Конический фужер

Как уго­во­рить ребёнка выпить злую микс­туру? Можно пойти на «матема­ти­че­скую» хит­рость, и если она сра­бо­тает, то в допол­не­ние к порции лекар­ства ребё­нок полу­чит поучи­тель­ное объяс­не­ние.

Конический фужер // Математическая составляющая

Нальём микс­туру в кони­че­ский бокал и пред­ложим «боль­ному» выпить поло­вину («сред­нее дипло­ма­ти­че­ское» для уго­ва­ри­вающего и сопро­тив­ляющегося). Большин­ство авто­ма­ти­че­ски решит, что «поло­вина» — это «поло­вина по высоте», и… выпьет $7/8$ содержимого бокала, т. е. почти всё!

Конический фужер // Математическая составляющая

А поло­вина бокала будет выпита, если уро­вень жид­ко­сти пони­зится при­мерно на $1/5$ высоты (точ­нее, на $ 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2})}$). Число $\sqrt[3]{2}$ уже встре­ча­лось на преды­дущей стра­нице, его появ­ле­ние здесь вызвано похожими сооб­раже­ни­ями, только формулу объёма шара заме­нит формула объёма конуса.

Конический фужер // Математическая составляющая

Пере­чис­лен­ные «под­ходы» к бокалу изоб­ражены на рисун­ках.

Несколько прак­ти­че­ских заме­ча­ний.

При­ве­дён­ные соот­ноше­ния действуют для любого кони­че­ского фужера, так как не зави­сят от угла конуса.

В матема­тике формулы, связи усло­вий и утвер­жде­ний в тео­ремах — часто вещи обра­тимые, их можно читать-при­ме­нять и в одну сто­рону, и в другую. Так и в нашем при­мере: при­ве­дён­ные матема­ти­че­ские сооб­раже­ния поз­во­ляют разумно обос­но­вать жела­ние выпить больше, чем раз­решают.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Сюжеты «Объём шкурки апель­сина» и «Кони­че­ский фужер» удив­ляют и пока­зы­вают, как легко впасть в заблуж­де­ние в геомет­ри­че­ских оцен­ках. Корень подоб­ных оши­бок в том, что наш разум, оце­ни­вая вели­чины пред­ме­тов, в первую оче­редь воспри­нимает и фик­си­рует их линей­ные размеры, а не объёмы.

Пояс­ним при­ме­ром на плос­ко­сти (двумер­ное про­стран­ство). Если в тре­уголь­нике про­ве­сти все три сред­ние линии, то он раз­де­лится на четыре оди­на­ко­вых тре­уголь­ника. Маленькие тре­уголь­ники подобны исход­ному, все сто­роны уменьшаются в 2 раза; а отноше­ние площа­дей равно $\frac{1}{4}$, квад­рату коэффици­ента подо­бия.

Конический фужер // Математическая составляющая

В трёхмер­ном про­стран­стве всё ана­логично: напри­мер, отноше­ние объёмов шара ради­уса $R$ и шара ради­уса $2R$ равно $\Big(\frac{1}{2}\Big)^3=\frac{1}{8}$.

В при­мере с фуже­ром на сред­нем рисунке запол­нен­ная жид­ко­стью часть бокала конус, подоб­ный «большому» конусу фужера, но все его линей­ные размеры (высота, длина окруж­но­сти осно­ва­ния и т. п.) вдвое меньше. Поэтому отноше­ние объёмов равно кубу коэффици­ента подо­бия — $\Big(\frac{1}{2}\Big)^3$, т. е. $\frac{1}{8}$.