Картографические проекции

География, бук­вально «опи­са­ние Земли», начи­на­ется с нагляд­ного пред­став­ле­ния. Самый попу­ляр­ный спо­соб — географи­че­ская карта. Но разгля­ды­ва­ние карты может уди­вить и оза­да­чить. Напри­мер, ост­ров Грен­лан­дия на неко­то­рых кар­тах занимает больше места, чем вся Южная Аме­рика, хотя его площадь в восемь раз меньше. «Белый кон­ти­нент» Антарк­тида может пред­стать и почти круг­лым пят­ном, и широ­кой поло­сой, занимающей всю ниж­нюю часть карты Земли. А изоб­раже­ния основ­ной мате­ри­ко­вой части Рос­сии могут отли­чаться настолько, что на одних кар­тах очер­та­ния Чукотки визу­ально нахо­дятся на одном уровне с кон­ту­рами полу­ост­рова Таймыр, на других — могут быть выше или ниже. На самом деле именно на Таймыре нахо­дится север­ная око­неч­ность мате­ри­ко­вой Рос­сии — мыс Челюс­кин. Чтобы научиться «читать» географи­че­ские карты, стоит позна­комиться с мето­дами их созда­ния.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Форма Земли доста­точно сложна (её назва­ние — геоид), но близка к эллип­со­иду враще­ния с полу­осями 6378 км и 6357 км: «несфе­рич­ность» её настоль­ной копии была бы мил­лимет­ро­вой. Наи­лучший «порт­рет» Земли — гло­бус: про­екция поверх­но­сти Земли на сферу.

Есте­ствен­ная система коор­ди­нат на гло­бусе (и на Земле) — сфе­ри­че­ская, положе­ние точки опре­де­ля­ется двумя углами. Долгота отсчи­ты­ва­ется от нуле­вого (Грин­вич­ского) мери­ди­ана, широта — от эква­тора. На гло­бусе эту систему коор­ди­нат пред­став­ляет сетка — парал­лели и мери­ди­аны с фик­си­ро­ван­ным угло­вым шагом (обычно $10°$$20°$).

Наглядно-понят­ный гло­бус обла­дает и неустра­нимыми недо­стат­ками: напри­мер, невозможно изго­то­вить гло­бус, на кото­ром детально пред­став­лена какая-то мест­ность или город. Полу­чить пра­виль­ное и удоб­ное изоб­раже­ние зем­ной поверх­но­сти на плос­кой карте — основ­ная задача кар­тографии. Матема­ти­че­ская поста­новка: найти отоб­раже­ние сферы (гло­буса) на плос­кость (карту), выве­сти формулы, свя­зы­вающие коор­ди­наты точек на гло­бусе и на карте.

Этой зада­чей и близ­кими вопро­сами гео­де­зии занима­лись многие вели­кие матема­тики, соеди­нявшие изу­че­ние ориги­наль­ной матема­ти­че­ской про­блемы с раз­ра­бот­кой цен­ных прак­ти­че­ских инструмен­тов. Лео­нард Эйлер писал тео­ре­ти­че­ские работы, а ещё лично чер­тил и редак­ти­ро­вал карты, руко­во­дил кар­тографи­че­скими рабо­тами в Ака­демии наук и гор­дился тем, что спо­соб­ство­вал при­ве­де­нию рос­сийской географии «в исправ­нейшее состо­я­ние». К. Ф. Гаусс не только открыл важ­нейшую общую тео­рему, но был также и актив­ным участ­ни­ком поле­вых гео­де­зи­че­ских изме­ре­ний. П. Л. Чебыше­вым была сформу­ли­ро­вана тео­рема о «наи­вы­год­нейшей» (в неко­то­ром смысле) про­екции, кото­рая даёт прак­ти­че­ские рекомен­дации кар­тографам.

