена на «бес­ко­нечно далё­кую» Поляр­ную звезду — в наши дни это $α$ Малой Мед­ве­дицы. Угол $\varepsilon$ между осью и норма­лью к плос­ко­сти орбиты посто­я­нен и равен $\varepsilon=23° 26'$.

Это движе­ние — пери­о­ди­че­ское, внутри пери­ода выде­ляют четыре точки, кото­рые делят год на четыре рав­ные части.

Полярный день // Математическая составляющая

Дни весен­него и осен­него рав­но­ден­ствия геомет­ри­че­ски можно опре­де­лить как моменты, когда ось враще­ния ока­зы­ва­ется в плос­ко­сти терми­на­тора. Из этого выте­кает житейски при­выч­ное опре­де­ле­ние дней рав­но­ден­ствия: в любой точке Земли, на любой широте про­должи­тель­ность дня равна про­должи­тель­но­сти ночи.

Дни лет­него и зим­него солнце­сто­я­ния — моменты, когда ось Земли мак­симально откло­нена от плос­ко­сти терми­на­тора; про­должи­тель­ность дней и ночей — экс­тремальна. Шапочки поляр­ных дней и ночей ста­но­вятся мак­сималь­ными, их гра­ницы, широт­ные окруж­но­сти, назы­ваются, соот­вет­ственно, Север­ным и Южным поляр­ным кругом. Из геомет­ри­че­ского опре­де­ле­ния дней солнце­сто­я­ния сле­дует, что широта Север­ного (Южного) поляр­ного круга равна $90°-\varepsilon=66° 34'$ ($-66° 34'$). За поляр­ными кругами наблю­даются поляр­ные дни и поляр­ные ночи, а в полосе между Север­ным и Южным поляр­ными кругами их не бывает.

Чтобы наглядно пред­ста­вить годо­вую динамику про­должи­тель­но­сти све­то­вого дня и разме­ров шапочки поляр­ного дня/ночи, выбе­рем началь­ную точку отсчёта — день весен­него рав­но­ден­ствия и географи­че­скую область — Север­ное полуша­рие.

В тече­ние трёх месяцев от весен­него рав­но­ден­ствия до лет­него солнце­сто­я­ния появ­ля­ется и рас­тёт шапочка поляр­ного дня вокруг Север­ного полюса, в этой обла­сти день ста­но­вится круг­ло­су­точ­ным. Но и вне уве­ли­чи­вающейся шапочки дни ста­но­вятся всё длин­нее. Ось враще­ния Земли всё больше «смот­рит» на Солнце, а зем­ля­нам кажется, что оно с каж­дым днём под­нима­ется всё выше над гори­зон­том. Лет­нее солнце­сто­я­ние — время мак­симумов. Затем долгота дня и размер шапочки начи­нают уменьшаться, в день осен­него рав­но­ден­ствия день и ночь урав­но­веши­ваются, шапочка исче­зает. В интер­вале между осен­ним и весен­ним рав­но­ден­стви­ями исто­рия повто­ря­ется, только день и ночь меняются местами.

Динамика про­должи­тель­но­сти дня/ночи и разме­ров поляр­ных шапо­чек напоми­нает пове­де­ние синуса, но чтобы ассоци­ации пре­вра­тить в инструменты, надо пра­вильно выбрать аргументы. Орбита Земли — эллипс, но вытя­ну­тый совсем немного, так что в упрощён­ных рас­чё­тах можно заме­нить его окруж­но­стью. Положе­ние точки на окруж­но­сти зада­ётся углом в пре­де­лах от 0 до $2π$, в задаче о дли­тель­но­сти дня есте­ствен­ный параметр — номер этого дня в кален­даре, от 1 до 365. Угло­вая метка дня с номе­ром $n$ равна $2π\cdot\frac{n}{365}$, а с учё­том сдвига точки отсчёта на день весен­него рав­но­ден­ствия (20 марта — 81‐й день в году) при­хо­дим к «пра­виль­ному» аргументу: $2π\cdot\frac{n-81}{365}$.

