Ориентация в трёхмерном мире

Ори­ен­тация, ори­ен­ти­ро­ваться — эти слова свя­заны с опре­де­ле­нием положе­ния объекта отно­си­тельно сто­рон света (латин­ское oriens — восток), более широко — в неко­то­рой системе коор­ди­нат. Задача управ­ле­ния ори­ен­тацией воз­ни­кает и для реаль­ных объек­тов (кос­ми­че­ские аппа­раты, само­лёты, корабли, бес­пи­лот­ные устройства), и для вир­ту­аль­ных (напри­мер, в компью­тер­ных играх). Во всех слу­чаях изме­не­ние ори­ен­тации — результат движе­ния тела в про­стран­стве.

Рас­смот­рим задачу с матема­ти­че­ской точки зре­ния. Сна­чала раз­бе­рёмся в струк­туре движе­ния, узнаем, из каких элемен­тов оно состоит.

Вели­кий Лео­нард Эйлер дока­зал, что если движе­ние (твёр­дого) тела имеет непо­движ­ную точку, то это пово­рот тела вокруг неко­то­рой оси. Непо­движ­ными ока­зы­ваются все точки дан­ного объекта, лежащие на этой оси!

Ориентация в трёхмерном мире // Математическая составляющая

Если тело враща­ется вокруг оси, кото­рая не имеет с ним общих точек, то непо­движ­ных точек нет (тело «летает» вокруг оси по кругу подобно кор­до­вой модели само­лёта). Ещё один при­мер движе­ния без непо­движ­ных точек — парал­лель­ный пере­нос. В начале XIX века было уста­нов­лено, что любое движе­ние тела — компо­зиция (после­до­ва­тель­ное выпол­не­ние) пере­носа и пово­рота, ось кото­рого парал­лельна направ­ле­нию пере­носа.

Говоря об ори­ен­тации твёр­дого тела, можно счи­тать, что есть непо­движ­ная точка (напри­мер, центр масс). В этом слу­чае по тео­реме Эйлера набор движе­ний сво­дится к пово­ро­там, каж­дый зада­ётся осью и углом. Тех­ни­че­ски опи­сать пово­роты можно раз­ными спо­со­бами. Самые попу­ляр­ные инструменты — углы Эйлера и ква­тер­ни­оны.

Углы Эйлера пред­став­ляют пово­рот тела как результат трёх после­до­ва­тель­ных враще­ний вокруг коор­ди­нат­ных осей, свя­зан­ных с телом. В при­ложе­ниях и в тео­ре­ти­че­ской меха­нике раз­ра­бо­таны раз­лич­ные реа­ли­за­ции этой идеи.

Ориентация в трёхмерном мире // Математическая составляющая

Напри­мер, в авиации и в мор­ском деле тра­дици­онно исполь­зу­ется система коор­ди­нат, оси кото­рой есте­ственно свя­заны с корпу­сом само­лёта (корабля): $Ox$ — ось движе­ния, $Oy$ — перпен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти кры­льев (палубы) ось,} $Oz$ — ось, перпен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти $Oxy$.

Пово­рот (ори­ен­тация) само­лёта или корабля опре­де­ля­ется тремя после­до­ва­тель­ными враще­ни­ями вокруг оси $Ox$, вокруг оси $Oy$, вокруг оси $Oz$ (углы пово­ро­тов отно­си­тельно этих осей назы­ваются крен, рыс­ка­ние, тангаж). Поря­док пово­ро­тов важен, поскольку пере­ста­новка двух враще­ний может изме­нить результат. Дан­ную модифи­кацию углов Эйлера обычно свя­зы­вают с име­нем матема­тика и кораб­ле­стро­и­теля А. Н. Кры­лова.

При­ме­не­ние углов Эйлера попу­лярно в силу нагляд­но­сти и удоб­ства управ­ле­ния этими парамет­рами. Да и в при­роде такое реше­ние уже суще­ствует. За ори­ен­тацию в про­стран­стве у чело­века отве­чает вести­бу­ляр­ный аппа­рат, «антенны» кото­рого назы­ваются полу­круж­ными кана­лами — три круго­об­раз­ные дуги в каж­дом ухе, рас­по­ложен­ные во вза­имно перпен­ди­ку­ляр­ных плос­ко­стях.

Ориентация в трёхмерном мире // Математическая составляющая

То, что углов Эйлера мало, всего три, конечно, удобно. Но это обсто­я­тельство явля­ется и недо­стат­ком: можно дока­зать, что для матема­ти­че­ски «пра­виль­ного» пред­став­ле­ния пово­ро­тов в трёхмер­ном про­стран­стве трёх парамет­ров не хва­тает. След­ствием этих матема­ти­че­ских несты­ко­вок являются про­блемы прак­ти­че­ские, воз­ни­кающие при исполь­зо­ва­нии углов Эйлера.