Каза­лось бы, окон­ча­тель­ное наи­лучшее реше­ние задачи уже должно быть най­дено. Но на самом деле невозможно создать карту точ­ную, сохра­няющую все рас­сто­я­ния, поэтому на любой плос­кой карте есть искаже­ния. Это сле­дует из тео­ремы Гаусса, назван­ной им самим «заме­ча­тель­ной»: при отоб­раже­нии, сохра­няющем рас­сто­я­ния, одной поверх­но­сти на другую будут совпа­дать их гаус­совы кри­визны в соот­вет­ствующих точ­ках. Гаус­сова кри­визна — это чис­ло­вая харак­те­ри­стика, кото­рая даёт пред­став­ле­ние о степени и харак­тере искрив­лён­но­сти поверх­но­сти в дан­ной точке. И поскольку у гло­буса (сферы) кри­визна всюду положи­тельна, а у плос­ко­сти — нуле­вая, отоб­ра­зить сферу на плос­кость с сохра­не­нием рас­сто­я­ний не удастся. С дру­гой сто­роны, можно дока­зать, что поверх­ность нуле­вой кри­визны можно «раз­вер­нуть» на плос­кость с сохра­не­нием рас­сто­я­ний.

При­чина появ­ле­ния искаже­ний в том, что при любой про­екции (отоб­раже­нии) сферы на плос­кость рас­сто­я­ния между точ­ками изме­няются неоди­на­ково. Степень рас­тяже­ния или сжа­тия длин путей может зави­сеть и от положе­ния точки на гло­бусе, из кото­рой выхо­дят пути, и даже от направ­ле­ния их выхода из точки. Визу­аль­ное пред­став­ле­ние об искаже­ниях можно полу­чить, рас­смат­ри­вая на карте образы оди­на­ко­вых маленьких окруж­но­стей на гло­бусе. Эти образы, назы­ва­емые эллип­сами искаже­ний, демон­стри­руют зави­симость изме­не­ний в рав­но­уда­лён­но­сти точек окруж­но­стей от их цен­тров, то, как эти изме­не­ния выгля­дят по раз­ным направ­ле­ниям.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Но если искаже­ния всюду и раз­ные, то что озна­чает масштаб, все­гда ука­зы­ва­емый на карте? Все при­выкли думать, что это еди­ный коэффици­ент изме­не­ния разме­ров изоб­раже­ний объек­тов на карте в срав­не­нии с разме­рами самих объек­тов на поверх­но­сти Земли. На самом деле на карте при­во­дится так назы­ва­емый глав­ный масштаб — отноше­ние разме­ров кар­тографи­ру­емого гло­буса и Земли. Это оправ­данно, поскольку про­екция гло­буса на карту все­гда выби­ра­ется так, чтобы были точки или линии без искаже­ний. Но необ­хо­димо доба­вить и предо­сте­реже­ние: для других линий масштаб отли­ча­ется от глав­ного и вычис­ле­ние реаль­ной длины пути по изме­ре­ниям на карте не сво­дится к умноже­нию на глав­ный масштаб.

Для исполь­зо­ва­ния карт в прак­ти­че­ских зада­чах жела­тельно, чтобы каки­е‐то харак­те­ри­стики (свойства) на гло­бусе сохра­ня­лись при отоб­раже­нии на карту. По этому принципу среди кар­тографи­че­ских про­екций выде­ляют три основ­ных типа: рав­но­ве­ли­кие, рав­но­промежу­точ­ные, рав­но­уголь­ные.

Рав­но­ве­ли­кая про­екция при отоб­раже­нии на карту сохра­няет площади всех обла­стей. Сле­до­ва­тельно, отноше­ние площа­дей участ­ков зем­ной поверх­но­сти сохра­ня­ется не только на гло­бусе, но и на карте. Замет­ный недо­ста­ток про­екции — зна­чи­тель­ное искаже­ние на общей карте Земли кон­ту­ров круп­ных обла­стей (напри­мер, кон­ти­нен­тов). Карты дан­ного типа при­ме­няются как для реше­ния задач в масшта­бах Земли, когда надо срав­ни­вать площади больших тер­ри­то­рий и целых стран, так и в делах, тре­бующих подроб­ных карт, пла­нов, — в сельском хозяйстве, гео­лого­раз­ведке.

Рав­но­промежу­точ­ность под­ра­зуме­вает сохра­не­ние каких-либо длин. Часто исполь­зу­емый вари­ант — сохра­не­ние длин (глав­ного масштаба) на мери­ди­а­нах. Искаже­ния углов (кон­ту­ров обла­стей) на таких кар­тах меньше, чем при рав­но­ве­ли­кой про­екции. Карты в рав­но­промежу­точ­ной про­екции при­вычны, «хорошо читаются».

