Калейдоскоп

Калей­до­скоп был при­думан в начале XIX века. Его назва­ние про­ис­хо­дит от древ­негре­че­ских слов καλός — кра­си­вый, εἶδος — вид, σκοπέω — наблю­даю. Это опти­че­ское устройство, состо­ящее из трёх зер­кал прямо­уголь­ной формы, сложен­ных в виде призмы («трубки») с тре­уголь­ным сече­нием.

Калейдоскоп // Математическая составляющая

В одном из осно­ва­ний призмы — двой­ное стек­лян­ное дно, между стёк­лами насыпаны мел­кие раз­ноцвет­ные пред­меты. В про­ти­вопо­лож­ном осно­ва­нии призмы — оку­ляр. При фик­си­ро­ван­ном положе­нии калей­до­скопа из пред­ме­тов скла­ды­ва­ется кар­тинка в «основ­ном» тре­уголь­нике. Она много­кратно отража­ется в стен­ках-зер­ка­лах, и наблю­да­тель через оку­ляр видит симмет­рич­ный раз­ноцвет­ный узор.

При пово­роте калей­до­скопа пред­меты пере­сыпаются, воз­ни­кает новый, но тоже симмет­рич­ный узор. Чтобы обес­пе­чить симмет­рию узора и его «устой­чи­вость» — лишь в этом слу­чае устройство назы­вают калей­до­скопом, — для постро­е­ния призмы под­хо­дят только три вида тре­уголь­ни­ков.

В самом рас­про­стра­нён­ном типе калей­до­скопов тре­уголь­ник в сече­нии призмы рав­но­сто­рон­ний, у кото­рого углы равны $60°$. Этот вари­ант удо­бен и с про­из­вод­ствен­ной точки зре­ния — все зер­кала оди­на­ко­вые.

Два других вари­анта — прямо­уголь­ные тре­уголь­ники с углами $90°$$45°$$45°$ и $90°$$60°$$30°$.

Калейдоскоп // Математическая составляющая
Калейдоскоп // Математическая составляющая
Калейдоскоп // Математическая составляющая

Если рас­смат­ри­вать призмы не только с тре­уголь­ным осно­ва­нием, то калей­до­скоп можно постро­ить и на основе прямо­уголь­ника.

Чтобы понять, почему для изго­тов­ле­ния калей­до­скопа «на тре­уголь­ни­ках» под­хо­дят только пере­чис­лен­ные вари­анты, вспом­ним, как форми­ру­ется отраже­ние в зер­кале.

Отраже­ние (образ) в зер­кале какого-либо объекта при любом положе­нии наблю­да­теля будет казаться ему реаль­ным, непо­движ­ным объек­том, нахо­дящимся в про­стран­стве за зер­ка­лом и рас­по­ложен­ным симмет­рично ориги­налу отно­си­тельно плос­ко­сти зер­кала.

Калейдоскоп // Математическая составляющая

Реаль­ный мир, отража­ясь в зер­кале, в свою копию пере­но­сит и все пра­вила игры. В част­но­сти, отраже­ние зер­кала в зер­кале будет служить зер­ка­лом в зазер­ка­лье, образы пред­ме­тов будут отражаться в нём по обыч­ным зако­нам оптики.

Если име­ется несколько зер­кал, то их отраже­ния друг в друге порож­дают цепочку вир­ту­аль­ных зер­кал, много­крат­ные отраже­ния в кото­рых пред­мета и есть набор его видимых обра­зов.

У калей­до­скопа раз­ноцвет­ные пред­меты лежат в осно­ва­нии призмы, сле­до­ва­тельно, их отраже­ния не выхо­дят за пре­делы плос­ко­сти осно­ва­ния. Поэтому в даль­нейшем будем счи­тать, что отраже­ния про­ис­хо­дят в плос­ком мире отно­си­тельно прямых (зер­кал). Самое глав­ное — то, что два зер­каль­ных луча, обра­зующих угол $α$, и их вза­им­ные отраже­ния порож­дают обра­зуют веер зер­кал с общей верши­ной и угло­вым шагом $α$.

При отраже­нии в зер­кале фигуры (кар­тинки) меня­ется её ори­ен­тация, но два после­до­ва­тель­ных отраже­ния в сосед­них зер­ка­лах веера — про­сто пово­рот на угол $2α$. Чтобы кар­тинка после выпол­не­ния $n$ таких пово­ро­тов пере­шла в себя, должно выпол­няться соот­ноше­ние $2α\cdot n=2π$, т. е. $α={π}/{n}$, где $n$ — нату­раль­ное число ($n\ge 2$).

Калейдоскоп // Математическая составляющая

В этом слу­чае насто­ящие и вир­ту­аль­ные зер­кала раз­би­вают плос­кость на $2n$ рав­ных углов, в каж­дом из кото­рых воз­ни­кает образ кар­тинки.

Чтобы эти факты и формулы ожили, можно про­ве­сти серию опытов. Поставьте на стол два прямо­уголь­ных зер­кальца, сложив их как рас­пах­ну­тую книжку, и загля­ните в неё. Вы уви­дите ряд вир­ту­аль­ных зер­кал, число кото­рых можно менять, уве­ли­чи­вая или уменьшая угол между зер­каль­ными «стра­ни­цами» книжки. А если меж­ду­ними положить небольшой пред­мет, то и он будет «кло­ни­ро­ван». При­чём трёхмер­ный объект «клоны» пред­ста­вят с раз­ных сто­рон. Напри­мер, у играль­ного кубика вы можете уви­деть сразу пять гра­ней из шести.

