Cтр. 132

Прикладная математика и техника
Поделиться…

Говоря о математике, надо прежде всего дать определение, что такое математика, каково её назначение и каковы её задачи.

Обычное самое общее определение: математика есть наука о величинах, точно измеренных.

Измерить какую–либо величину значит сравнить её с величиною с нею однородною, принятой за единицу, и выразить полученное отношение числом. Отсюда более частное определение: математика есть наука о числах вообще.

Надо помнить, что есть множество «величин», т. е. того, к чему приложимы понятия «больше» и «меньше», но величин точно не измеренных, например, ум и глупость, красота и безобразие, храбрость и трусость, находчивость и тупость и т. д. — для измерения этих величин нет единиц, эти величины не могут быть выражены числами — они не составляют предмета математики.

Понятие о числе как результате счёта относится к временам доисторическим — самые первобытные народы, которых открывали в дебрях Африки или Новой Гвинеи, не только не имевшие письменности, но находившиеся на самой низшей степени развития, всегда уже умели считать, по крайней мере небольшие числа.

Одна из первых областей, в которой потребовалось применять измерение, были земельные участки с глубочайшей древности уже тесно населённых благодатных долин Евфрата и Нила, потом потребовалось измерять объём, например, при работах каменных или земляных. Отсюда зародилось учение о свойствах пространства — геометрия.

Явилась надобность измерять время сперва по счёту дней, месяцев, годов, затем более точно подразделяя день на части. Устанавливается связь между временем и течением небесных светил — астрономия, затем связь между местом тела в пространстве и временем — учение о движении и его свойствах, всякое движение на земле требует приложения силы, постигаемой мускульным чувством — зародилась механика, но в древности она сперва пошла по ложному пути, намеченному Аристотелем примерно за 300 лет до нашей эры, и шла по этому пути до 1630–х годов, до Галилея, т. е. более 1900 лет.

Явления света изучались в древности, но прочие явления окружающего нас мира, т. е. теплоту, электричество, магнетизм, стали изучать примерно 300 лет тому назад — с того времени появилась физика как наука.

Но ведь жизнь текла тысячелетиями своим чередом с её обычными потребностями и необходимостью их удовлетворения, накоплялся практический опыт, который передавался преемственно из поколения в поколение, передавался от мастера к ученику, становившемуся затем мастером, появились и развились ремёсла и искусства, т. е. способы обработки природных материалов для придания им нужной формы, нужных качеств и т. д. Началась добыча и обработка металлов: меди, олова, цинка, железа, свинца, серебра, золота.

От глубочайшей древности дошли до нас сооружения, предметы искусства, утвари, оружия, инструменты и прочее, свидетельствующие о том, что за много тысячелетий до нашей эры было в значительной мере развито то, что теперь составляет необходимую область техники вообще, в обширном смысле этого слова.

Достаточно взглянуть на мелкую, изумительно отчётливую резьбу иероглифов на сфинксе, стоящем в Ленинграде против Академии художеств, чтобы видеть, что эта резьба в твердейшем граните могла быть исполнена лишь острым твёрдым зубилом, — теперь бы его сделали из лучшей инструментальной стали, а ведь сфинксу этому насчитывают не то 3500, не то 4000 лет. Значит, кто–то делал это зубило из какого–то металла, до сих пор не знают какого именно, кто-то добывал металлы из руды, кто–то подвергал их дальнейшей обработке, кто–то готовил из них инструменты и, значит, была развита техника целого ряда производств, когда о математике как науке и помину не было.

С глубочайшей древности идёт тот разлад между «техникой» и «математикой», который не исчез и поныне.

Математика как наука стала развиваться в школах древнегреческих философов лет за 400 до нашей эры и там получила особый отпечаток — она стала одной из главных составных частей философии, как образец точных умозаключений и точных способов получения непреложных сложнейших выводов из самых простых самоочевидных предпосылок, полагаемых в основание.

Получилась наука, в которой всё было абсолютно точно, все выводы которой были связаны в одну непрерывную логическую цепь строгими
доказательствами, но эта наука оперировала над предметами идеализированными, так сказать воображаемыми, например: точка, прямая, плоскость и т. п. Свойства их устанавливались строго логическими рассуждениями чисто умозрительно, всякое свидетельство чувств, всякий опыт или наблюдение отвергались бесповоротно и в рассуждение безусловно не допускались.