Рав­но­уголь­ная про­екция в любой точке сохра­няет углы между путями, выхо­дящими из неё. Из этого усло­вия можно выве­сти, что масштаб в точке для всех направ­ле­ний оди­на­ков (образы окруж­но­стей на сфере — окруж­но­сти на карте) и зави­сит только от положе­ния точки. Карты с рав­но­уголь­ной про­екцией стали неза­ме­нимыми спут­ни­ками в путеше­ствиях, на суше и на море.

Напри­мер, в спор­тив­ном ори­ен­ти­ро­ва­нии удобно рабо­тать с кар­тами в рав­но­уголь­ной про­екции. Во‐пер­вых, рав­но­уголь­ность поз­во­ляет точно идти по азимуту, во‐в­то­рых, на такой карте маленькие тер­ри­то­рии изоб­ражаются почти без искаже­ний их формы, что поз­во­ляет узна­вать детали мест­но­сти.

При пла­ва­нии в открытом море, напро­тив, видимых ори­ен­ти­ров нет. Более четырёх веков глав­ной мор­ской кар­тографи­че­ской про­екцией явля­ется рав­но­уголь­ная про­екция Мер­ка­тора (1569 год). На такой карте мери­ди­аны и парал­лели пред­став­лены вер­ти­каль­ными и гори­зон­таль­ными (вза­имно перпен­ди­ку­ляр­ными) прямыми.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Чтобы решить задачу про­кла­ды­ва­ния курса корабля, можно про­сто соеди­нить на карте два пункта отрез­ком и опре­де­лить угол пере­се­че­ния прямой с мери­ди­а­нами. Вслед­ствие рав­но­уголь­но­сти про­екции Мер­ка­тора под тем же углом будет пере­се­кать мери­ди­аны Земли марш­рут, опре­де­ля­емый дан­ной прямой. Полу­чен­ный марш­рут посто­ян­ного путе­вого угла — не наи­крат­чайший, но управ­ле­ние кораб­лём будет про­стым и понят­ным: держать посто­ян­ный курс.

Про­екция Мер­ка­тора служит осно­вой также «сухопут­ных» топографи­че­ских карт в ряде стран Европы и Аме­рики. Она же — основа самых рас­про­стра­нён­ных элек­трон­ных карт, уста­нов­лен­ных на каж­дом смарт­фоне, и программ в навига­то­рах.

Постро­ить кар­тографи­че­скую про­екцию с задан­ными свойствами геомет­ри­че­ски возможно раз­ными спо­со­бами. Среди самых рас­про­стра­нён­ных вари­ан­тов два «под­ска­зы­вает» упоми­навша­яся тео­рема Гаусса — это цилин­дри­че­ская и кони­че­ская про­екции. На пер­вом шаге сфера отоб­ража­ется на раз­вёр­ты­вающуюся поверх­ность (нуле­вой кри­визны) — цилиндр или конус. А затем эту поверх­ность с полу­чен­ным изоб­раже­нием «раз­во­ра­чи­вают» на плос­кость, уже без искаже­ний. Самый нагляд­ный вари­ант, можно ска­зать, клас­си­че­ский — когда ось цилин­дра (или конуса) совпа­дает с осью Земли.

Если цилиндр каса­ется гло­буса, то эква­тор — их общая линия — при про­екции «оста­ётся на месте», поэтому масштаб вдоль эква­тора не меня­ется. Более того, каса­ние поверх­но­стей озна­чает их сход­ство в малой окрест­но­сти точки каса­ния, поэтому неуди­ви­тельно, что и искаже­ния длин при пере­ходе со сферы на цилиндр ока­зы­ваются весьма небольшими в узкой полоске вдоль эква­тора.