Серьёз­ные труд­но­сти могут воз­ник­нуть в стан­дарт­ной задаче управ­ле­ния ори­ен­тацией. В непо­движ­ной системе коор­ди­нат (кото­рую «хра­нит», напри­мер, бор­то­вой гиро­скоп) задаются началь­ное и конеч­ное положе­ние объекта, а изме­не­нию ори­ен­тации надо сопо­ста­вить углы Эйлера. Такое соот­вет­ствие должно быть одно­знач­ным и устой­чи­вым. А как раз эти свойства могут ока­заться под угро­зой при неко­то­рых задан­ных началь­ном и конеч­ном положе­ниях. Одна из подоб­ных про­блем носит назва­ние «скла­ды­ва­ние рамок» (про­ис­хо­дит от термина из тео­рии гиро­скопов). Пояс­няющий при­мер: вы сле­дите за при­ближающейся стаей птиц, и когда она ока­зы­ва­ется прямо над вашей голо­вой, при­дётся резко повер­нуться, потому что запро­ки­нуть голову дальше не удастся.

Процессы изме­не­ния ори­ен­тации, зада­ва­емые углами Эйлера, обла­дают и другими непри­ят­ными свойствами, пусть и не ката­строфи­че­скими. Раз­де­лённо-после­до­ва­тель­ное враще­ние вокруг трёх осей при­во­дит к движе­ниям, далё­ким от оптималь­ных, эко­номич­ных. В тех­нике, скажем при управ­ле­нии кос­ми­че­скими аппа­ра­тами, будет пере­рас­ход горю­чего и уве­ли­чится время выпол­не­ния зада­ния. А в анимаци­он­ном фильме его герои пред­ста­нут комично-робо­ти­зи­ро­ван­ными суще­ствами с неесте­ствен­ными движе­ни­ями.

Ква­тер­ни­оны — это алгеб­ра­и­че­ские объекты, кото­рые «при­хо­дят» из четырёхмер­ного мира и дают возмож­ность пред­ста­вить движе­ния точек мира трёхмер­ного как результат чисто арифме­ти­че­ских действий с уча­стием коор­ди­нат.

Вна­чале рас­смот­рим ана­логич­ный, но более про­стой при­мер: задачу «алгеб­ра­и­за­ции» движе­ний на плос­ко­сти.

Точки плос­ко­сти, т. е. пары вида $(a; b)$, «ста­но­вятся» комплекс­ными чис­лами — тра­дици­он­ное обо­зна­че­ние $a+bi$ — после вве­де­ния опе­раций сложе­ния (поко­ор­ди­нат­ного) и умноже­ния (в соот­вет­ствии с таб­лицей умноже­ния элемен­тов базиса $\{1,i\}$). Элемент $i$, назы­ва­емый мнимой еди­ницей, оправ­ды­вает своё назва­ние тем, как ведёт себя его квад­рат: $i^2=-1$. Ока­зы­ва­ется, что парал­лель­ный пере­нос плос­ко­сти — это «при­бав­ле­ние» к каж­дому комплекс­ному числу неко­то­рого фик­си­ро­ван­ного комплекс­ного числа, а пово­рот плос­ко­сти вокруг начала коор­ди­нат — умноже­ние каж­дого комплекс­ного числа на фик­си­ро­ван­ное число $a+bi$, у кото­рого $a^2+b^2=1$ (модуль равен еди­нице). Известно, что любое движе­ние плос­ко­сти (не меняющее ори­ен­тации) явля­ется компо­зицией парал­лель­ного пере­носа и пово­рота вокруг неко­то­рой фик­си­ро­ван­ной точки (напри­мер, начала коор­ди­нат). Поэтому появ­ля­ется возмож­ность пред­став­ле­ния движе­ний плос­ко­сти как алгеб­ра­и­че­ских действий над комплекс­ными чис­лами. С этой точки зре­ния ста­но­вится геомет­ри­че­ски нагляд­ной формула $i^2=-1$: умноже­ние на $i$ — это пово­рот на угол $90°$, сле­до­ва­тельно, $i^2$ пере­во­дит про­из­воль­ную точку $z$ в $(-z)$, т. е. $i^2z=-z$, или $i^2=-1$.

Вели­кий рос­сийский матема­тик и заме­ча­тель­ный попу­ля­ри­за­тор науки Вла­ди­мир Иго­ре­вич Арнольд и на лекциях, и в книгах под­чёр­ки­вал важ­ность геомет­ри­че­ского понима­ния такого под­хода. Он писал: «Комплекс­ные числа — матема­ти­че­ский аппа­рат для опи­са­ния движе­ний плос­ко­сти».