Калейдоскоп // Математическая составляющая

Отсут­ствие пере­крытий при отраже­ниях фигур в слу­чае двух зер­кал, обра­зующих «пра­виль­ный» угол вида $\frac{π}{n}$, явля­ется осно­вой калей­до­скопа.

Если осно­ва­нием зер­каль­ной призмы служит много­уголь­ник, то усло­вие «пра­виль­но­сти» всех его углов необ­хо­димо для того, чтобы не пере­кры­ва­лись изоб­раже­ния, полу­ча­емые много­крат­ными отраже­ни­ями его внут­рен­но­сти отно­си­тельно сто­рон. Можно пока­зать, что это усло­вие явля­ется и доста­точ­ным.

Итак, задача опи­са­ния всех возмож­ных кон­струкций калей­до­скопов сво­дится к опи­са­нию много­уголь­ни­ков-осно­ва­ний, у кото­рых все углы «пра­виль­ные».

Много­уголь­ники с чис­лом сто­рон пять и более не под­хо­дят, поскольку углы вида $\frac{π}{n}$ не больше, чем $\frac{π}{2}$, при $n\ge 2$. Из четырёх­уголь­ни­ков под­хо­дят только прямо­уголь­ники.

В слу­чае тре­уголь­ни­ков осно­вой реше­ния задачи служит то, что сумма углов любого тре­уголь­ника равна $π$. Если все углы «пра­виль­ные», то, обо­зна­чив их $\frac{π}{k}$, $\frac{π}{m}$, $\frac{π}{n}$, полу­чаем урав­не­ние $$ \frac{1}{k}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1. $$

Трём его реше­ниям (3, 3, 3), (2, 4, 4) и (2, 3, 6) соот­вет­ствуют три возмож­ных тре­уголь­ных осно­ва­ния калей­до­скопа: рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник с углами $\left(\frac{π}{3}, \frac{π}{3}, \frac{π}{3}\right)$, прямо­уголь­ные тре­уголь­ники с углами $\left(\frac{π}{2}, \frac{π}{4}, \frac{π}{4}\right)$ и $\left(\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{π}{6}\right)$.

Это уже упоми­навшийся «модель­ный» набор $60°$$60°$$60°$, $90°$$45°$$45°$ и $90°$$60°$$30°$.

Раз­ноцвет­ная «начинка» таких тре­уголь­ни­ков (прямо­уголь­ника) в осно­ва­нии калей­до­скопа может быть пре­вращена в узор, видимый в калей­до­скопе, с помощью рисо­ва­ния или компью­тер­ной графики — нужно после­до­ва­тельно отражать тре­уголь­ник (с кар­тин­кой внутри) отно­си­тельно сто­рон, изна­чаль­ных и воз­ни­кающих. При этом после­до­ва­тель­ность отраже­ний может быть любой — узор будет полу­чаться один и тот же! А счаст­ли­вый обла­да­тель калей­до­скопа уви­дит через оку­ляр этот узор как реаль­ный и устой­чи­вый, не меняющийся при лёг­ком наклоне головы наблю­да­теля.

Опи­сан­ный калей­до­скоп — по суще­ству двумер­ный, поскольку видимый в нём узор — плос­кий. Чисто матема­ти­че­ски, не забо­тясь о прак­ти­че­ской реа­ли­за­ции, можно гово­рить о калей­до­скопах и в многомер­ных мирах, и в «искрив­лён­ных» про­стран­ствах, напри­мер на сфере или на плос­ко­сти Лоба­чев­ского. Эти задачи не являются искус­ствен­ными, они тесно свя­заны с раз­лич­ными раз­де­лами матема­тики (от тео­рии групп и тео­рии функций комплекс­ного перемен­ного до тео­рии чисел и алгеб­ра­и­че­ской геомет­рии).

Калей­до­скопы в евкли­до­вых про­стран­ствах или на сфере любой размер­но­сти уже детально изу­чены. А пол­ное опи­са­ние калей­до­скопов в про­стран­ствах Лоба­чев­ского ещё не завершено, хотя калей­до­скопи­че­ские узоры на плос­ко­сти Лоба­чев­ского можно уви­деть даже в музеях, на гра­вю­рах знаме­ни­того гол­ланд­ского худож­ника Мау­рица Эшера.

Результа­том изу­че­ния радующей глаз игрушки стало появ­ле­ние целого матема­ти­че­ского раз­дела — тео­рии дис­крет­ных групп, порож­дён­ных отраже­ни­ями.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Лите­ра­тура

Вин­берг Э. Б. Калей­до­скопы и группы отраже­ний // Матема­ти­че­ское про­свеще­ние. Тре­тья серия. 2003. Вып. 7. Стр. 45—63.

Вин­берг Э. Б. Калей­до­скопы // Соро­сов­ский обра­зо­ва­тель­ный жур­нал. 1997. № 2. Стр. 121—127.

Группа диэдра // Матема­ти­че­ские этюды.

Калей­до­скоп // Матема­ти­че­ские этюды.