Cтр. 42

Расстояние до горизонта
Поделиться…

Какова дальность до линии горизонта для наблюдателя, стоящего на земле? Ответ — приближённое расстояние до горизонта — можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Для проведения приближённых расчётов сделаем допущение, что Земля имеет форму шара. Тогда стоящий вертикально человек будет продолжением земного радиуса, а линия взгляда, направленного на горизонт, — касательной к сфере (поверхности Земли). Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то треугольник (центр Земли) —(точка касания) —(глаз наблюдателя) является прямоугольным.

Две стороны в нём известны. Длина одного из катетов (стороны, прилегающей к прямому углу) равна радиусу Земли $R$, а длина гипотенузы (стороны, лежащей против прямого угла) равна $R+h$, где $h$ — расстояние от земли до глаз наблюдателя.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Значит, расстояние до горизонта равно
$$
d=\sqrt{(R+h)^2-R^2} = \sqrt{(R^2+2Rh+h^2)-R^2} =\sqrt{2Rh+h^2}.
$$Величина $h^2$ очень мала по сравнению со слагаемым $2Rh$, поэтому верно приближённое равенство
$$
d≈ \sqrt{2Rh}.
$$
Известно, что $R≈ 6400$ км, или $R≈ 64\cdot10^5$ м. Будем считать, что $h≈ 1{,}6$ м. Тогда
$$
d≈\sqrt{2\cdot64\cdot10^5\cdot 1{,}6}=8\cdot 10^3 \cdot \sqrt{0{,}32}.
$$Используя приближённое значение $\sqrt{0{,}32}≈ 0{,}566$, находим
$$
d≈ 8\cdot10^3 \cdot 0{,}566=4528.
$$Полученный ответ — в метрах. Если перевести найденное приближённое расстояние от наблюдателя до горизонта в километры, то получим $d≈ 4,5$ км.

В дополнение — три микросюжета, связанных с рассмотренной задачей и проделанными вычислениями.

I. Как связано расстояние до горизонта с изменением высоты точки наблюдения? Формула $d≈ \sqrt{2Rh}$ даёт ответ: чтобы увеличить расстояние $d$ вдвое, высоту $h$ надо увеличить в четыре раза!

II. В формуле $d≈ \sqrt{2Rh}$ нам пришлось извлекать квадратный корень. Конечно, читатель может взять смартфон со встроенным калькулятором, но, во–первых, полезно задуматься, а как же решает эту задачу калькулятор, а во–вторых, стоит ощутить умственную свободу, независимость от «всезнающего» гаджета.

Существует алгоритм, сводящий извлечение корня к более простым операциями — сложению, умножению и делению чисел. Для извлечения корня из числа $a>0$ рассмотрим последовательность
$$
x_{n+1}=\frac12 (x_n+\frac{a}{x_n}),
$$где $n=0$, 1, 2, …, а в качестве $x_0$ можно взять любое положительное число. Последовательность $x_0$, $x_1$, $x_2$, … очень быстро сходится к $\sqrt{a}$.

Например, при вычислении $\sqrt{0,32}$ можно взять $x_0=0,5$. Тогда
$$
\eqalign{
x_1 &=\frac12 (0,5+\frac{0,32}{0,5})=0,57,\cr
x_2 &=\frac12 (0,57+\frac{0,32}{0,57})≈ 0,5657.\cr}
$$Уже на втором шаге мы получили ответ, верный в третьем знаке после запятой ($\sqrt{0,32}=0,56568…$)!

III. Иногда алгебраические формулы удаётся столь наглядно представить как соотношения элементов геометрических фигур, что всё «доказательство» заключается в рисунке с подписью «Смотри!» (в стиле древних индийских математиков).

Объяснить геометрически можно и использованную формулу «сокращённого умножения» для квадрата суммы
$$
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
$$Жан–Жак Руссо в «Исповеди» писал: «Когда я в первый раз обнаружил при помощи вычисления, что квадрат бинома равен сумме квадратов его членов и их удвоенному произведению, я, несмотря на правильность произведённого мною умножения, не хотел этому верить до тех пор, пока не начертил фигуры».

Литература

  • Перельман Я. И. Занимательная геометрия на вольном воздухе и дома. — Л.: Время, 1925. — [И любое издание книги Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия»].