Отсюда ясна самая сущность разлада между математикой и техникой — в технике всё основано не на чистом умозрении и отвлечённой логике, а на свидетельстве чувств: техник должен видеть, слышать, осязать, нюхать, пробовать на язык, он должен развивать все свои чувства и верить им. Для него достаточно доказательство, математиком не признаваемое: надо то–то и то–то делать так–то и так–то, потому что если так делать, то получалось и получится хорошее изделие: поступи иначе — или ничего не получишь, или получишь дрянь; попробуй и убедишься.

Таким образом, техника развивалась сама по себе своим опытом, своею преемственностью и достигла, как уже сказано, высокой степени совершенства во многих областях, гораздо раньше самого появления математики как науки, а после того техника продолжала идти и совершенствоваться независимо своим путём ещё в течение примерно двух тысячелетий. За это время математика в продолжение тысячелетнего мрака средневековья не только ничего нового не получила, но утратила и то, что имела и унаследовала от древних греков, творения которых стали вновь изучаться примерно с 1500–х годов. Одно приобретение надо отметить: около 1000 года через арабов пришла из Индии современная система начертания любого числа при помощи десяти цифр.

Между тем за тысячелетие от 500 до 1500 года мы можем проследить значительное развитие техники, хотя бы в виде тех неподражаемых готических храмов, построенных неведомыми мастерами, храмов, поражающих не только размерами, красотою форм, красотою линий, но и лёгкостью сооружения, разумным использованием материала, соблюдением даже в деталях, например в контрфорсах, истинных принципов строительной механики, которой тогда не было, но и быть не могло, так как даже правило простого сложения сил, называемое правилом параллелограмма сил, известно не было.

Это ещё более укореняло сознание, что математика в сущности есть «переливание из пустого в порожнее», ибо всё, что в ней есть, взято из её основных аксиом, которые казались до тривиальности очевидными, например, две вещи порознь равные третьей — равны между собою, целое больше своей части, и т. п. Значит, всеобъемлющий ум видел бы сразу в этих аксиомах и все их следствия, т. е. всю математику…

Наконец, наступил XVII век, Галилей был в расцвете своего гения, появились Декарт, Кеплер, Гюйгенс, Ньютон, Лейбниц. Зародилась новая наука механика как наука о движении и силах, и к созданному Архимедом ещё за 250 лет до нашей эры учению о равновесии сил параллельных, к учению о центре тяжести прибавилось учение совершенно новое, шедшее вразрез с воззрениями Аристотеля. Новые вопросы потребовали и новых методов для своего решения; в математике открывается исчисление бесконечно малых или дифференциальное и интегральное исчисление, древним неизвестное.

В последней четверти этого XVII века Ньютон кладёт основание механике не только как науке математической, но вместе с тем и как науки естественной, прикладной. Механика в его руках почерпает свои начала из опыта и наблюдения, результаты коих сведены им в три основных закона или аксиомы движения; математические выводы из этих законов проверяются опять–таки опытом и наблюдениями и служат им неопроверженным подтверждением. Ньютон свои выводы прилагает сперва главным образом к изучению движения небесных тел.

С Галилея, Ньютона и Гюйгенса берёт своё начало не только механика, но и новая физика, которая стремится «по наблюдаемым явлениям найти силы природы, а затем по силам предугадывать новые явления».

В XVII столетии мы имеем гении братьев Бернулли, Эйлера, Лагранжа, Лапласа, которые, развивая созданные Ньютоном и Лейбницем новые методы математики, начинают применять их не только к изучению движения небесных светил, но и к изучению явлений земных.

Эйлер творит во всех областях математики, но при этом не пренебрегает и приложениями; так, в 1749 году он издаёт двухтомное сочинение «Scientia Navalis» — «Морская наука», содержащее учение о мореходных качествах корабля. Даёт теорию гидравлических турбин, определяет, какое необходимо придавать очертание зубцам зубчатых колёс, издаёт в трёх томах «Диоптрику», где устанавливает способы расчёта оптических стёкол для телескопов и микроскопов. Переводит и настолько дополняет сочинение Робинса по артиллерии, что его перевод вновь переводится с немецкого на английский язык и т. д. Всего им написано сверх 14 томов крупных сочинений, ещё 865 отдельных статей, так что полное собрание его сочинений будет заключать не 45 громадных томов, как сперва предполагалось, а 60, из них 22 уже вышли.