Можно выбрать и цилиндр, радиус кото­рого меньше, чем у гло­буса. Пере­се­че­нием сферы и цилин­дра будут две окруж­но­сти, масштаб будет сохра­няться вдоль обеих парал­ле­лей. В част­но­сти, это можно исполь­зо­вать при кар­тографи­ро­ва­нии тер­ри­то­рий, рас­по­ложен­ных и к северу, и к югу от эква­тора. Но и для тер­ри­то­рии в одном полуша­рии такая про­екция пред­став­ляет инте­рес: можно обес­пе­чить отсут­ствие искаже­ний в точ­ках важ­ной для страны парал­лели.

При есте­ствен­ном про­еци­ро­ва­нии гло­буса на цилиндр мери­ди­аны пере­хо­дят в вер­ти­каль­ные прямые, парал­лели — в окруж­но­сти. При раз­во­ра­чи­ва­нии цилин­дра окруж­но­сти-парал­лели пере­хо­дят в прямые, и сетка мери­ди­а­нов и парал­ле­лей на гло­бусе пре­враща­ется в прямо­уголь­ную сетку на карте-прямо­уголь­нике.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Если цилиндр каса­ется гло­буса, то декар­това коор­ди­ната $x$ про­порци­о­нальна долготе: $x\sim \lambda$. Масштаб на каж­дой парал­лели будет посто­ян­ным, но раз­лич­ным на раз­ных парал­ле­лях (поскольку на гло­бусе они имеют раз­ную длину). А вот с декар­то­вой коор­ди­на­той $y$ одно­знач­но­сти нет: кар­тинку на цилин­дре можно рас­тяги­вать по вер­ти­кали, при­чём коэффици­ент рас­тяже­ния может зави­сеть от широты точки.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Напри­мер, можно выбрать рас­тяже­ние так, что про­екция окажется рав­но­промежу­точ­ной (на мери­ди­а­нах). Доста­точно в каче­стве вто­рой декар­то­вой коор­ди­наты взять широту: $y\sim\varphi$. Геомет­ри­че­ски: ниточку, натя­ну­тую от эква­тора до полюса по мери­ди­ану, рас­прям­ляют на цилиндр. Эту про­екцию при­думал древ­негре­че­ский кар­тограф Марин Тир­ский (II век н. э.). В современ­ном мире она исполь­зу­ется во многих гео­информаци­он­ных системах.

Рав­но­ве­ли­кую цилин­дри­че­скую про­екцию раз­ра­бо­тал в 1772 году матема­тик и аст­ро­ном Иоганн Лам­берт. (Кстати, он же чуть раньше дока­зал, что знаме­ни­тое число $π$ — ирраци­о­наль­ное.) В этой про­екции $y\sim\sin\varphi$, т. е. про­еци­ро­ва­ние дуги мери­ди­ана на цилиндр про­ис­хо­дит гори­зон­тально, «по опре­де­ле­нию» синуса. Рав­но­ве­ли­кость выте­кает из того, что площадь полосы между двумя парал­ле­лями на гло­бусе равна площади её гори­зон­таль­ной про­екции на цилиндр.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Можно постро­ить и рав­но­уголь­ную про­екцию, если вспом­нить про связь рав­но­уголь­но­сти с неза­ви­симо­стью масштаба в точ­ках от выбора направ­ле­ний выхо­дящих путей. Надо выбрать рас­тяже­ние так, чтобы в каж­дой точке масштаб вдоль парал­лели совпа­дал с масшта­бом вдоль мери­ди­ана. Масштаб вдоль парал­лели опре­де­ля­ется тем, что про­екция цилин­дри­че­ская, он уве­ли­чи­ва­ется при движе­нии от эква­тора к полюсу. Поэтому и рас­сто­я­ния между гори­зон­таль­ными обра­зами парал­ле­лей стан­дарт­ной сетки на гло­бусе уве­ли­чи­ваются с ростом широты. В результате полу­ча­ется уже зна­ко­мая про­екция Мер­ка­тора, в кото­рой $y\sim\ln \tg \bigl(\frac{\varphi}{2}+\frac{π}{4}\bigr)$. При при­ближе­нии точки на гло­бусе к полю­сам зна­че­ние этой функции «ухо­дит в бес­ко­неч­ность», поэтому образы полю­сов физи­че­ски не могут появиться на такой карте, и обычно её уко­ра­чи­вают, не изоб­ражая на ней поляр­ные шапочки.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Кони­че­ские про­екции похожи на цилин­дри­че­ские — и по постро­е­нию, и по свойствам. В кони­че­ской про­екции, как и в цилин­дри­че­ской, мери­ди­аны пере­хо­дят в прямые на плос­кой карте, но парал­лели теперь пре­вращаются в дуги окруж­но­стей, при этом линии раз­ных семейств, как и раньше, пере­се­каются под прямыми углами.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Но у конуса в срав­не­нии с цилин­дром больше настроек: можно выби­рать и положе­ние вершины на оси гло­буса, и угол рас­твора. Напри­мер, можно выбрать параметры конуса так, что он будет касаться поверх­но­сти гло­буса по выбран­ной парал­лели на тер­ри­то­рии кар­тографи­ру­емой страны. Как и в слу­чае каса­ния гло­буса с цилин­дром, в точ­ках парал­лели масштаб сохра­нится, а в полосе, окружающей парал­лель, искаже­ния будут незна­чи­тель­ными.