Одним из созда­те­лей тео­рии комплекс­ных чисел был ирланд­ский матема­тик Уильям Гамильтон. Сле­дующим шагом стала есте­ствен­ная попытка «пре­вра­тить в числа» и точки трёхмер­ного про­стран­ства так, чтобы эти «числа» играли в трёхмер­ной геомет­рии ту же роль, что и комплекс­ные числа на плос­ко­сти.

Несмотря на много­лет­ние уси­лия, такую тео­рию создать не уда­лось. Позд­нее было дока­зано, что в трёхмер­ном мире это в принципе невозможно.

Но размыш­ле­ния над трёхмер­ной зада­чей не были бес­плод­ными: они при­вели Гамильтона к реше­нию про­блемы для четырёхмер­ного про­стран­ства — к созда­нию тео­рии ква­тер­ни­о­нов.

Формально ква­тер­нион — это чет­вёрка действи­тель­ных чисел $(a; b; c; d)$, кото­рую по тра­диции запи­сы­вают в виде $q = a + bi+ cj + dk$. Эту запись можно воспри­нимать как раз­ложе­ние четырёхмер­ного век­тора по базису $\{1, i, j, k\}$ (в отли­чие от комплекс­ных чисел, здесь одна «обыч­ная» еди­ница и целых три мнимых!). Ква­тер­ни­оны можно скла­ды­вать — поко­ор­ди­натно. А если удастся при­думать согла­со­ван­ные пра­вила умноже­ния базис­ных век­то­ров, то появится алгебра ква­тер­ни­о­нов.

Таб­лица умноже­ния мнимых базис­ных ква­тер­ни­о­нов и есть открытие Гамильтона. Глав­ным усло­вием согла­со­ван­но­сти, кор­рект­но­сти пра­вил умноже­ния явля­ется цепочка формул $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$, кото­рая впер­вые была наца­рапана Гамильто­ном на камен­ном мосту в Дуб­лине. Пра­вило чте­ния таб­лицы: в клетке стоит про­из­ве­де­ние элемента из строки на элемент из столбца, напри­мер, $ij=k$, $ji=-k$. Видно, что про­из­ве­де­ние ква­тер­ни­о­нов зави­сит от порядка сомножи­те­лей.

Именно это непри­выч­ное свойство ква­тер­ни­о­нов объеди­няет их с движе­ни­ями в трёхмер­ном про­стран­стве. Но чтобы исполь­зо­вать это сход­ство, сопо­ста­вить ква­тер­ни­оны движе­ниям, при­дётся сде­лать ещё один шаг — «выйти» из нашего трёхмер­ного мира в четырёхмер­ный.

Ока­зы­ва­ется, если обыч­ную точку $(x;y;z)$ запи­сать как мнимый ква­тер­нион $p=(0;x;y;z)$, то парал­лель­ный пере­нос точки опи­сы­ва­ется сложе­нием с фик­си­ро­ван­ным мнимым ква­тер­ни­о­ном, а пово­рот свя­зан с умноже­нием $p$ на ква­тер­нион, в коор­ди­на­тах кото­рого «заложена» информация об оси и угле пово­рота (вспом­ним тео­рему Эйлера!). В обоих слу­чаях $p$ пере­хо­дит в чисто мнимый ква­тер­нион, три послед­ние коор­ди­наты кото­рого — коор­ди­наты точки, в кото­рую пере­во­дит точку $(x;y;z)$ дан­ное движе­ние.

Опи­са­ние после­до­ва­тель­но­сти движе­ний сво­дится к выпол­не­нию цепочки алгеб­ра­и­че­ских действий над ква­тер­ни­о­нами. Выпол­не­ние двух пере­но­сов (их «сумма») — это добав­ле­ние суммы соот­вет­ствующих ква­тер­ни­о­нов. Если $q_1$ и $q_2$ — ква­тер­ни­оны, сопо­став­лен­ные двум враще­ниям, то про­из­ве­де­ние $q_2q_1$ будет зада­вать компо­зицию этих враще­ний, их «про­из­ве­де­ние». В свою оче­редь, алгеб­ра­и­че­ские опе­рации с ква­тер­ни­о­нами — про­стые, так как сво­дятся к чисто арифме­ти­че­ским действиям с их компо­нен­тами, обыч­ными чис­лами.