Авторитет Эйлера заставил парижскую Академию наук обратить внимание на кораблестроение как одну из областей, где приложение математики к изучению мореходных качеств корабля представляется плодотворным и желательным. В течение примерно 25 лет вопросы о корабле предлагаются Академией как темы на премиальные работы. В конкурсах принимают участие выдающиеся учёные и математики того времени. Практические результаты не заставили себя долго ждать — к 1750 годам военный парусный корабль получил ту форму и развитие, которые он сохранил почти без изменений сто лет, т. е. до 1850 годов, когда ему на смену пришли паровые суда, а затем и броненосцы.

В 1770 годах Уатт изобрёл паровую машину с отдельным котлом, холодильником, золотником и прочим. Зародилась новая отрасль промышленности — машиностроение, где, подобно тому как в кораблестроении, простой глазомер также был недостаточен, надо было производить расчёт как основных размеров машины, так и частей её, чтобы придать им надлежащую прочность без излишней затраты материала. Математика стала постепенно проникать в технику.

Декретом Конвента от 7 вандемиера III года Республики Единой и Неделимой, т. е. 29 сентября 1794 года, в Париже основывается Центральная школа общественных работ, которая через 11 месяцев декретом 15 фруктидора того же III года, т. е. 2 сентября 1795 года, переименовывается в Политехническую школу, в связи с которой образуются девять артиллерийских училищ, из них восемь полковых и одно высшее, «впредь до заключения мира», как сказано в декрете; существует же оно и поныне; и, кроме того, училища: военно–инженерное, путей сообщения, горное, топографическое, корабельных инженеров, навигационное (штурманское) и морское, т. е. устанавливается полная система технического образования.

Политехническая школа должна была давать общую подготовку по математике, физике, химии и графическому искусству, необходимую для инженеров всякой отрасли производства, а специальная подготовка окончивших или полный, или лишь первый из трёх курсов Политехнической школы возлагалась на вышеуказанные специальные школы.

С самого начала в преподаватели Политехнической школы приглашаются знаменитейшие математики — Лагранж, Монж, Прони, а Лаплас назначается главным экзаменатором по математике оканчивающих школу.

Питомцы школы быстро оправдывают себя на всех поприщах, и успехи наполеоновских войн обязаны не только едва грамотным храбрецам и героям Нею, Лефебру, Мюрату, но Бертье и Друо, и множеству инженеров, оставшихся вне вида их воинских подвигов, но строивших мосты, дороги, фабрики оружия и всякого рода снабжения, пороховые, пушечные, снарядные заводы. Про Друо, ставшего вскоре начальником артиллерии наполеоновских армий, Лаплас говорил, что за всю свою долголетнюю деятельность в качестве экзаменатора наилучшие ответы он получил от Друо. С уверенностью можно сказать, что Лаплас пустяков не спрашивал.

Сознание пользы широкого математического образования для инженеров любой специальности начинает укореняться…

Наряду с каменными мостами потребовались мосты железные, потребовались обширные вокзалы в главных городах, для этих вокзалов специальные устройства крыш, стропил для них и вообще целый ряд железных конструкций, — опять оказалось, что глазомер недостаточен — нужен точный расчёт — математика начинает проникать в технику строительного дела.

Вместе с тем машиностроение и строительное дело предъявляют свои требования к математике и особенно к механике, которая и развивается в смысле её приложений к теории механизмов и к теории сооружений и расчётов их; одновременно развивается намеченное ещё Галилеем учение о сопротивлении материалов и создаётся новая область — теория упругости, требующая для решения своих задач и новых математических средств.

С другой стороны, появляющиеся вопросы физико–технические и физические также подвергаются математическому изучению: сперва теплопередача и вообще распространение тепла получает математическую обработку в руках Лапласа и особенно Фурье, создавшего и новые методы для решения вопросов в этой новой области. Затем оказывается, что эти методы применимы и для ряда других задач, казалось бы совершенно не имеющих ничего общего с теплотой, однако приводящих к тем же самым дифференциальным уравнениям.

Первая четверть XIX века даёт много примеров развития таких методов применения математики к вопросам физики, особенно в трудах Пуассона, Коши и англичанина Грина.

