Футбольный мяч

Поверх­ность клас­си­че­ского фут­боль­ного мяча состоит из слегка искрив­лён­ных 12 пра­виль­ных пяти­уголь­ни­ков чёр­ного цвета и 20 пра­виль­ных белых шести­уголь­ни­ков. Модель мяча можно пред­ста­вить сле­дующим обра­зом.

Из 12 пра­виль­ных пяти­уголь­ни­ков и 20 пра­виль­ных шести­уголь­ни­ков с рав­ными сто­ро­нами можно сложить многогран­ник, назы­ва­емый усе­чён­ным ико­саэд­ром.

Ико­саэдр — один из пяти пра­виль­ных многогран­ни­ков. Его назва­ние про­ис­хо­дит от древ­негре­че­ских слов είκοσι — два­дцать, έδρα — осно­ва­ние. У ико­саэдра 12 вершин, 20 гра­ней — пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков, 30 рёбер.

Футбольный мяч // Математическая составляющая

«Отрежем» (отсе­чём) вершины ико­саэдра, отступив от вершин вдоль прямых, направ­лен­ных в центр, на столько, чтобы оставши­еся части гра­ней были пра­виль­ными шести­уголь­ни­ками. Срезы будут пра­виль­ными пяти­уголь­ни­ками. Полу­чивша­яся фигура и есть усе­чён­ный ико­саэдр.

Усе­чён­ный ико­саэдр — один из полупра­виль­ных многогран­ни­ков. Так назы­ваются многогран­ники, у кото­рых все грани — пра­виль­ные много­уголь­ники нескольких раз­ных типов (в отли­чие от пра­виль­ных многогран­ни­ков, все грани кото­рых — оди­на­ко­вые пра­виль­ные много­уголь­ники), а все вершины устро­ены «оди­на­ково», т. е. многогран­ные углы при верши­нах равны (совме­стимы).

При «напол­не­нии воз­ду­хом» модели (усе­чён­ного ико­саэдра) она при­нимает форму сферы, ста­но­вится фут­боль­ным мячом. При этом вершины усе­чён­ного ико­саэдра совпа­дут с «верши­нами» мяча, рёбра перей­дут в швы, а грани — в слегка искрив­лён­ные много­уголь­ники на поверх­но­сти мяча. Таким обра­зом полу­чится мяч — цен­траль­ная про­екция усе­чён­ного ико­саэдра на сферу.

Раз­ду­ва­ние усе­чён­ного ико­саэдра застав­ляет задуматься о степени бли­зо­сти к шару формы изна­чаль­ной модели. Напри­мер, можно оце­ни­вать это сход­ство отноше­нием ради­у­сов концен­три­че­ских сфер — опи­сан­ной (про­хо­дящей через вершины; будущий мяч) и впи­сан­ной. Чем ближе это отноше­ние к еди­нице, тем совершен­нее модель, тем ближе она к иде­ально круг­лому мячу.

А нельзя ли при­думать модель мяча, состо­ящую из плос­ких кус­ков (пане­лей), но более совершен­ную, чем клас­си­че­ская? Можно было бы взять не усе­чён­ный ико­саэдр, а многогран­ник с большим чис­лом вершин, но это не устра­няет принци­пи­аль­ный недо­ста­ток — выступающие над впи­сан­ной сфе­рой «пирамидки» (вершины), мешающие модели стать сфе­рой. К тому же процесс изго­тов­ле­ния суще­ственно услож­ня­ется.

Клас­си­че­ский пят­ни­стый мяч появился только в 1950 году. Он был офици­аль­ным мячом на чемпи­о­на­тах мира с 1970 до 2002 года. Затем наступило время экс­пе­римен­тов, а в 2014 году на чемпи­о­нате мира в Бра­зи­лии состо­я­лась премьера нового офици­аль­ного мяча, полу­чившего назва­ние «Бразука».

Модель «Бразуки» совершен­нее клас­си­че­ской и при этом «явля­ется кубом»! Как и куб, она соби­ра­ется из шести оди­на­ко­вых плос­ких пане­лей, на ней выде­ляются восемь осо­бых точек (вершин), в каж­дой из кото­рых схо­дится по три панели.

Футбольный мяч // Математическая составляющая

На гра­нице каж­дой панели есть четыре угла по $120°$. В верши­нах модели встре­чаются три угла, сумма их вели­чин равна $360°$, поэтому поверх­ность мяча вокруг вершины будет уплощён­ной, выступающей пирамидки не будет.