Пере­се­че­ние кону­сом гло­буса по двум окруж­но­стям, близ­ким к север­ной и южной гра­ни­цам страны, сохра­няет масштабы на окруж­но­стях и поз­во­ляет наде­яться, что и в полосе между ними (т. е. на всей тер­ри­то­рии страны) искаже­ния будут не очень зна­чи­тель­ными. Оба вари­анта «настройки» кони­че­ской про­екции осо­бенно акту­альны при кар­тографи­ро­ва­нии стран, про­тяжён­ных по долготе — напри­мер, Рос­сии.

В кони­че­ской про­екции (подобно цилин­дри­че­ской) рас­тяже­нием вдоль обра­зующих конуса можно добиться, чтобы про­екция стала рав­но­ве­ли­кой, рав­но­промежу­точ­ной или рав­но­уголь­ной. В рос­сийской кар­тографии среди кони­че­ских про­екций рав­но­промежу­точ­ные чаще при­ме­няют для созда­ния карт всей страны, а рав­но­уголь­ные исполь­зуются для кар­тографи­ро­ва­ния отдель­ных обла­стей.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Коор­ди­нат­ные сетки цилин­дри­че­ской или кони­че­ской про­екции в клас­си­че­ском вари­анте (когда ось совпа­дает с осью гло­буса) можно узнать сразу. В пер­вом слу­чае сетка прямо­уголь­ная, во вто­ром — состоит из прямых и дуг окруж­но­стей. Ещё одна клас­си­че­ская коор­ди­нат­ная сетка состоит из концен­три­че­ских окруж­но­стей и их ради­у­сов. Окруж­но­сти — образы парал­ле­лей на гло­бусе, ради­усы — мери­ди­а­нов. Так выгля­дят карты в азиму­таль­ной поляр­ной про­екции, их форма соот­вет­ствует сетке — круг­лая. «Изго­тов­ле­ние» клас­си­че­ской азиму­таль­ной сетки можно пред­ста­вить так: вырежем из рези­но­вого гло­буса шапочку вокруг полюса и при­жмём её к плос­ко­сти, чтобы она «рас­плющи­лась». Пере­ход парал­ле­лей в окруж­но­сти и мери­ди­а­нов в отрезки порож­дает соот­вет­ствующие пре­об­ра­зо­ва­ния угло­вых коор­ди­нат на гло­бусе в поляр­ные коор­ди­наты на карте: широта ста­но­вится харак­те­ри­сти­кой уда­лён­но­сти окруж­но­сти от цен­тра (радиус), долгота пере­хо­дит в поляр­ный угол.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Тип этой сетки не изме­нится, если рас­тяги­вать кар­тинку вдоль ради­у­сов (коэффици­ент рас­тяже­ния в точке, т. е. степень «рас­плющи­ва­ния» рези­но­вой шапочки, зави­сит от рас­сто­я­ния до цен­тра и не зави­сит от направ­ле­ния). Сво­бода действий поз­во­ляет созда­вать азиму­таль­ные про­екции с тре­бу­емыми свойствами.