Упомянув Пуассона, я приведу типичный пример того, как одна его казалось бы чисто теоретическая работа через 40 лет послужила основой для важного практического применения, в громадной мере способствовавшего безопасности мореплавания.

В 1824 году в своих обширных работах по математической теории магнетизма Пуассон дал общие уравнения равновесия компасной стрелки на корабле, принимая в расчёт возмущающее влияние на компас железа, входящего в состав крепления и вооружения корабля. Уравнения эти заключали 12 постоянных коэффициентов для данного корабля, для определения которых Пуассон не указал никаких практических методов, ограничившись лишь чисто теоретической частью.

Для физиков эти уравнения интереса не представляли, для моряков были и недоступны, и непонятны; так и оставались они как бы под спудом в одной из 400 статей этого знаменитого и плодовитого автора. Лишь астроном Эри, воспользовавшись соображениями Пуассона, показал простой способ, размещая около компаса определённым образом магнит и бруски железа, производить на компас действие, обратное влиянию судового железа или, как говорят, уничтожать девиацию компаса. Но девиация, уничтоженная в одном месте, появлялась вновь при переходе корабля в другие области.

Во времена Пуассона, умершего в 1841 году, корабли были деревянные, железа на них было сравнительно мало, влияние его невелико, погрешности компаса поглощались другими погрешностями при плавании под парусами.

Но с середины 1840–х годов начало развиваться железное судостроение и паровые суда, установились срочные регулярные на них заокеанские сообщения, быстро развивающиеся, и вот в 1862 году на протяжении месяца гибнут одно за другим у берегов Ирландии два больших пассажирских парохода, державших сообщение с Америкой, причём на каждом кроме ценного груза гибнет по нескольку сот человек.

Произведённое следствие обнаружило, что одной из главных причин гибели была погрешность в показаниях компаса, вследствие которой корабль шёл по ложному курсу. Общественное мнение Англии встревожилось, по требованию парламента Адмиралтейством был образован компасный комитет, в него вошли математик Арчибальд Смит, астроном Эри и капитан Эванс.

Вспомнили об уравнениях Пуассона, привели их простым преобразованием к удобному использованию — одним словом, издали практическое адмиралтейское руководство по девиации компаса, вполне доступное любому образованному моряку.

В это время в Англии строился наш первый броненосец — броненосная батарея «Первенец» — командовал ею капитан–лейтенант И. П. Белавенец, который проникся важностью учения о девиации компаса для мореплавания, особенно ввиду начинавшейся тогда у нас постройки броненосных военных судов взамен отживших свой век деревянных кораблей. По его представлению в Кронштадте была основана Компасная обсерватория и в неё определён помощником Белавенца моряк — превосходный математик — И. П. де–Коллонг.

Коллонг вскоре значительно подвинул теорию девиации компасов, воспользовавшись свойством одной кривой, открытой ещё в 1640–х годах Паскалем и называемой «улиткою Паскаля». Затем Коллонг продолжал непрестанно работать по компасному делу, изобрёл ряд приборов для измерения магнитных сил и уничтожения девиации, усовершенствовал компас, и начиная с 1880 года на всех наших судах были приняты компасы его системы, до сих пор остающиеся лучшими в мире.

На этом типичном примере особенно ясно видно воздействие и проникновение в технику и практику отвлечённой теоретической работы. Знаменитый автор даёт теоретическое обоснование, но не вдаётся в подробности и детали, затем знающие специалисты, достаточно подготовленные, разбираются в его теории, придают ей практическую, применимую форму и вносят её результаты в жизнь, в обиход, в технику. Я потому привёл этот пример, что в нём весь процесс закончился в сравнительно короткое время, и потому, что дело это мне хорошо известно, так как с 1884 года я в течение нескольких лет работал как ближайший помощник и ученик И. П. де–Коллонга, теорию девиации компаса и практику её уничтожения и определения изучил тогда основательно, так что и сам внёс кое–что новое в это дело, пока не перешёл на более крупное — на кораблестроение.

