Cтр. 16

Математика транспортных потоков
Поделиться…

В 70—80–е годы прошлого века США и страны Западной Европы, а затем и Россия столкнулись с серьёзной проблемой. Число пользователей транспортных сетей увеличилось настолько, что те перестали справляться с нагрузкой. Как следствие — ущерб финансовый, экологический…

И всё это несмотря на то, что задумываться над транспортными проблемами ста ли ещё раньше, в 50—60–е годы XX века. И уже тогда стало понятно, что для решения этих проблем необходимо участие математиков и физиков.

Наивное представление о том, что для решения проблемы пробок достаточно увеличить количество дорог, было опровергнуто уже тогда. Математики придумали пример дорожной сети, в которой после ввода дополнительной дороги эффективность сети уменьшалась. Естественное желание автомобилистов использовать новую дорогу для выбора оптимального по времени маршрута неожиданно приводило к увеличению времени проезда для всех водителей!

Было разработано много интересных подходов к моделированию транспортных потоков с целью оптимального управления ими, но основой для всех предлагаемых решений являются два раздела прикладной математики — вычислительная гидродинамика и исследование операций.

Гидродинамика изучает движение жидкости и газа. Применение методов этой науки в транспортных задачах основано на представлении потока машин как течения по системе каналов переменной ширины сжимаемой жидкости, у которой скорость течения падает с возрастанием плотности. Объяснение аналогии следующее: чем больше на дороге машин (т. е. чем выше плотность), тем меньше средняя скорость потока. Так что всем нам «повезло»: достижения классической гидродинамики, накопленные за всю её историю, стали мощными инструментами для изучения транспортных потоков. Гидродинамический подход используется для краткосрочных расчётов потоков, например, с целью оптимального управления светофорной сигнализацией.

Второй подход основан на теории игр и элементах теории макросистем и используется для долгосрочного планирования. Каждый участник движения пытается минимизировать свои затраты (временные, денежные и т. п.) — возникает «игра». Можно показать, что данная игра приходит в равновесное состояние — ни один из участников не может уменьшить свои затраты, изменив стратегию в одностороннем порядке. Однако это равновесное состояние скорее всего не будет социальным оптимумом — ситуацией, когда суммарные потери всех участников движения минимальны. Поэтому целью оптимального управления транспортными потоками становится достижение ситуации, близкой к социальному оптимуму.

Один из основных механизмов борьбы с пробками — оптимальное расщепление транспортного потока на частный и общественный транспорт, оптимизация каждого из выделенных потоков. Инструментов оптимизации много: регулирование стоимости проезда на общественном транспорте и интенсивность его движения, введение выделенных полос для общественного транспорта, введение платных дорог и платных парковок для частного транспорта. Например, доказано (и даже описано, как этого достичь), что всегда можно взимать плату за проезд по участкам дорог так, чтобы в итоге возникла ситуация социального оптимума.

В современном мире в задачах изучения транспортных сетей появились новые обстоятельства. В ближайшей перспективе мы сможем в реальном времени получать информацию о каждом автомобиле. Необходимо научиться обрабатывать эту информацию с такой скоростью, с такой полнотой, чтобы можно было её использовать для решения всевозможных транспортных проблем: от процесса управления дорожной ситуацией до перспективного планирования. Подобная работа с большими массивами данных требует самых современных математических методов.

Но для применения этих инструментов надо перебросить мост от изучаемых данных к математическому инструментарию, надо выбрать математическую модель для описания данного явления. Выбор математической модели — искусство, требующее от исследователя ещё и высочайшей математической культуры, что включает в себя широкие познания в современной математике.

Разработка методов работы с большими объёмами данных позволит не только моделировать транспортные потоки, но и решать задачи биоинформатики, компьютерной безопасности, проектирования конструкций и других областей.

Литература

  • Гасников А. В., Кленов С. Л., Нурминский Е. А., Холодов Я. А., Шамрай Н. Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков. — М.: МЦНМО, 2013.
  • Вукан Р. Вучик. Транспорт в городах, удобных для жизни. — М.: Территория будущего, 2011. — [Оригинал: Vukan R. Vuchic. Transportation for Livable Cities].