Азиму­таль­ная рав­но­ве­ли­кая про­екция (И. Лам­берт): гло­бус лежит на плос­ко­сти карты; хорда, соеди­няющая точку каса­ния с точ­кой на гло­бусе, «шар­нирно» опус­ка­ется в плос­ко­сти мери­ди­ана на карту, опре­де­ляя про­екцию точки.

А на эмблеме Орга­ни­за­ции Объеди­нён­ных Наций пред­став­лена азиму­таль­ная поляр­ная рав­но­промежу­точ­ная про­екция (не меняются рас­сто­я­ния вдоль мери­ди­а­нов).

Картографические проекции // Математическая составляющая

Целая группа азиму­таль­ных про­екций полу­ча­ется с помощью цен­траль­ного про­еци­ро­ва­ния. Поляр­ный вари­ант — когда плос­кость карты каса­ется гло­буса в одном из полю­сов, а центр про­екции нахо­дится на оси Земли: вне Земли — внеш­няя азиму­таль­ная про­екция, на поверх­но­сти (в полюсе) — сте­реографи­че­ская, в цен­тре Земли — гно­мо­ни­че­ская. Азиму­таль­ная про­екция точки на гло­бусе — пере­се­че­ние с плос­ко­стью карты луча, про­ве­дён­ного из цен­тра про­екции через дан­ную точку. В зави­симо­сти от рас­по­ложе­ния цен­тра меняются и свойства про­екции, и её возмож­ные при­ме­не­ния.

Внеш­няя про­екция — взгляд из кос­моса со спут­ника на обращён­ное к нему полуша­рие Земли.

Сте­реографи­че­ская про­екция — самая «умная», она сохра­няет все углы (т. е. явля­ется рав­но­уголь­ной) и в допол­не­ние сохра­няет один, но важ­ный тип кри­вых —окруж­но­сти. Точ­нее, окруж­но­сти, не про­хо­дящие через полюс, пере­хо­дят в окруж­но­сти на плос­ко­сти, а про­хо­дящие через него (не только мери­ди­аны!) — в прямые. Эта про­екция пред­став­ляет на карте всю поверх­ность Земли, исклю­чая полюс — центр про­екции.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Если центр про­екции нахо­дится в цен­тре Земли, то дуга любого большого круга пере­хо­дит в прямую. Это озна­чает, что крат­чайший путь между точ­ками поверх­но­сти Земли изоб­ража­ется на карте отрез­ком прямой, ста­но­вится «видимым». И хотя про­екция не сохра­няет рас­сто­я­ния, углы и площади, она ока­зы­ва­ется полез­ным инструмен­том.

Все опи­сан­ные кар­тографи­че­ские про­екции были пред­став­лены в клас­си­че­ских поляр­ных вари­ан­тах — их ось совпа­дала с осью гло­буса. Но для созда­ния карт спе­ци­аль­ного назна­че­ния можно пере­ве­сти ось про­екции и на дру­гой зем­ной диаметр. С одной сто­роны, при­выч­ные коор­ди­нат­ные сетки при косой про­екции могут изме­ниться до неузна­ва­емо­сти, с дру­гой — карта ста­но­вится ещё более гиб­ким инструмен­том. Напри­мер, подоб­ную идею реа­ли­зуют в авиаци­он­ных и сейсми­че­ских кар­тах, где рас­сто­я­ние от фик­си­ро­ван­ного цен­тра до любой точки должно быть нагляд­ным и легко изме­ря­емым. Удоб­ный вари­ант — азиму­таль­ная рав­но­промежу­точ­ная карта, цен­тром кото­рой служит центр событий.

Рас­смот­рен­ная клас­сифи­кация кар­тографи­че­ских про­екций, осно­ван­ная на спо­собе про­еци­ро­ва­ния (цилин­дри­че­ские, кони­че­ские, азиму­таль­ные) и на типе искаже­ний (рав­но­ве­ли­кие, рав­но­промежу­точ­ные, рав­но­уголь­ные), не явля­ется пол­ной.