Другой пример. Знаменитый астроном и математик Гаусс в 1833 году устанавливает так называемую систему абсолютных мер и тем подчиняет точному, определённому, независимому от прибора и наблюдателя измерению явления магнетизма и электричества, тогда представлявших лишь чисто научный интерес. Но вот проходит 45 лет, зарождается новая техническая область электротехника, электрические измерения приобретают важное практическое значение, проходит ещё 45 лет, и в любом городе, а скоро и в любой деревне не найдётся дома, где не стоял бы счётчик электрической энергии.

Конечно не Гаусс делал эти счётчики, вероятно, он и не помышлял о них, но основа положена его гением.

Тот же Гаусс в 1822 году, отвечая на вопрос о построении сети географических карт, поставленный на премию датской Академией наук, дал общее его решение, и вот через 90 лет оказалось, что к совершенно подобному вопросу приводит изучение движения жидкости при обтекании тела или воздуха при обтекании крыла аэроплана, о чём мы ещё скажем ниже.

Вопрос о теплопроводности, решённый Фурье ещё в 1808 году, нашёл себе через 50 лет целиком применение в руках В. Томсона лорда Кельвина, когда проложили через Атлантический океан первый телеграфный кабель, и он сперва не действовал. Хуже того, действовал, но так, что один сигнал, например точка или тире азбуки Морзе, передавался в виде записи бесчисленного множества знаков, продолжавшейся 8 минут времени, так что разобрать было ничего невозможно. Казалось, несколько миллионов фунтов стерлингов погребены на дне океана безвозвратно, и вот В. Томсон в уравнениях Фурье, данных в 1808 году, и Грина, данных в 1828 году, сумел прочесть, что надо сделать, чтобы кабель действовал, но чтобы это прочесть надо было быть Вильямом Томсоном.

Теперь способы электрических измерений несравненно проще и точнее измерений тепловых, вместе с тем холодильное дело, рефрижераторные суда получили большое развитие. Устройство на них изоляции холодильных помещений ставит такие вопросы, которые не только не поддаются математическому анализу, но даже не поддаются и непосредственному опыту, но, оказывается, их можно решить путём электрических измерений, изучая не линии теплового потока, а линии тока электричества и таким образом получить необходимые данные для расчёта. Эта работа ставится теперь в нашем Физико–математическом институте Академии Наук, причём надо помнить, что за каждым техническим расчётом лежат сотни тысяч и миллионов рублей.

Таких аналогий между вопросами совершенно разных областей, но приводящих к одинаковым дифференциальным уравнениям, можно привести множество. Казалось бы, что может быть общего между расчётами движения небесных светил под действием притяжения к Солнцу и между собою и качкою корабля на волнении, или между определением так называемых вековых неравенств в движении небесных тел и крупнейшими колебаниями валов многоцилиндрового двигателя дизеля, работающего на корабельный винт или на электрогенератор. Между тем, если написать только формулы и уравнения без слов, то нельзя отличить, какой из этих вопросов решается — уравнения одни и те же.

Вот почему инженер должен владеть общими математическими методами, приложенными к решению множества задач, тогда только он сможет решать действительно новые вопросы по своей специальности.

В настоящее время математика настолько проникла в технику всех отраслей строительного дела, всех отраслей машиностроения, кораблестроения, построения летательных аппаратов, артиллерийского дела, электротехники, оптики и прочего, что нельзя себе и вообразить ни одного сооружения, которое не было бы предварительно рассчитано.

Лаборатории и технические бюро заводов имеют в числе своих сотрудников учёных–математиков, в журналах этих лабораторий часто наряду с исследованиями техническими печатаются исследования чисто математические сотрудников этих лабораторий, настолько ясно осознана связь между техникой и математикой как важнейшим орудием её.

Приведёнными примерами значение приложений математики для техники в достаточной мере выяснено, но математика продолжает развиваться и сама по себе по тому пути, начало которого было для неё проложено древнегреческими философами, т. е. чистое умозрение, чистая логика в применении к отвлечённым объектам, ею самою создаваемым, свойства которых и количественные соотношения между которыми она и изучает, стремясь прежде всего к абсолютной строгости и непреложности своих рассуждений и доказательств. По этому пути математика развивается за последние 50 или 60 лет гораздо больше, нежели по пути, проложенному работами Коши и Пуассона 100 лет тому назад.

Отсюда опять происходит кажущийся разлад между математикой и техникой. Математика не даёт технику то, что ему нужно, но часто это происходит потому, что техник не там ищет ответ на свои запросы, где этот ответ в скрытом виде находится.