В глав­ной задаче опре­де­ле­ния дли­тель­но­сти дня геомет­ри­че­ски дело сво­дится к нахож­де­нию длин двух кус­ков широт­ной окруж­но­сти, на кото­рые она раз­би­ва­ется пере­се­че­нием с терми­на­то­ром. Тех­ни­че­ски реше­ние задачи есте­ствен­ным обра­зом при­ве­дёт к исполь­зо­ва­нию триго­номет­ри­че­ских функций. Вот итого­вая формула для вычис­ле­ния про­должи­тель­но­сти све­то­вого дня в точке Земли на широте $s$ ($-90°<s<90°$) в день $n$ ($1\le n \le 365$):

$$ \frac{24}{π}\arccos(-{\tg s} \cdot \tg\arcsin(\sin\varepsilon \cdot \sin N)), \hbox{ где } N=\frac{2π}{365}\cdot(n-81). $$

В формуле аргументы триго­номет­ри­че­ских функций пред­став­лены и в гра­дус­ной мере ($s$ и $\varepsilon$), и в ради­ан­ной ($N$, зна­че­ния функций arccos и arcsin), результат изме­ря­ется в часах.

Чтобы уви­деть эту формулу в действии, можно постро­ить график зави­симо­сти про­должи­тель­но­сти све­то­вого дня от номера дня в году, напри­мер, для Москвы ($55°  45'$ с. ш.). Каж­дый вер­ти­каль­ный отре­зок (сутки) делится графи­ком на день (часть под графи­ком) и ночь (над графи­ком). В дни рав­но­ден­ствия эти части совпа­дают (день и ночь по 12 часов), в дни солнце­сто­я­ния — мак­симум и минимум функции.

Полярный день // Математическая составляющая

В точ­ках ближе к эква­тору график ста­но­вится при­плюс­ну­тым, коле­ба­ния дли­тель­но­сти дня и ночи незна­чи­тельны, а на самом эква­торе — рав­но­ден­ствие круг­лый год (эква­тор все­гда делится терми­на­то­ром попо­лам).

Для всех широт между Север­ным и Южным поляр­ными кругами формула для пары «день —ночь» рабо­тает «круг­лого­дично». А в горо­дах Запо­ля­рья, напри­мер, в Мурман­ске ($68°  58'$ с. ш.), в неко­то­рые дни формула «не рабо­тает»: аргумент арк­ко­си­нуса ока­зы­ва­ется вне обла­сти опре­де­ле­ния (модуль больше 1). Это время поляр­ного дня или поляр­ной ночи.

Полярный день // Математическая составляющая

В нашей иде­а­ли­зи­ро­ван­ной кар­тине мира есть симмет­рия в парах «день—ночь», как «обыч­ных», так и поляр­ных. Дни и ночи симмет­рично устро­ены на широ­тах $\varphi$ и $-\varphi$. А поляр­ные дни и ночи симмет­ричны даже в двух смыс­лах. Скажем, в Мурман­ске дли­тель­ность поляр­ного дня и поляр­ной ночи оди­на­кова, по 30 дней. Кроме того, если в неко­то­рый момент на широте $\varphi$ — свет поляр­ного дня, то на $-\varphi$ будет тьма поляр­ной ночи. Все эти факты можно «уви­деть» геомет­ри­че­ски, а можно извлечь и из свойств функций в основ­ной формуле.

При­ве­дён­ный ана­лиз верен по сути, но не бук­вально. В рас­смот­рен­ной про­стейшей модели не учи­ты­ва­лись два суще­ствен­ных обсто­я­тельства: Солнце — не точка; из‐за атмо­сферы Земли про­ис­хо­дят рас­се­я­ние и пре­лом­ле­ние сол­неч­ного света. Реаль­ный мир, ока­зы­ва­ется, лучше и свет­лее, чем его модель.

День побеж­дает ночь. Све­то­вой день отнимает у ночи реаль­ные минуты, даже в рав­но­ден­ствие; поляр­ный день чуть длин­нее, чем поляр­ная ночь. С внеш­ней сто­роны поляр­ных кругов, напри­мер, в Санкт-Петер­бурге ($59°  57'$ с. ш.), в отно­си­тельно небольшой полосе, наблю­даются белые ночи — ночи, кото­рые выгля­дят как свет­лые сумерки.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Заход Солнца не озна­чает наступ­ле­ния тем­ноты, да и свет­леть начи­нает ещё до вос­хода Солнца. Этот период, «отня­тый» у ночи, — сумерки. Глав­ная при­чина воз­ник­но­ве­ния суме­рек — под­светка атмо­сферы нахо­дящимся за гори­зон­том Солнцем.