Чита­тель может встре­тить про­екции, коор­ди­нат­ные сетки кото­рых лишь напоми­нают одну из клас­си­че­ских. В назва­ниях таких про­екций отражают и то, на что они похожи, и то, что они «нена­сто­ящие». Напри­мер, есть общие карты Земли, на кото­рых парал­лели — прямые, а мери­ди­аны при при­ближе­нии к полю­сам изги­баются в сто­рону Грин­вич­ского мери­ди­ана. Такая сетка напоми­нает клас­си­че­скую прямо­уголь­ную, и про­екцию назы­вают псев­доци­лин­дри­че­ской.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Инте­рес­ные и полез­ные про­екции можно полу­чить, если усло­вия сохра­не­ния свойств сде­лать менее катего­рич­ными, точ­ными, жёст­кими. В част­но­сти, речь может идти о созда­нии «гар­мо­нич­ной» про­екции, в кото­рой всё хорошо в сред­нем: мини­ми­зи­ру­ется суммар­ное искаже­ние углов, площа­дей и т. д. Задача отыс­ка­ния такой про­екции была постав­лена П. Л. Чебыше­вым, и им же была сформу­ли­ро­вана тео­рема, ставшая в кар­тографии рабо­чим инструмен­том: среди рав­но­уголь­ных про­екций обла­сти зем­ной поверх­но­сти наи­лучшей явля­ется та, у кото­рой масштаб вдоль гра­ницы — вели­чина посто­ян­ная.

До сих пор рас­сказ о кар­тографи­че­ских про­екциях носил опи­са­тельно-нагляд­ный харак­тер. В матема­ти­че­ской кар­тографии уже давно чисто геомет­ри­че­ские под­ходы заме­нены ана­ли­ти­че­скими, формуль­ными. Задачи, усло­вия, тре­бо­ва­ния, кото­рым должна соот­вет­ство­вать созда­ва­емая карта, пре­вращаются в урав­не­ния, свя­зы­вающие коор­ди­наты точек на гло­бусе и на карте. На этом языке может быть пред­став­лено всё: от жела­ния полу­чить прямо­уголь­ную сетку до рав­но­уголь­но­сти будущей про­екции. При­чём в урав­не­ниях можно отра­зить не только «упрощён­ный» сфе­ри­че­ский гло­бус, но и более близ­кий к реаль­но­сти гло­бус-эллип­соид. Урав­не­ния слож­ные, их изу­че­ние и реше­ние все­гда тре­бо­вало не только упор­ства и изоб­ре­та­тель­но­сти, но и исполь­зо­ва­ния «новейших» матема­ти­че­ских достиже­ний. Ещё в про­екции Мер­ка­тора появи­лись тангенсы и дико­вин­ные для того времени лога­рифмы; сте­реографи­че­ская про­екция тесно свя­зана с изу­че­нием комплекс­ных чисел. И в наши дни с при­ме­не­нием раз­но­об­раз­ных матема­ти­че­ских инструмен­тов раз­ра­ба­ты­ваются новые кар­тографи­че­ские про­екции. Но теперь они служат не только штурма­нам и путеше­ствен­ни­кам, а всем, кто выби­рает марш­рут в современ­ном мире.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Рав­но­уголь­ные про­екции в каж­дой точке сохра­няют углы между про­хо­дящими через неё путями и масштаб по всем направ­ле­ниям. А для страны, изоб­раже­ние кото­рой на гло­бусе явля­ется одно­связ­ной обла­стью (т. е. гра­ница состоит из одного «куска», явля­ется связ­ной кри­вой), такая про­екция при­об­ре­тает допол­ни­тель­ные настройки. Знаме­ни­тую тео­рему Бер­н­харда Римана из комплекс­ного ана­лиза о конформ­ных (сохра­няющих углы) отоб­раже­ниях можно перефра­зи­ро­вать на кар­тографи­че­ском языке: для любой «одно­связ­ной» страны можно подо­брать рав­но­уголь­ную про­екцию так, что плос­кая карта страны будет кругом, а её сто­лица — цен­тром этого круга.

Для инте­ре­сующихся тео­рией функций комплекс­ного перемен­ного при­ве­дём пол­ную форму­ли­ровку тео­ремы Римана. Для любой одно­связ­ной обла­сти $G$ в расши­рен­ной комплекс­ной плос­ко­сти $\overline{\mathbb C}$, гра­ница кото­рой содержит более одной точки, най­дётся конформ­ное отоб­раже­ние обла­сти $G$ на еди­нич­ный круг $B_1(0)= \{w\colon |w|<1\}$. Такое отоб­раже­ние будет един­ствен­ным, если выбрать про­из­воль­ные $z_0\in G$, $w_0\in B_1(0)$, $α\in [0, 2π)$ и задать усло­вия норми­ровки: $f(z_0)=w_0$, $\arg f'(z_0)=α$.