Отсюда естественно поставить такой вопрос: как же делать технику выбор в том беспредельном материале, который ему математика открывает?

Наиболее простой ответ получится, если несколько вникнуть в вопрос.

Во всяком техническом деле важен не тот логический процесс, который привёл к какому–либо заключению или результату, а важно самое заключение или самый результат и притом выраженный «числом и мерою». Поэтому всё, что математика даёт в смысле составления уравнений, их решения и притом доведённого до конца, упрощения вычислений, применения приближённых методов решения математических вопросов — всё это техника рано или поздно использует и применит часто в вопросе, казалось бы ничего общего не имеющем с тем, для решения которого тот или иной метод был первоначально развит.

Казалось бы, в 1814 году, что может быть отвлечённее учения о функциях мнимого переменного, а через 100 лет, после того как Коши дал основания этого учения, Жуковский и Чаплыгин применили это учение к определению формы и к точному расчёту крыльев аэроплана.

Всякого рода таблицы разных функций, хорошо изученных, представляют результат громадного труда, затраченного их составителем, значит они представляют истинную ценность, истинное сокровище, избавляющее от напрасного труда все грядущие поколения; техник должен знать о том, какие функции изучены, какие таблицы для них существуют, и иметь навык быстро разбираться в любых таблицах и уметь пользоваться ими.

Вот, совокупность этих–то знаний, охватывающих главным образом вычислительную практику всякого рода, охватывающих овладение способами составления и решения всякого рода уравнений обыкновенных алгебраических, трансцендентных, дифференциальных обыкновенных и в частных производных, разностных и т. д. с доведением этого решения до численных результатов, применение разного рода хорошо изученных и табулированных функций, начиная от тригонометрических и переходя к эллиптическим, бесселевым шаровым и т. п., — составляет обширную область прикладной математики, которая и служит основою механики и всей современной техники.

Спрашивается, неужели всему этому надо учиться в школе? Нет, не надо и невозможно, школа не может давать вполне законченного знания, её цель дать основы знания, дать общее развитие, дать необходимые навыки, одним словом, по словам великого математика Вейерштрасса в его речи при вступлении в должность ректора Берлинского университета главная задача школы научить учиться, и тот, кто в школе научился учиться, для того практическая деятельность всю его жизнь будет наилучшею школою.

Но надо помнить, что прикладная математика не самодовлеюща, что все свои методы, все основания для них она почерпает из той строго логической чистой математики, которая идёт непрестанно в своём философском, строгом развитии.

Полтораста лет тому назад Правдин спрашивал Митрофанушку:

 — Что ты знаешь из грамматики?

 — Существительно да прилагательно.

 — Скажи, дверь какое имя — существительное или прилагательное?

 — Котора дверь?

 — Ну вот эта.

 — Эта — прилагательна, потому что она к своему месту приложена, а вот в чулане шесту неделю дверь стоит не навешена, так та покамест существительна.

Это может служить отличным пояснением разницы между математикой чистой и прикладной, только здесь не шесть недель, например, теория конических сечений была «существительной», а две тысячи лет, пока Кеплер воспользовался ею для создания точной теории движения небесных тел, а от этой теории Ньютон затем создал механику, служащую основой всей физики и техники.

Так и теперь, многие математические теории, кажущиеся отвлечёнными и приложений не имеющими, может быть, завтра найдут себе приложение совершенно неожиданное, а может быть, и через две тысячи лет, но всякая истина всегда представляет вечный вклад в сокровищницу человеческого знания, независимо от того, когда этою истиною воспользуются.

Главная задача Академии Наук и состоит не только в использовании сокровищ, уже имеющихся, но и в накоплении новых; не только в использовании процентов, но и в капитальных вложениях.

Дополнительная информация

  • Подлинная рукопись с авторскими правками хранится в Архиве РАН (оп. 1, № 373).
  • Статья прочитана в качестве доклада на Чрезвычайной сессии АН СССР 21 июня 1931 года. Выпущена тогда же отдельной брошюрой Гос. научно-техническим издательством под названием «Прикладная математика и ее значение для техники». Воспроизводится по изданию «Собрание трудов академика А. Н. Крылова», т. I, часть 2, стр. 20—30 (Изд-во АН СССР, 1951).