Для прак­ти­че­ских дел сумерки делят на три пери­ода: граж­дан­ские; навигаци­он­ные, или мор­ские; аст­ро­номи­че­ские. Гра­ницы зон формально опре­де­ляются углом нахож­де­ния цен­тра Солнца под гори­зон­том: до $6°$, от $6°$ до $12°$, от $12°$ до $18°$. Назва­ния пери­о­дов соот­вет­ствуют делам, кото­рые ещё доступны в это время.

Полярный день // Математическая составляющая

В граж­дан­ские сумерки можно выпол­нять на открытом воз­духе любую работу; в конце этого пери­ода вклю­ча­ется искус­ствен­ное освеще­ние, граж­дан­ская жизнь зами­рает. В мор­ские сумерки можно заниматься «без под­светки» неко­то­рыми про­фес­си­о­наль­ными делами; напри­мер, капи­тан плывущего вдоль берега корабля видит очер­та­ния пред­ме­тов на берегу, но сами они обесцве­чи­ваются. В аст­ро­номи­че­ские сумерки только небо под­све­чено, а затем исче­зают и следы зари, на небе появ­ляются звёзды — наступает рабо­чее время аст­ро­номов.

Белые ночи — это явле­ние, когда вечер­ние граж­дан­ские сумерки пере­хо­дят сразу в утрен­ние, и это время суток — самое тём­ное. Время белых ночей — лет­ний период, в кото­рый свет­лое время круг­ло­су­точно, хотя Солнце и захо­дит за гори­зонт. В Север­ном полуша­рии это явле­ние наблю­да­ется летом в широ­тах несколько север­нее $60°$ (эта гра­ница опре­де­ля­ется вычи­та­нием из широты Север­ного поляр­ного круга $66° 34'$ угло­вого размера зоны граж­дан­ских суме­рек, рав­ного $6°$).

В нашей стране белые ночи ассоци­и­руются с Санкт-Петер­бургом, хотя его широта — $59° 57'$ — немного меньше «необ­хо­димой». След­ствие такого «недо­бора» — то, что даже в лет­нее солнце­сто­я­ние в Петер­бурге белая ночь пре­ры­ва­ется более тём­ной частью почти на 2 часа.

На карте легко найти тер­ри­то­рии, круп­ные города, в кото­рых можно наблю­дать белые ночи, но не бывает поляр­ного дня. Напри­мер, в Рос­сии это города Надым ($65° 32'$), Печора ($65° 07'$), Архангельск ($64° 33'$), Якутск ($62° 02'$), Пет­ро­за­водск ($61° 48'$).

График зави­симо­сти длины све­то­вого дня от номера дня в году (скажем, для Москвы) под­ска­зы­вает, что вблизи дней солнце­сто­я­ния дли­тель­ность дня меня­ется мало, почти засты­вает. Матема­ти­че­ски это объяс­ня­ется тем, что в точке мак­симума или минимума про­из­вод­ная функции — ско­рость её изме­не­ния — равна нулю, а в окрест­но­сти такой точки — мала (см. коммен­та­рий к ста­тье «Радуга»). А вот вес­ной и осе­нью, вблизи дней рав­но­ден­ствия, изме­не­ния дли­тель­но­сти дня наи­большие.

Лите­ра­тура

Сур­дин В. Г. Аст­ро­номия. Попу­ляр­ные лекции. — 2‐е изд., расш. — М.: МЦНМО, 2019.

Зве­рева С. В. В мире сол­неч­ного света. — Л.: Гид­роме­тео­из­дат, 1988.

Мин­нарт М. Свет и цвет в при­роде. — М.: ГИФМЛ, 1958.

Розен­берг Г. В. Сумерки. — М.: ГИФМЛ, 1963.