Одно из важ­ных пре­имуществ ква­тер­ни­о­нов перед углами Эйлера — на этом языке легко найти и опи­сать оптималь­ную тра­ек­то­рию для изме­не­ния ори­ен­тации тела в про­стран­стве.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

В ста­тье были отме­чены про­блемы, воз­ни­кающие при опи­са­нии враще­ний в трёхмер­ном про­стран­стве тремя парамет­рами. Ква­тер­ни­оны пред­лагают четыре параметра, и этого доста­точно для прак­ти­че­ских при­ме­не­ний. Но матема­ти­че­ски кор­рект­ным ква­тер­ни­он­ное пред­став­ле­ние не явля­ется: одному пово­роту соот­вет­ствует два ква­тер­ни­она — нет одно­знач­но­сти. Только в сере­дине XX века было дока­зано, что пяти парамет­ров доста­точно для кор­рект­ной парамет­ри­за­ции враще­ний в трёхмер­ном про­стран­стве.

Для реше­ния задач управ­ле­ния движе­нием исполь­зуют гиро­скопы (соеди­не­ние древ­негре­че­ских слов γῦρος  — круг­лый и σκοπέω  — смотрю). В клас­си­че­ском гиро­скопе двумя основ­ными состав­ляющими являются кар­да­нов под­вес и закреп­лён­ный в нём быстро вращающийся махо­вик (ско­рость может состав­лять и 500 обо­ро­тов в секунду).

Согласно одной из тео­рем Эйлера, рас­кру­чен­ный махо­вик стремится сохра­нить направ­ле­ние оси враще­ния. Именно поэтому сохра­нять рав­но­ве­сие на движущемся вело­сипеде проще, чем на непо­движ­ном, а при большой ско­ро­сти можно даже не держаться за руль. Почув­ство­вать тео­рему поз­во­ляет извест­ный опыт. Рас­кру­тив колесо, насажен­ное на длин­ную ось со втул­ками, и взявшись за них, вы ощу­тите, что попытка изме­нить положе­ние оси вызо­вет сопро­тив­ле­ние колеса, оно будет «упи­раться».

Кар­да­нов под­вес — это три вложен­ные друг в друга рамки-кольца, соеди­нён­ные осями: внеш­няя рамка крепится осью к движущемуся аппа­рату, а ось махо­вика крепится к внут­рен­ней рамке. Такой под­вес поз­во­ляет рас­кру­чен­ному махо­вику сохра­нять направ­ле­ние оси враще­ния при любых движе­ниях аппа­рата.

Ориентация в трёхмерном мире // Математическая составляющая

Ори­ен­тацию корабля, само­лёта или кос­ми­че­ского аппа­рата опре­де­ляют по положе­нию объекта отно­си­тельно «непо­движ­ной» оси враще­ния гиро­скопа. Информация скла­ды­ва­ется из трёх парамет­ров — углов между осью махо­вика и осями рамок.

Упомя­ну­тая в ста­тье опас­ность «скла­ды­ва­ния рамок» соот­вет­ствует ситу­ации, когда внут­рен­няя и внеш­няя рамки кар­да­нова под­веса ока­зы­ваются в одной плос­ко­сти. Их оси в такой момент тоже совпа­дают, и у кон­струкции теря­ется одна степень сво­боды. Ось гиро­скопа ока­зы­ва­ется в плос­ко­сти внеш­ней рамки и не сможет сохра­нять направ­ле­ние при неко­то­рых движе­ниях объекта. Напри­мер, при враще­нии аппа­рата в плос­ко­сти сложен­ных рамок при­дётся повер­нуться и оси махо­вика — утра­чена спо­соб­ность срав­ни­вать текущую ори­ен­тацию с началь­ной (стар­то­вой).

Ориентация в трёхмерном мире // Математическая составляющая

Про­блема «скла­ды­ва­ния рамок» про­яви­лась и в лун­ной мис­сии «Апол­лон‐11». Во время полёта воз­никла ситу­ация, близ­кая к кри­ти­че­ской, и хотя всё обош­лось, после воз­враще­ния один из аст­ро­нав­тов в шутку попро­сил у кол­леги из ЦУПа чет­вёр­тый параметр: «Как насчёт того, чтобы пода­рить мне на Рож­де­ство чет­вёр­тую рамку?».

Лите­ра­тура

Арнольд В. И. Геомет­рия комплекс­ных чисел, ква­тер­ни­о­нов и спи­нов. — М.: МЦНМО, 2014.

Кон­вей Дж., Смит Д. О ква­тер­ни­о­нах и окта­вах, об их геомет­рии, арифме­тике и симмет­риях. — М.: МЦНМО, 2019.

Полак Л. С. Уильям Гамильтон: 1805—1865. — М.: Наука, 1993.

Бра­нец В. Н., Шмыглев­ский И. П. При­ме­не­ние ква­тер­ни­о­нов в зада­чах ори­ен­тации твёр­дого тела. — М.: Наука, 1973. — [Для спе­ци­а­ли­стов в обла­сти систем управ­ле­ния движе­нием лета­тель­ных аппа­ра­тов].