При рас­смот­ре­нии рав­но­ве­ли­кой цилин­дри­че­ской про­екции было отме­чено, что площадь сфе­ри­че­ской полосы, выре­за­емой двумя парал­лель­ными плос­ко­стями, равна площади соот­вет­ствующей цилин­дри­че­ской полосы. Это при­во­дит к инте­рес­ному наблю­де­нию: площадь полосы на гло­бусе зави­сит только от рас­сто­я­ния между секущими плос­ко­стями, но не зави­сит от бли­зо­сти полосы к эква­тору или полюсу. «Съе­доб­ное» тол­ко­ва­ние: если круг­лый неочищен­ный апель­син наре­зать на лом­тики оди­на­ко­вой толщины, то и площадь шкурки у всех кус­ков будет оди­на­кова.

Картографические проекции // Математическая составляющая

Поня­тие кри­визны встре­ча­ется в нескольких сюже­тах книги, геомет­ри­че­ский взгляд на это поня­тие — тема ста­тьи «Искрив­лён­ные миры».

Слово «карта» — ядро термина «кар­тография». Оно при­шло из латыни (carta), а туда попало из Греции как назва­ние бумаги из папи­руса. Географи­че­ские карты в немец­ком, рус­ском, фран­цуз­ском — от этого корня. А в английском, испан­ском, ита­льян­ском — это, соот­вет­ственно, map, mapa, mappa (слова тоже родом из латыни, где mappa — ткань, сал­фетка; в латынь это слово при­шло из фини­кийского языка). Рас­хож­де­ние назва­ний свя­зано с мате­ри­а­лом, кото­рый исполь­зо­вали в раз­ных стра­нах при изго­тов­ле­нии карт — бумага или ткань. Любопытно, что играль­ные карты во всех этих стра­нах делали из бумаги (card, karte, carte и т. д.).

Позна­комиться с результа­тами вели­ких матема­ти­ков в обла­сти кар­тографии можно по издан­ным на рус­ском языке сбор­ни­кам их работ: Лео­нард Эйлер «Избран­ные кар­тографи­че­ские ста­тьи» (М.: Изд‐во гео­де­зи­че­ской лите­ра­туры, 1959); Карл Фри­дрих Гаусс «Избран­ные гео­де­зи­че­ские сочи­не­ния» (М.: Изд‐во гео­де­зи­че­ской лите­ра­туры, 1957, 1958); Паф­ну­тий Льво­вич Чебышев «Пол­ное собра­ние сочи­не­ний» (Т. 5: Про­чие сочи­не­ния. Биографи­че­ские мате­ри­алы. М.: Изд‐во АН СССР, 1951).

Лите­ра­тура

Бере­зин В. Н., Смо­лян­ский М. Л. Порт­реты Земли // Жур­нал «Квант». 1970. № 7. Стр. 10—25.

Мар­ку­ше­вич А. И. Комплекс­ные числа и конформ­ные отоб­раже­ния. — 2‐е изд. — М.: ГИФМЛ, 1960. — (Попу­ляр­ные лекции по матема­тике; Вып. 13). — [Стр. 29—31].

Куп­рин А. М. Слово о карте. — М.: Недра, 1987.

Географи­че­ский атлас для учи­те­лей сред­ней школы. — 4‐е изд. — М.: ГУГК, 1985.

Баг­ров Л. Исто­рия рус­ской кар­тографии. — М.: Центрпо­лиграф, 2005.

Буга­ев­ский Л. М. Матема­ти­че­ская кар­тография: Учеб­ник для вузов. — М.: Зла­то­уст, 1998.

Бер­лянт А. М. и др. Кар­то­ве­де­ние: учеб­ник для вузов. — М.: Аспект Пресс, 2003. — (Клас­си­че­ский уни­вер­си­тет­ский учеб­ник).