Панели можно скле­и­вать по линиям гра­ниц между углами, поскольку длины этих линий оди­на­ковы. Выпук­лые участки гра­ниц скле­и­ваются с вогну­тыми, а линии подо­браны так, что в каж­дой точке склейки кри­визна выпук­лого участка больше кри­визны вогну­того. Из‐за этого плос­кие панели при скле­и­ва­нии изги­баются, обра­зуя в результате замкну­тую выпук­лую поверх­ность. Возмож­ность такой склейки гаран­ти­рует тео­рема А. Д. Алек­сан­дрова, ака­демика и автора школь­ного учеб­ника по геомет­рии.

В модели клас­си­че­ского мяча вся кри­визна сосре­до­то­чена в конеч­ном числе «выступающих» вершин. А в модели «Бразуки» она рас­пре­де­лена более рав­но­мерно (по длин­ным рёб­рам), и из‐за этого модель ста­но­вится более близ­кой к сфере.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Офици­аль­ный мяч чемпи­о­ната мира 2018 года в Рос­сии назы­вался «Telstar 18». Его окраска напоми­нала мяч «Telstar» чемпи­о­ната 1970 года в Мек­сике, и по замыслу ФИФА назва­ние «Telstar 18» было данью уваже­ния знаме­ни­тому мячу. А по кон­струкции «Telstar 18» похож на «Бразуку»: его обра­зуют шесть оди­на­ко­вых пане­лей, т. е. это мяч-куб. Отли­чие от мяча бра­зильского чемпи­о­ната — в форме пане­лей и, как след­ствие, в длине швов. У «Telstar 18» суммар­ная длина гра­ниц больше, зна­чит, и кри­визна больше «разма­зана» по поверх­но­сти мяча. Так что этот мяч с точки зре­ния матема­тики — более круг­лый.

Соеди­не­ние двух фак­тов, по отдель­но­сти встре­чавшихся в книге, поз­во­лит создать кра­си­вую модель, изго­тов­ле­ние кото­рой возможно и в домаш­них усло­виях. Пер­вый факт — то, что клас­си­че­ский фут­боль­ный мяч есть усе­чён­ный ико­саэдр. Вто­рой — понима­ние «работы» симмет­рий, порож­дён­ных отраже­ни­ями в зер­ка­лах (такие элементы тео­рии групп встре­ча­лись в ста­тье «Калей­до­скоп»).

Инструкция по изго­тов­ле­нию. Сле­дует взять три оди­на­ко­вых рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ника из зер­каль­ного пла­стика, в каж­дом осно­ва­ние равно 10 см, боко­вые сто­роны — по $9{,}5$ см. Сложите из них трёхгран­ный угол так, чтобы зер­каль­ными были внут­рен­ние поверх­но­сти (грани можно скрепить клейкой лен­той). Ещё одна деталь — пра­виль­ный тре­уголь­ник, не очень большой. Этот тре­уголь­ник надо рас­кра­сить в два цвета, напри­мер в чёр­ный и белый: около каж­дой вершины закра­сить чёр­ным рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, сто­рона кото­рого втрое меньше сто­роны исход­ного, а оставша­яся часть (это пра­виль­ный шести­уголь­ник) будет белой.

Вложив рас­крашен­ный тре­уголь­ник в зер­каль­ный трёхгран­ный угол, неожи­данно уви­дим клас­си­че­ский чёрно-белый фут­боль­ный мяч.

Футбольный мяч // Математическая составляющая

«Вир­ту­аль­ный» мяч будет виден цели­ком, если сто­рона тре­уголь­ника-вкла­дыша будет не больше трети осно­ва­ний рав­но­бед­рен­ных зер­каль­ных тре­уголь­ни­ков.

Магия появ­ле­ния фут­боль­ного мяча — в точно подо­бран­ных парамет­рах зер­каль­ного угла, свя­зы­вающих его с ико­саэд­ром: про­порции этого угла опре­де­ляет пра­виль­ная пирамида, вершина кото­рой — центр ико­саэдра, а осно­ва­ние — грань ико­саэдра.

Точ­ные про­порции: если $a$ — длина ребра ико­саэдра (длина ребра осно­ва­ния в такой пирамиде), то длина боко­вого ребра пирамиды равна ради­усу сферы, опи­сан­ной около ико­саэдра: $$ \large \frac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt{5})}  a ≈ 0{,}95a. $$